2025-2026学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2+3＝0 B．﹣2x+4＝0 C． D．x2﹣y＝02．（3分）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（）A． B． C． D．13．（3分）若，则下列结论一定正确的是（）A．x＝2，y＝5 B．2x＝5y C． D．4．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，MN∥DC分别交AD，N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是（）A．48 B．40 C．32 D．245．（3分）如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如图所示，此时液面AB的宽度是（）A．2.8cm B．3cm C．3.2cm D．3.6cm6．（3分）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣2，则原来的方程是（）A．x2+5x﹣2＝0 B．x2+3x﹣6＝0 C．x2﹣3x+6＝0 D．x2﹣5x+2＝07．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（6，﹣2），相似比为，把△ABO缩小（）A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（﹣3，1）或（3，﹣1） D．（﹣12，4）或（12，﹣4）8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝16cm，点P，Q分别是边AD，点P，Q同时出发，一直到达点A为止，点Q从点B出发以1cm/s的速度向点C移动，P，Q两点运动了（）A．或7s B．或7s C．s D．7s二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）请你写出一个负整数m的值：，使关于x的一元二次方程（x﹣4）2＝m+3有实数根．10．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为．11．（3分）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为．如图（AB＞BC），AC的长为4cm，则AB的长为cm．（用根号表示）12．（3分）如图，矩形ABCD中，∠ADB＝26°，计算∠1的大小为°．三、解答题（本题有7小题，共61分）14．（8分）解方程．（1）（x﹣1）2＝3（x﹣1）；（2）x2﹣2x﹣4＝0．15．（6分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如图四张除正面内容不同外，将四张卡片背面朝上．（提示：用A，B，C，D分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是；（2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE＝CD，AD＝EC．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）若AB＝8，∠B＝60°，求四边形ABCE的面积；（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹17．（8分）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，日销售量将减少10千克．（1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为千克，每天共盈利元；（2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？18．（9分）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？【数学眼光】如图（a），低角度拍摄，并结合仰拍技巧【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图（b），由于光的直射，B′处，线段AB的像是线段A′B′，求证：；【数学语言】（2）如图（c），小美站立在A处，腿部AC的像为A′C′．试说明能拍出大长腿效果的理由．19．（11分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材关于根的判别式的探究素材对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+5的最小值，令y＝x2+2x+5，得x2+2x+（5﹣y）＝0，则Δ＝22﹣4×1×（5﹣y）≥0，解得y≥42+2x+5的最小值为4．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法．问题解决任务1感受新知：用判别式法求4x2+4x﹣2的最小值；任务2探索新知：若关于x的二次三项式x2+ax+2（a为常数）的最小值为﹣2，求a的值；任务3应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，①设需要用的篱笆是l米，AD＝x米，用含l和x的代数式表示AB的长为米；②需要用的篱笆最少是多少米？20．（11分）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…（1）【问题提出】如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，利用“三角形相似”；小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F；请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明．（2）【理解应用】填空：如图（b），平行四边形ABCD中，AB＝6，AC＝7，BE平分∠ABC交AC于点E；（3）【深度思考】如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AB＝3，求EF的长；（4）【拓展升华】如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，将DG沿过点G的直线折叠，使点D的对应点D′落在BG上，与BC的延长线交于点E．若，BC＝8

2025-2026学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ABDCBDCA一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2+3＝0 B．﹣2x+4＝0 C． D．x2﹣y＝0【解答】解：A．2x2+8＝0，只含一个未知数，且是整式方程，符合题意；B．2x+3＝0，不符合题意；C．，是分式方程，不符合定义；D．x3﹣y＝0，含有两个未知数，不符合题意；故选：A．2．（3分）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（）A． B． C． D．1【解答】解：∵体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道，∴甲从A通道进入体育比赛馆的概率为．故选：B．3．（3分）若，则下列结论一定正确的是（）A．x＝2，y＝5 B．2x＝5y C． D．【解答】解：∵＝，∴8x＝2y，＝，＝，故选项D符合题意．故选：D．4．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，MN∥DC分别交AD，N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是（）A．48 B．40 C．32 D．24【解答】解：过点P作直线EF⊥ABG于点E，交CD于点F，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为8，∴AB＝BC＝CD＝8，∠ABC＝∠BCD＝90°，S正方形ABCD＝22＝64，∴EF⊥CD，∵MN∥DC，∴EF⊥MN，QH⊥MN，∴∠BEF＝∠CFE＝∠EBC＝∠BCF＝90°，∠FPQ＝∠PQH＝∠QHF＝∠HFP＝90°，∴四边形EBCF和是四边形QPFH都是矩形，∴EF＝BC＝8，QH＝PF，∴PE+QH＝PE+PF＝EF＝6，由三角形的面积公式得：S△APB＝AB•PE＝，S△DCQ＝CD•QH＝，∴S△APB+S△DCQ＝3×（PE+QH）＝4×8＝32，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣（S△APB+S△DCQ）＝64﹣32＝32．故选：C．5．（3分）如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如图所示，此时液面AB的宽度是（）A．2.8cm B．3cm C．3.2cm D．3.6cm【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，交AB于点F，由题意得：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，解得：AB＝3，∴此时液面AB的宽度是3cm，故选：B．6．（3分）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣2，则原来的方程是（）A．x2+5x﹣2＝0 B．x2+3x﹣6＝0 C．x2﹣3x+6＝0 D．x2﹣5x+2＝0【解答】解：设原方程为x2+bx+c＝0，∵小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是2和2，∴﹣b＝3+5＝5，∴b＝﹣5；∵小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣3和﹣2，∴c＝﹣1×（﹣4）＝2，∴原来的方程是x2﹣8x+2＝0．故选：D．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（6，﹣2），相似比为，把△ABO缩小（）A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（﹣3，1）或（3，﹣1） D．（﹣12，4）或（12，﹣4）【解答】解：由题意知，当点B'与点B在点O的同侧时），即（3；当点B'与点B在点O的异侧时，点B的对应点B′的坐标是（），1）．∴点B的对应点B′的坐标是（﹣7，1）或（3．故选：C．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝16cm，点P，Q分别是边AD，点P，Q同时出发，一直到达点A为止，点Q从点B出发以1cm/s的速度向点C移动，P，Q两点运动了（）A．或7s B．或7s C．s D．7s【解答】解：16÷2＝8（s）．过点P作PE⊥BC于点E，则PE＝12cm，当运动时间为t（6≤t≤8）s时，DP＝2tcm，CQ＝（16﹣t）cm，根据题意得：PE7+QE2＝PQ2，即128+（16﹣3t）2＝135，整理得：（16﹣3t）2＝25，解得：t8＝，t2＝4，∴P，Q两点运动了．故选：A．二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）请你写出一个负整数m的值：﹣3（答案不唯一），使关于x的一元二次方程（x﹣4）2＝m+3有实数根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（x﹣4）2＝m+3有实数根，∴m+3≥0，∴m≥﹣6，∴m的值可以为﹣3．故答案为：﹣3（答案不唯一）．10．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为15．【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为6×5×0.8＝15．故答案为：15．11．（3分）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为．如图（AB＞BC），AC的长为4cm，则AB的长为（）cm．（用根号表示）【解答】解：∵B为AC的黄金分割点，且AB＞BC，∴＝，∵AC＝4cm，∴AB＝AC＝）cm，故答案为：（）．12．（3分）如图，矩形ABCD中，∠ADB＝26°，计算∠1的大小为58°．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝64°，由作图可知BE平分∠ABD，∴∠EBD＝∠ABD＝32°，由作图可知直线l垂直平分线段BD，∴∠BOE＝90°，∴∠8＝∠BEO＝90°﹣32°＝58°．故答案为：58．三、解答题（本题有7小题，共61分）14．（8分）解方程．（1）（x﹣1）2＝3（x﹣1）；（2）x2﹣2x﹣4＝0．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝7（x﹣1），（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＝8，（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，x﹣1＝8或x﹣4＝0，x7＝1，x2＝4；（2）x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣5x+1＝4+2，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±，x3＝1+，x8＝1﹣．15．（6分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如图四张除正面内容不同外，将四张卡片背面朝上．（提示：用A，B，C，D分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是；（2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．【解答】解：（1）∵共有4张卡片，其中B和D是物理变化，∴从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是．故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，所以从中随机抽取两张，抽到的卡片内容都是物理变化的概率为．16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE＝CD，AD＝EC．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）若AB＝8，∠B＝60°，求四边形ABCE的面积；（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD，∵AE＝CD，AD＝EC．∴AE＝CD＝AD＝EC，∴四边形ADCE为菱形；（2）解：∵∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝7，∴AC＝BC＝4，∴S△ABC＝×2×4，∵D是AB的中点，∴S△ACD＝S△ABC＝×8，∵四边形ADCE为菱形，∴S△ACD＝S△AEC＝4，∴四边形ABCE的面积＝S△AEC+S△ABC＝4+7；（3）解：如图，DF为所作．17．（8分）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，日销售量将减少10千克．（1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为480千克，每天共盈利3360元；（2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？【解答】解：（1）根据题意得：当某水果批发价每千克涨价2元时，则每千克的销售利润为15+2﹣10＝5（元），∴每天共盈利7×480＝3360（元）．故答案为：480，3360；（2）设水果批发价每千克涨价x元，则每千克的销售利润为（15+x﹣10）元，根据题意得：（15+x﹣10）（500﹣10x）＝4500，整理得：x2﹣45x+200＝8，解得：x1＝5，x5＝40，又∵要使顾客得到实惠，∴x＝5．答：水果批发价每千克应涨价5元．18．（9分）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？【数学眼光】如图（a），低角度拍摄，并结合仰拍技巧【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图（b），由于光的直射，B′处，线段AB的像是线段A′B′，求证：；【数学语言】（2）如图（c），小美站立在A处，腿部AC的像为A′C′．试说明能拍出大长腿效果的理由．【解答】（1）证明：如图，∵A′B′∥AB，∴△A'C'O∽△ACO，△B'C'O∽△BCO，∴，∴．∴；（2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果．理由：过点B'作B′E∥AB交A'O于点E，连接CC'交B′E于点F，∵摄影师仰拍，∴∠A'EB'是△EOF的外角．∴∠A'EB'＞∠EFO．∴过点E作CC'的平行线交线段A'B'于点G．∴A'C'＞GC'，由（1）得．∵EG∥CC’，∴，∴，∵A'C'＞GC'，∴．19．（11分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材关于根的判别式的探究素材对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+5的最小值，令y＝x2+2x+5，得x2+2x+（5﹣y）＝0，则Δ＝22﹣4×1×（5﹣y）≥0，解得y≥42+2x+5的最小值为4．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法．问题解决任务1感受新知：用判别式法求4x2+4x﹣2的最小值；任务2探索新知：若关于x的二次三项式x2+ax+2（a为常数）的最小值为﹣2，求a的值；任务3应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，①设需要用的篱笆是l米，AD＝x米，用含l和x的代数式表示AB的长为米；②需要用的篱笆最少是多少米？【解答】解：任务1：令y＝4x7+4x﹣2得8x2+4x﹣（2+y）＝0，则Δ＝48﹣4×4×[﹣（5+y）]＝16+32+4y＝48+4y≥5，解得y≥﹣12，所以4x2+4x﹣2的最小值为﹣12；任务2：由题意，令y＝x8+ax+2，∴x2+ax+5﹣y＝0，∴Δ＝a2﹣5×1×（2﹣y）≥4，∴y≥，又∵y最小值为﹣2，∴＝﹣2，∴a＝±8；任务3：①设AD＝x米，则AB＝（l﹣4x）米；②根据题意得：x（l﹣3x）＝400，整理得：4x2﹣lx+400＝2，∴Δ＝l2﹣4×3×400≥0，∴l≥80，∴需要用的篱笆最少是80米．20．（11分）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…（1）【问题提出】如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，利用“三角