（人教A版）必修二高一数学下学期同步空间几何体测试试题（解析版）

高一空间几何体测试试题一、单选题1．长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三棱锥的体积公式结合已知求解即可．【详解】长方体的体积为，三棱锥的体积为，故选：B2．如图所示，已知中，，若在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上，半圆分别与相切于点，与交于点)，则图中阴影部分绕直线旋转一周所得的旋转体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设半圆的半径，根据，得到求解.【详解】解：设半圆的半径，因为，所以，解得，所以旋转体的体积=，故选：C.3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体外接球的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出长方体共顶点的三边的长度，然后利用外接球半径的计算公式求出半径，进而求出外接球的表面积.【详解】设长方体共一顶点的三边长分别为，不妨令，由题意可得，解得，则长方体的体对角线长度为，可得外接球半径，所以外接球的面积为.故选：A.4．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.3厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（

）（单位：平方厘米）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆台的侧面积公式求出对应的值，代入公式计算即可求解.【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为R，r，若当，时，则圆台的母线长，所以其侧面积为，若当，时，则圆台的母线长，所以其侧面积为，所以其侧面积S满足．故选：C．5．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出点到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取、中点、，正方形中心，中点，连接，根据题意可得平面，，点是的中点，，在等腰中，，，同理，则等腰梯形的高为，根据几何体的结构特征可知，刍甍的外接球的球心在直线上，连接，正方体的外接圆的半径，则有，而，，当点在线段的延长线（含点）时，

视为非负数，若点在线段的延长线（不含点）时，

视为负数，即有，则，解得，则刍甍的外接球的半径为，则刍甍的外接球的表面积为，故选：C.6．正方体的棱长为3，点P在正方形的边界及其内部运动．若，则三棱锥的体积的最小值是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据图形，利用线面垂直的判断定理、勾股定理、等体积法以及棱锥的体积公式进行求解.【详解】如图所示，因为平面，平面，所以，∵，由，则，所以P在以A为圆心，为半径的圆上及圆内部，由题意可知，，因为P到的最小距离为，所以的面积的最小值是，所以四面体的体积的最小值是，故A，C，D错误.故选：B．7．在边长为1的菱形ABCD中，，将沿对角线AC折起得三棱锥.当三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】体积最大时，即两个面垂直时，然后利用几何关系找到外接球圆心即可.【详解】如图所示，当平面平面时,三棱锥体积最大，取AC中点E，连接BE，DE，由条件知设分别为的外心，过作平面的垂线m，过作平面ADC的垂线n则m，n的交点即为三棱锥外接球的球心；所以所以，表面积为故选：C.8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（

）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为C．勒洛四面体的体积是D．勒洛四面体内切球的半径是【答案】D【分析】由勒洛四面体的定义判断选项A；由勒洛四面体的定义求解判断B；根据对称性,由勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心求解判断C；结合C由棱长减去外接球的半径求得内切球的半径求解判断.【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A不正确；根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为，故B错误；如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.如图3,在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，连接、、，由正四面体的性质可知在上.因为,所以，则.因为，即，解得，则正四面体外接球的体积是，而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，C错误；因为，所以,所以，勒洛四面体内切球的半径是，则D正确.故选：D.【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、多选题9．已知某四面体的四条棱长度为a，另外两条棱长度为b，则下列说法正确的是注：，，，则，当且仅当时，等号成立（

）A．若且该四面体的侧面存在正三角形，则B．若且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积C．若且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积D．对任意，记侧面存在正三角形时四面体的体积为，记对棱均相等时四面体的体积为，恒有【答案】ACD【分析】对于A，利用四面体的特点求得相关边长，结合余弦定理求得b的表达式，结合三角函数知识即可求得b的范围，判断A;根据四面体特征，确定相关棱长，利用棱锥体积公式可求得四面体体积的表达式，继而求得其取值范围，判断B,C;结合B,C的分析，确定最值，进行比较，可得结论，判断D.【详解】对于A选项，如图所示，且该四面体的侧面存在正三角形，四面体中，依题意，不妨设，设E是的中点，所以

,设，则，在三角形中，由余弦定理得,即,,由于，所以，故A正确；对于B，四面体中，不妨设，，设E是的中点，则，平面，所以平面，设设，则，由于，故，当时，，当时等号成立，B错误，对于C，四面体中，且该四面体的对棱均相等，不妨设，设E是的中点，则，平面，所以平面，在三角形中，，，，当且仅当,即时等号成立，故当时即,C选项正确;对于D选项，由上述分析可知，,,即，所以D选项正确，故选︰．10．已知长方体的底面ABCD是边长为2的正方形，，，，，分别为侧棱，，，的中点，S为线段上的动点，P，Q分别为侧面、侧面内的动点，且．则（

）．A．三棱锥体积的最大值为B．三棱锥的体积为定值C．的最小值为D．三棱锥外接球的表面积的取值范围是【答案】BC【分析】（1）要使三棱锥的体积最大，需的面积最大，点P在处时，三棱锥的体积最大，三棱锥体积的最大值即可判断A错误.（2）由题，→平面，点S到平面的距离为定值，可以推出三棱锥的体积为定值，即可判断B正确.（3）由题，连接，，，将平面翻折到平面上，通过平面几何知识和余弦定理可以退出，取得最小值时点S的位置，进而求出的最小值，即可判断C正确.（4）由题可知的取值范围，通过球的表面积公式，求出球的表面积的取值范围，即可判断D错误.【详解】解：对于A：由，知动点P，Q分别在以，为圆心，半径均为2的半圆上运动．三棱锥即三棱锥，因为平面平面，所以三棱锥的高为2，因此要使三棱锥的体积最大，需的面积最大，此时点P在处，所以三棱锥体积的最大值为，所以A错误．对于B：易知，又平面，平面，所以平面，所以点S到平面的距离为定值，（关键步骤）因为的三个顶点为定点，所以的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以B正确．对于C：连接，，，将平面翻折到平面上，如图，连接，当S为与的交点时，取得最小值，为．在中，，由余弦定理得，所以C正确．对于D：由A知，又平面，所以三棱锥的外接球球心O在线段上．连接，，设，则，则由余弦定理可得．连接OC，OQ，设，则，所以．因为（R为球O的半径），所以，得，则，所以，故球O的表面积，所以D错误．11．在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（

）A．正四面体的体积为B．正四面体外接球的表面积为C．如果点在线段上，则的最小值为D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为【答案】BCD【分析】由正四棱锥的结构特征，应用棱锥的体积公式求体积，并确定外接球的半径求表面积，展开侧面，要使最小，只需共线，结合余弦定理求其最小值，根据正四面体内接一个圆柱底面圆与其中截面正三角形关系求半径、体高，应用二次函数性质求侧面积最大值.【详解】由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，为底面中心，则共线，为体高，故，所以，故正四面体的体积为，A错误；由题设，外接球球心在上，且半径，所以，则，故外接球的表面积为，B正确；由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，所以且，，又，而，要使最小，只需共线，则，所以，C正确；如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，若截面所成正三角形边长为，则圆柱体的高，圆柱底面半径为，所以其侧面积，故当时，，D正确.故选：BCD三、填空题12．我们知道一个多面体的外接球可以定义为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上，则该球叫这个多面体的外接球.现新定义多面体的“外球”为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上或在球内，则称该球为这个多面体的外球.即外球能将多面体包围起来.如图是一个由六个全等的正三角形构成的六面体，若该六面体有一外球A，且该六面体内有一球.则外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为_________.【答案】【分析】分别求得外球A的半径最小值与球的半径最大值，即可求得该比值【详解】如图六面体的顶点A，在球面上时，此时外球A的半径（直径）最小，球直径的长为上下顶点的距离.六面体可以看成两个全等的正四面体组合而成，一个棱长为1正四面体的高为，所以外球最小半径为.当球为六面体的内切球时，半径最大.六面体的体积，设内切球的半径，的中心为，连接，，，，，六面体可分割成6个相同的三棱锥，，所以.所以外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为.故答案为：13．如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】【分析】先设出BP=x，，利用求出，结合基本不等式求出时，面积取得最小值，补形后三棱锥的外接球即该长方体的外接球，求出外接球半径和表面积.【详解】由勾股定理得：，设BP=x，，则，，，由得：，解得：，因为，故由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其中长方体的外接球的直径为，故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：14．在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是___________.【答案】2【分析】根据给定条件，作出过的正四棱锥的截面，再求出的表达式并结合均值不等式求解作答.【详解】记正四棱锥的体积为，的最大值，由为定值知，只需求的最小值，设过的截面分别交和于，平面与平面的交线为与相交于，如图，则，令，则，即有，，当且仅当时取等号，此时，所以的最大值是2.故答案为：2四、解答题15．在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，．(1)求多面体的体积；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）将多面体补全为直三棱柱，再用棱柱体积减去棱锥体积即得多面体体积；（2）将多面体补全为长方体，利用等体积法有求体积.【详解】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①，因为，即S为的中点，所以，又，故多面体的体积为．（2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则，易知，又点O到平面MDC的距离为，所以．16．如图，半球底面圆的圆心为O（即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆，以圆面为底面向下挖去一个圆柱（圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x，体积为V.(1)求出体积V关于x的函数解析式，并指出定义域；(2)当x为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？附：，，，（当且仅当时取等），（当且仅当时取等）【答案】(1)，定义域为(2)当时，体积有最大值【分析】(1)先设正四棱柱的高为,再根据柱体体积公式求解即可；(2)应用基本不等式求正四棱柱体积最大即得.【详解】（1）设正四棱柱的高为，则，，，,定义域为，（2）当，时取等，∴当时，体积有最大值17．已知正三棱锥的高为4，底面边长为.(1)求该正三棱锥的表面积；(2)用平行底面的平面去截该三棱锥，所得截面三角形的边长为，已知点都在同一球面上，求该球的体积.【答案】(1)(2)【分析】（1）分别求出各边的长，进而求出其表面积；（2）根据条件可得球心在直线上，利用关系建立勾股定理求出球的半径，进而求出结果.【详解】（1）记高为，垂足为，则为的中心且正三棱锥侧面的斜高正三棱锥的表面积所以该正三棱锥的表面积为.（2）因为为正三棱台，所以球心在直线上，设球心为，设记与的交点为，则为的中心则，且或，则，即，外接球的半径，球的体积.18．（1）如图1，正四棱锥，．（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；（ⅱ）为上一点，求的最小值；（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）.【分析】（1）（ⅰ）容易判断球心在线段PO1上，根据勾股定理即可解得；（ⅱ）将三角形展开到与平面在同一平面，即AB的长度；（2）列举出所有焊接的可能性，算出每种情况的体积即可.【详解】（1）（ⅰ）如图4，设外接球半径为，则（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，在三角形中：，所以．（2）正