函数的奇偶性-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章

函数的概念与性质3.2.2函数的奇偶性

生活中的对称美首课思政【思考】哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？学习目标一二三学习目标了解函数奇偶性的含义（难点）会判断与证明函数的奇偶性（重点）初步掌握函数性质研究方法，从特殊到一般，从定性到定量，体会数形结合与类比的思想方法。（难点）观察下列各个函数的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？请同学们畅所欲言。

可以发现,这两个函数的图像都关于y轴对称.你能用数学符号语言准确描述“函数图象关于y轴对称”的这种特征呢?f(x)=x2g(x)=2-|x|新知探究列出x,y的对应值表:x……f(x)=x2……x-x00-241124-11-3939-416416∀x∈R，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)这时我们称f(x)=x2为偶函数.函数f(x)=x2,x∈[-2,2]的图像关于y轴对称吗？它是偶函数吗？函数f(x)=x2,x∈[-1,2]呢?f(x)=x2f(x)f(-x)新知探究偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果①∀x∈I，-x∈I，②f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数.函数的定义域关于原点对称新知探究函数值相等f(x)=2-|x|请你用偶函数的定义证明:函数f(x)=2-|x|是偶函数.新知探究观察下列各个函数的图象,你能说说它们有什么共同特征吗？请同学们畅所欲言。

可以发现,这两个函数的图像都关于原点对称.你能用数学符号语言准确描述“函数图象关于原点对称”的这种特征呢?新知探究列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…f(x)=x……∀x∈R，都有f(-x)=-x=-f(x)这时我们称f(x)=x为奇函数.函数f(x)=x,x∈[-2,2]的图像关于原点对称吗？它是奇函数吗？函数f(x)=x,x∈[-1,3]呢?-4-3-2-101234x-xf(x)f(-x)新知探究奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果①∀x∈I，-x∈I，②f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数.函数的定义域关于原点对称新知探究函数值互为相反数请你用奇函数的定义证明:函数是奇函数.新知探究总结新知奇偶性定义图象特点等价条件前提设f(x)的定义域为I偶函数∀x∈I,都有-x∈I，都有f(-x)=f(x)则函数f(x)叫做偶函数关于y轴对称奇函数∀x∈I,都有-x∈I，都有f(-x)=-f(x)则函数f(x)叫做奇函数关于原点对称备注f(x)－f(-x)=0f(x)＋f(-x)=0①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称②不能用特殊值判断奇偶性.如:f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数③已知奇偶性可代特殊值求参数.④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0.证:f(0)=-f(0)(1)解：定义域为R，∵∀x∈R,都有-x∈R，且f(-x)=(-x)4=x4=f(x)∴f(x)偶函数∴f(x)奇函数(2)解：定义域为{x|x≠0}，它关于原点对称且

合作解疑【例题】判断下列函数的奇偶性.

合作解疑f(x)奇函数既不是奇函数也不是偶函数f(x)既是偶函数又是奇函数f(x)偶函数一看定义域二看关系式or图象不关于原点对称关于原点对称非奇非偶函数f(x)=f(﹣x)图象关于y轴对称﹣f(x)=f(﹣x)图象关于原点对称偶函数奇函数既奇又偶函数奇偶性的判断方法精讲点拨【探究】（1）如何判断函数

的奇偶性？

(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数在y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的图像如图所示.

（2）已知函数

图像的一部分，如何画出剩余部分？

精讲点拨（3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？

（2）注意在函数奇偶性判断中加强数形结合：

对于一个奇函数或偶函数，根据它的图像关于原点或y轴对称的特性，就可由自变量取正值时的图像和性质，来推断它在整个定义域内的图像和性质。其实，这也是研究函数奇偶性的好处所在--简化对函数的认识过程。精讲点拨P851.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.Oxyf(x)Oxyg(x)跟踪训练巩固训练巩固训练达标检测巩固训练偶函数奇函数定义图象定义域一般地，设函数f(x)的定义域为I，①∀x∈I，-x∈I，②f(-x)=f(x)一般地，设函数f(x)的定义域为I，①∀