1.1 二次函数 教学设计2024-2025学年浙教版数学九年级上册

1.1二次函数教学设计2024-2025学年浙教版数学九年级上册教学课题课时备课时间授课时间设计思路本节课设计思路围绕浙教版数学九年级上册“1.1二次函数”这一章节展开，旨在引导学生通过观察、分析、归纳等数学活动，理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像与性质，并能运用二次函数解决实际问题。教学过程中，注重培养学生观察、分析、抽象和概括能力，提高学生的数学思维品质。核心素养目标本节课培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过探究二次函数的性质，学生能抽象出二次函数的图像特征，发展数学抽象能力；通过分析二次函数的实际应用，提升逻辑推理和数学建模能力；通过绘制和解析函数图像，强化直观想象和数学运算技能；最后，通过解决实际问题，增强数据分析和应用意识。学情分析本节课面对的是九年级的学生，他们已经具备了一定的数学基础，对一次函数及其性质有了一定的了解。在知识层面，学生已掌握基本的函数概念、方程解法以及几何图形的基本特征。然而，对于二次函数这一较为抽象的数学概念，学生可能存在理解上的困难，尤其是在图像的绘制和性质的分析上。

在能力方面，学生的逻辑推理和抽象思维能力逐渐增强，但直观想象和数学建模能力仍需加强。他们能够通过观察和比较来发现函数的性质，但在解决复杂问题时，往往缺乏系统性的思考和策略。

素质方面，部分学生可能存在对数学学习缺乏兴趣或自信心的问题，这可能会影响他们在二次函数学习中的积极性。此外，学生的合作学习能力和问题解决能力也有待提高。

行为习惯上，学生在课堂上参与度较高，但个别学生可能存在注意力不集中、作业完成质量不高的情况。这些行为习惯对二次函数的学习产生了一定的影响，可能导致学生对函数性质的理解不够深入。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有浙教版数学九年级上册教材，包含“1.1二次函数”章节。

2.辅助材料：准备与二次函数相关的图像、表格、实际案例图片，以及相关视频和动画，帮助学生直观理解函数性质。

3.实验器材：准备坐标纸、直尺等，用于学生绘制二次函数图像的实践操作。

4.教室布置：设置小组讨论区，确保每组有足够的空间进行讨论；准备实验操作台，便于学生进行图像绘制实验。教学实施过程基本内容1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，如让学生预习二次函数的基本概念和图像特征。

设计预习问题：围绕“二次函数的图像特征”，设计问题如“如何确定二次函数的开口方向和顶点坐标？”

监控预习进度：通过平台反馈或课堂提问，了解学生的预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读相关资料，初步了解二次函数的概念。

思考预习问题：学生思考并尝试解答预习问题，形成初步的理解。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：学生通过自主阅读和思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解二次函数的基本概念，为课堂学习做好准备。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示二次函数的实际应用案例，如抛物线运动轨迹，引出课题。

讲解知识点：讲解二次函数的标准形式、顶点坐标、对称轴等知识点，结合具体例子。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生通过合作找出二次函数图像的特征。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，共同完成图像特征的归纳。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生理解二次函数的关键知识点。

实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中应用所学知识。

作用与目的：

帮助学生深入理解二次函数的性质，掌握图像特征。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置绘制二次函数图像的作业，要求学生运用所学知识。

提供拓展资源：推荐相关数学竞赛题目或拓展阅读材料，如二次函数在工程中的应用。

学生活动：

完成作业：学生独立完成作业，巩固所学知识。

拓展学习：学生利用拓展资源，探索二次函数的更多应用。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：学生通过独立完成作业和拓展学习，提高解决问题的能力。

反思总结法：学生通过反思作业和拓展学习，提升自我学习能力。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的知识，通过拓展学习，提高学生的综合素质。学生学习效果学生学习效果

1.知识掌握方面

（1）理解了二次函数的定义、性质和图像特征，能够识别和描述二次函数的基本形式。

（2）掌握了二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向等关键概念，并能运用这些概念分析函数图像。

（3）学会了如何通过解析式和图像来求解二次函数的零点、最值等问题。

（4）了解了二次函数在实际生活中的应用，如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本函数等。

2.能力提升方面

（1）学生的逻辑推理能力得到提升，能够运用二次函数的性质进行推理和判断。

（2）学生的直观想象能力得到锻炼，能够通过图像直观地理解二次函数的性质。

（3）学生的数学建模能力得到提高，能够将实际问题转化为二次函数模型进行求解。

（4）学生的合作学习能力得到加强，能够在小组讨论中共同解决问题。

3.素质培养方面

（1）学生的自信心得到增强，能够面对数学问题时保持积极的心态。

（2）学生的自主学习能力得到提高，能够主动查阅资料、解决问题。

（3）学生的责任感得到培养，能够认真完成作业和拓展学习任务。

（4）学生的创新意识得到激发，能够尝试从不同角度思考问题。

4.行为习惯方面

（1）学生的课堂参与度提高，能够认真听讲、积极思考。

（2）学生的作业完成质量得到提升，能够按时完成作业并认真检查。

（3）学生的团队合作意识得到加强，能够在小组活动中相互帮助、共同进步。

（4）学生的自主学习能力得到锻炼，能够利用课余时间进行拓展学习。

5.具体案例分析

（1）案例一：学生在解决实际问题时，能够运用二次函数的知识进行建模和求解，如计算抛物线运动轨迹上的某一点的速度。

（2）案例二：学生在小组讨论中，能够积极发表自己的观点，并与他人进行交流，共同完成二次函数图像特征的归纳。

（3）案例三：学生在完成课后作业时，能够认真思考、独立完成，并在遇到困难时主动寻求帮助。

（4）案例四：学生在拓展学习中，能够利用网络资源查阅相关资料，了解二次函数在各个领域的应用。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.创设情境，激发兴趣：在导入环节，我尝试通过生活中的实例来引入二次函数的概念，比如抛物线运动的轨迹，这样让学生感到数学与生活息息相关，激发了他们的学习兴趣。

2.多媒体辅助，直观教学：利用多媒体展示二次函数的图像变化，让学生直观地看到函数的开口方向、对称轴等特征，这样的教学方法比单纯的文字讲解更有效。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异较大：由于学生之前的学习基础不同，部分学生对二次函数的理解和掌握程度参差不齐，这给我在教学过程中带来了挑战。

2.课堂互动不足：在课堂讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是由于课堂氛围不够活跃，或者是学生对某些问题缺乏信心。

3.评价方式单一：目前主要依靠作业和考试来评价学生的学习效果，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习情况和进步。

反思改进措施（三）

1.分层次教学：针对学生基础差异，设计不同层次的教学内容和作业，确保每个学生都能跟上教学进度。

2.丰富课堂互动：通过小组讨论、角色扮演等方式，增加课堂互动，鼓励学生积极参与，提高他们的自信心。

3.多元化评价：除了作业和考试，还可以通过课堂表现、小组合作、个人反思等多种方式来评价学生的学习效果，更全面地了解学生的学习情况。重点题型整理1.**题目**：已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像经过点\(A(1,4)\)，且顶点坐标为\(V(h,k)\)，求该二次函数的表达式。

**解答**：首先，由于顶点坐标为\(V(h,k)\)，我们可以将顶点式写为\(y=a(x-h)^2+k\)。然后，将点\(A(1,4)\)代入顶点式中，得到\(4=a(1-h)^2+k\)。接着，由于\(A(1,4)\)也在图像上，我们可以将其坐标代入一般式中，得到\(4=a+b+c\)。最后，我们还需要一个条件来确定\(a\)、\(b\)和\(c\)的具体值。这个条件可以是另一个点的坐标，或者是对称轴的信息。假设我们有对称轴的信息，即\(h=0\)，那么\(y=ax^2+c\)，代入\(A(1,4)\)得到\(4=a+c\)。结合\(4=a+b+c\)和\(4=a+c\)，我们可以解得\(a=1\)，\(b=0\)，\(c=3\)。因此，二次函数的表达式为\(y=x^2+3\)。

2.**题目**：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，顶点坐标为\(V(h,k)\)，且图像与x轴的交点为\(P(2,0)\)和\(Q(4,0)\)，求该二次函数的表达式。

**解答**：由于图像开口向上，\(a>0\)。顶点坐标为\(V(h,k)\)，我们可以写出顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)。由于图像与x轴的交点为\(P(2,0)\)和\(Q(4,0)\)，我们知道\(h=\frac{2+4}{2}=3\)。现在我们有\(y=a(x-3)^2+k\)。将\(P(2,0)\)代入，得到\(0=a(2-3)^2+k\)，解得\(k=a\)。因此，\(y=a(x-3)^2+a\)。将\(Q(4,0)\)代入，得到\(0=a(4-3)^2+a\)，解得\(a=0\)，这与\(a>0\)矛盾。因此，我们需要另一个条件来确定\(a\)的值。假设我们知道\(k\)的值，比如\(k=1\)，那么\(y=a(x-3)^2+1\)。代入\(P(2,0)\)得到\(0=a(2-3)^2+1\)，解得\(a=-1\)。这与\(a>0\)矛盾。因此，我们需要更多信息来确定\(a\)的值。

3.**题目**：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像的对称轴是直线\(x=1\)，且图像经过点\(A(-1,3)\)和\(B(3,-1)\)，求该二次函数的表达式。

**解答**：对称轴是直线\(x=1\)，所以顶点的x坐标是1，即\(h=1\)。我们可以写出顶点式\(y=a(x-1)^2+k\)。将点\(A(-1,3)\)代入，得到\(3=a(-1-1)^2+k\)，解得\(k=3+4a\)。将点\(B(3,-1)\)代入，得到\(-1=a(3-1)^2+k\)，解得\(k=-1-4a\)。由于\(k\)的值是相同的，我们可以得到\(3+4a=-1-4a\)，解得\(a=-\frac{1}{2}\)。现在我们有\(k=3+4(-\frac{1}{2})=1\)。因此，二次函数的表达式为\(y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+1\)。

4.**题目**：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像开口向下，且图像与y轴的交点为\(C(0,3)\)，图像的顶点在第一象限，且顶点坐标的x坐标是2倍于y坐标，求该二次函数的表达式。

**解答**：由于图像开口向下，\(a<0\)。图像与y轴的交点为\(C(0,3)\)，所以\(c=3\)。顶点坐标的x坐标是2倍于y坐标，设顶点坐标为\(V(h,k)\)，则\(h=2k\)。我们可以写出顶点式\(y=a(x-2k)^2+k\)。由于顶点在第一象限，\(k>0\)。现在我们有\(y=a(x-2k)^2+k\)。将\(C(0,3)\)代入，得到\(3=a(0-2k)^2+k\)，解得\(k=3-4ak^2\)。由于\(k>0\)，我们可以解得\(a=-\frac{1}{4}\)。现在我们有\(k=3-4(-\frac{1}{4})k^2\)，解得\(k=1\)。因此，\(h=2k=2\)。二次函数的表达式为\(y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+1\)。

5.**题目**：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像的顶点坐标为\(V(-2,5)\)，且图像与x轴的交点为\(D(0,0)\)和\(E(4,0)\)，求该二次函数的表达式。

**解答**：顶点坐标为\(V(-2,5)