山西太原2025-2026学年第一学期高三年级期中学业诊断数学（含答案）

2025-2026年第一学期高三年级期中学业诊断试卷

一．选择题：BDCBBDAC

二．选择题：9.AB10.ABD11.ACD

三．填空题:12.1+2i13.+114.3n—1

四．解答题：

15.解：（1）由题意得，，或，

A={x|—2<x<3}B={x|—1<x<1}:CUB={x|x≤—1x≥1}

:A∩(CUB)=(—2,—1]U[1,3)；………6分

（2）当x<0时，f(x)=—f(—x)=—x2—4x，:f(x………8分

由（1）得A∩(CUB)=(—2,—1]U[1,3)，

当x∈(—2,—1]时，3≤f(x)<4；当x∈[1,3)时，—4≤f(x)≤—3；

当时的值域为.………13分

:x∈A∩(CUB)f(x)[—4,—3]U[3,4)

16.解：（1）在△ABD中，由余弦定理得

AD2=AB2+BD2—2AB.BDcos上ABD=1+4—4cos60O=3，

:AD=，:BD2=AB2+AD2，:上BAD=90O，:上ADB=30O，

:上CAD=上CBD，:上ACB=上ADB=30O，………4分

在△ABC中，由正弦定理得

:AC.………8分

（2）在△ABC中，由正弦定理得

:BCcosθ,………12分

:△BCD的面积为S=BC.BDsin上CBD=2sinθcosθ=sin2θ≤1，

当且仅当θ=45O时，△BCD的面积S取最大值1.………15分

17.（1）证明：由题意得an+1+(n+1)=2an+(n—1)+(n+1)=2(an+n)，………3分

:{an+n}是以a1+1=2为首项、q=2为公比的等比数列.………5分

奇数

（2）由（1）得n，即n*，,……8分

an+n=2an=2—n(n∈N):bn

当n为偶数时，Sn=(b1+b3+…+bn—1)+(b2+b4+…+bn)

3n—1

=(a1+a3+…+an—1)+(2+4+…+n)=(2—1)+(2—3)+…+[2—(n—1)]+(2+4+…+n)

………12分

当为奇数时，n+1n+1.

nSn=Sn+1—bn+1=×(2—1)+—(n+1)=×(2—1)—

综上，…………15分

Sn

18.（1）证明：取SD中点G，连接AG,FG,

:△SDE是等边三角形，:AG丄SD，…………2分

:F为SC的中点，:FG//DC，DC=2FG，

又:AB//DC，CD=2AB,:FG//AB,FG=AB，

:四边形ABFG为平行四边形，:BF//AG，:BF丄SD.…………5分

（2）由（1）得BF丄SD，:SB=BC，F为SC的中点，:BF丄SC，

:SD∩SC=S，:BF丄平面SCD，:BF丄CD，…………7分

由（1）得BF//AG，:AG丄CD，

又:AD丄DC，AD∩AG=A，:CD丄平面SAD.…………10分

（3）以D为原点，DA,DC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

过点S作SH丄AD,垂足为H,设HS与y轴正方向的夹角为θ(0<θ<π),不妨设AB=2,

则A(2,0,0),B(2,2,0),H(1,0,0),S(1,cosθ,、sinθ)，

z

:BS=(—1,cosθ—2,、sinθ)，…………12分S

GF

设m=(x,y,z)是平面SAD的一个法向量，

'D

Cy

H

则A

cosθ.ysinθ.z=0,xB

令y=—sinθ,则x=0,z=cosθ,:m=(0,—sinθ,cosθ)，…………13分

设直线SB与平面SAD所成角为α,

:sinα=|cos…14分

令f

设cos0<θ1<π.当θ∈(0,θ1)时，f’(θ)>0；当θ∈(θ1,π)时，f’(θ)<0，

:fmax=f:直线SB与平面SAD所成角正弦值的最大值为分

………2分

（1）当a=1时，f(x)=ex+sinx—x，:f,(x)=ex+cosx—1，

①由题意得f(x)在x=0处的切线方程为y—f(0)=f,(0)x，即x—y+1=0；……4分

②证明：设g=ex+cosx—1,x则g,(x)=ex—sinx，

:y=ex和y=—sinx在上均单调递增，

:g,(x)=ex—sinx在上均单调递增，………5分

g,=e—π>0

:g

∴存在唯一零点x使得g,(x0)=0，

当x时，g,(x)<0，g(x)单调递减，即f,上单调递减；

当时，g,(x)>0，g(x)单调递增，即f,(x)在上单调递增，

∴是函数在内唯一的极小值点,………8分

x0f,(x)

∵x∴0<sinx0<．………10分

（2）不妨设x1<x2，原不等式等价于f(x1)—f(x2)<x1—x2，即f(x1)—x1<f(x2)—x2，

设h(x)=f(x)—x，x∈[0,π]，则h(x1)<h(x2)，

由的任意性，可知在上单调递增，………12分

x1,x2h(x)[0,π]

:h,(x)=f,(x)—1=ex+cosx—(a+1)≥0在[0,π]上恒成立，

即a+1≤ex+cosx在[0,π]上恒成立，………14分

令t(x)=ex+cosx，x∈[0