高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 解析几何 文

解析几何

Hl直线的倾斜角与斜率、直线的方程

21.B12,H1［•新课标全国卷H］已知函数f(x)=x2e-x.

(1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y=f(x)的切线1的斜率为负数时，求］在x轴上截距的取值范围.

21.胡：(l)f(x)的定义域为(一8,+8).

ff(x)=-e-\(x-2).①

当x£(—8,0)或x£(2,+8)时，伊(x)<o;

当x£(0,2)时，fr(：x)>0.

所以f(x)在(-8,0),(2,+8)单调递减，在(0,2)单调递增.

故当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=0；当x=2时，f(x)取得极大值，极大

值为f(2)=4e".

(2)设切点为(t,f(t)),则1的方程为

y=f;(t)(x-1)+f(t).

所以1在x轴上的截距为

f(t)t2

m(t)=L『⑴=t+==t-2+E+3.

由已知和①得t£(-8,0)U(2,+8).

令h(x)=x+2(x*0),则当x£(0,+8)时，h(x)的取值范围为［2+8)；当(—

X

8,-2)时，h(x)的取值范围是(-8,-3).

所以当o)U(2,+8)时，m(t)的取值范围是(一8,0)U[272+3,+8).

综上，1在x轴上的截距的取值范围是(-8,0)U［2V2+3,+8).

5.Hl,H4［•天津卷〕已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1产+y2=5相切，且与直线ax

-y+1=0垂直，贝lja=()

A.B.1

C.2D.1

|k-2|

5.C［解析］设过点P(2,2)的圆的切线方程为y-2=k(x-2),由题意得

解之得k=又,切线与直线ax-y+l=O垂直，，a=2.

15.Hl,C8,E8［•四川卷］在平面直角坐标系内，到点A(l,2),B(l,5),C(3,6),

D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.

15.(2,4)［解析］在以A,B,C,D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角

形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC,BD交点上时，到四个顶点的

距离之和最小.AC所在直线方程为y=2x,BD所在直线方程为y=-x+6,交点坐标为(2,

4),即为所求.

H2两直线的位置关系与点到直线的距离

20.H2,H4［•新课标全国卷II〕在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段

长为2在y轴上截得线段长为2小.

(D求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y=x的距离为平，求圆P的方程.

20.解：(1)设P(x,y),圆P的半径为r.

由题设y2+2=r2,x24-3=r2.从而y2+2=x'+3.

故P点的轨迹方程为『-x2=l.

⑵设P(x0,yo),由已知得

Ixo-y015/2

~^T=2-

Ixo-yoI=1,

{yo2-xo2=1.

Xo=O,

由,

,y«=一1•

此时,圆P的半径r=#i.

xo-y0=-1,Xo=0,

由‘y?-x?=l得'

Jo=1,

此时，圆P的半径r=/.

故圆P的方程为x?+(y-l)2=3或x?+(y+l)2=3.

4.H2、H3和H4［•重庆卷］设P是圆(x-3产+(y+=4上的动点，Q是直线x=-3

上的动点，则IPQI的最小值为()

A.6B.4C.3I),2

4.B［解析］IPQ的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半

径为2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4.

H3圆的方程

14.H3［•江西卷］若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=l相切，则圆C的方

程是

14.(x-2)2+^y+|j=Y［解析］r2=4+(r-lH得r=|,圆心为(2,故圆C

2

的方程是(X-2)2+l=?.

21.F2、F3、H3、H5和H8[•重庆卷]如图1-5所示，椭圆的中心为原点0,长抽在x

轴上，离心率e=平，过左焦点「作x轴的垂线交椭圆于A,A，两点，|AA，|=4.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆，

使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程.

图1—5

(-c)2224

21.解：(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上，则一1一+p=1,从而不+m=1.

由e=当得占=&从而三=占二16.

故该椭圆的标准方程为

(2)由椭圆的对称性，可设Q(x。，0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点，则

222+8。嗑)

(x-xo)+y=x-2xox+Xo

=^(x-2xo)2-xo+8(＞：e[-4,4]).

设P(xi,y.),由题意，p是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当X=x1时取最小值,

又因为(-4,4),所以上式当x=2xo时取最小值,所以xi=2xo,IQP|2=8-xo.

由对称性知P'(%,-y.),故|PP，|二|2yJ,所以

S=-|2yi||x>-xo

y[2y](4-xj)Xo=~(Xo-2)'+4.

当Xo=±4时，Z\PP'Q的面积S取到最大值2

此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(土位，())，半径|QF|=W1=,，因此，这样的圆有

两个，其标准方程分别为(x+d5)2+y2=6,(x-求/+『=6.

4.H2、H3和H4[•重庆卷]设P是圆(x-3V+(y+1尸=4上的动点，Q是直线x=-3

上的动点，则IPQI的最小值为（）

A.6B.4C.3D.2

4.B［解析］］PQ的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为（3,-1）,半

径为2,所以|PQ|的最小值d=3-（-3）-2=4.

H4直线与圆、圆与圆的位置关系

6.H4［•安徽卷］直线x+2y-5+/=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（）

A.1B.2C.4D.4m

6.C［解析］圆的标准方程是（x-l）2+（y-2）2=5,圆心（1,2）到直线x+2y-5+^二

0的距离d=l,所以直线*+2丫-5+4=0被圆*2+/-2*-410所截得的弦长1=2后1

=4.

7.H4［•广东卷］垂直于直线y=x+l且与圆x2+y2=l相切于第I象限的直线方程是

（）

A.x+y--x/2=0B.x+y+1=0

C.x+y-1=0D.x+y+^/2=0

7.A［解析］设直线方程为y=-x+m,且原点到此直线的距离是1,即1二关,解得印

二土线.当m=-镜时，直线和圆切于第HI象限，故舍去，选A.

14.H4[•湖北卷]已知圆0：x?+y2=5,直线1：xcosQ+ysin。=1(0＜。设圆0

上到直线1的距离等于1国点的个数为k,则卜二

14.41解析］圆心到直线的距离d=l,r=V5,r-d>d,所以圆0上共有4个点到直

线的距离为1.k=4.

10.H4［•江西卷］如图1-3所示，已知圆心在L上、半径为1m的圆0在t二

0时与L相切于点A,圆。沿L以lm/s的速度匀速向上移动，圆被直线L所截上方圆弧长记

为x,々y=cosx,则y与时间单位：s）的函数y=f（t）的图像大致为（）

图1一4

10.

B［解析］如图，设NM0A=a,a-1=2t2-4t+1,x

=2a,1=2a,y=cosx=cos2a=2t2-4t+1,故选B.

20.H2,H4[•新课标全国卷II]在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段

长为2小，在y轴上截得线段长为2小

(1)求圆心P的轨迹方程；

⑵若P点到直线y二x的距离为平，求圆P的方程.

20.解：(1)设P(x,y),圆P的半径为r.

由题设5』+2=r[+3=r；从而f+2=x'+3.

故P点的轨迹方程为y2-x2=i.

⑵设P(x*yo),由已知得

IXo-yo|y［2

2,

|xo-yo|=1,

又P点在双曲线y2-x、l上，从而得

yo-xo=1.

Xoyo=1,Xo=O,

由篇xM得,

.y0=~i.

此时，圆P的半径r=3.

Xo=0,

得

yo=i.

此时，圆p的半径r二，i

故圆P的方程为x?+(y-1)2=3或/+(y+1)2=3.

13.H4[•山东卷]过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2>=4的弦，其中最短弦的长为

132镜L解析］设弦与圆的交点为A、B,最短弦长以(3,1)为中点，由垂径定理得(喂)

+(3-2)2+(2-1)2=4,解之得|AB|二2也

8.H4［•陕西卷］已知点M(a,b)在圆0中+/=1夕卜,则直线ax+by=1与圆0的位置

关系是()

A.相切B.相交C.相离D.不确定

8.B［解析］由题意点M(a,b)在圆x?+y2=l外，则满足a2+b5l,圆心到直线的距离

d=—j==,<\,故直线ax+by=1与圆0相交.

+b2

5.Hl,H4［•天津卷］已知过点P(2,2)的直线与圆6-1产+丫2=5相切，且与直线ax

-y+1=0垂直，则a=()

A.B.1

C.2D.1

|k-2|r

5.CL解析］设过点P(2,2)的圆的切线方程为y-2=k(x-2),由题意得八「二乖.

+K

解之得k=又・切线与直线ax-y+1=0垂直，Aa=2.

20.H4,E8,B1［•四川卷］已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点。是坐标原点.直线

1：y=kx与圆C交于M,N两点.

(1)求k的取值范围；

211

(2)设Q(m,n)是线段MN上的点，且再广=市三+7K.请将n表示为m的函数.

20.解：⑴将y=kx代入x'+(y-4)、4,得

(l+k2)x2-8kx+12=l(*)

由△=(-8k)2-4(l+k2)X12M),得k”3.

所以，k的取值范围是(-8,一/)0(#+8).

(2)因为M.N在直线1上，可设点M,N的坐标分别为(xi,kxi),(x2,kx2),贝lj

10M|2=(1+k2)Xi,|ON|2=(1+k2)xl.

又10Q2=m2+=(1+kJ)m2,

,_2_____1_____1_«

田西了一而尸得

211

(1+k2)m2=(1+k2)xf+(1+k2)

2

211(xi+x»)-2XIX2

即濯二十hSi-

/、-A8k12

X,+X2=?

由(*)式可知，77p-x1x2=YYj<'

所以球二三笠亍

OKO

n35

因为点Q在直线y=kx上，所以k==代入m'=；'中并化简,得5n2-3m'=36.

由#=/%及选3,可知0＜弥＜3,即（-镉，C）U（0,/）.

根据题意，点Q在圆C内，则n〉0.

/36+3m'-\Z15m'+180

所以n==:一•

\/15m2+180|-f-、、

于是，n与m的函数关系为n=“--——（m£（z-、3,0）U（0,也））.

□

13.H4E-浙江卷］直线y=2x+3被圆X?+丫?_6x-8y=0所截得的弦长等于________

13.4乖［解析］圆的标准方程为（x-3）?+（y-4）2=25,圆心到直线的距离为d=

|2X3-4+3|=^5,所以弦长为八/比-（乖）版:4#.

4.H2、H3和H4［•重庆卷］设P是圆（x-3＞+（y+1尸=4上的动点，Q是直线x-3

上的动点，则IPQI的最小值为（）

A.6B.4C.3D.2

4.B［解析］|PQ的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为（3,-1）,半

径为2,所以|PQ|的最小值d=3-（-3）-2=4.

H5椭圆及其几何性质

21.H5,H10［•安徽卷］已知椭圆C号+卜l（a〉b〉0）的焦距为4,且过点P（p镜）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q（x。，汽）6必）/0）为椭圆（：上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E,取点A（0,

2位），联结AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D,点G是点D关于y轴的对称点，作直线

QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

21.解：⑴因为焦距为4,所以a-bi.又因为椭圆C过点P（，i^3）,所以马+微;

aD

1,故a?=8,b2=4,

V•/

从而椭圆C的方程为*+9=l.

oq

（2）由题意,E点坐标为（xo,0）,设D（XD,0）,则靠=（x*-2啦），AD=（xD,-2也）.

再由AD_LAE知，AE-AE'=0,即XoXu+8=0.由于Xoy层0,故Xu二-士

X。

8

因为点G是点D关于y轴的对称点，所以G7,0.

Xo

故直线QG的斜率kw二」彳二言.

Xo--

Xo

又因Q(x°,y。)在椭圆C上，所以/+24=8.①

Xo

从而kQG=-而

x8

故直线QG的方程为y=-力-7②

将②代入椭圆C方程，得(x?+2娟X2-16XOX+64-16y(=0.③

2

再将①代入③，化简得x-2xox+xJ=Ot

解得x=x。，y=yo,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.

2

19.M2,H5,H10[•北京卷]直线y=kx+mGnmO)与椭圆口，+/=1相交于A,C两点,

0是坐标原点.

(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

(2)当点B在TV上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.

19.解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与0B相互垂直平分.

所以可设A。，；)，代入椭圆方程得"+}=1,即1=±4.

所以|AC|=2小.

⑵证明：假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点，且ACJ_OB,所以kWO.

fx2+4y2=4,

由<।消y并整理得

[y=kx+m

(1+4k2)x2+8kmx+4m"-4=0.

设A(x1,yi),C(x2,y>),则

xi+x4kmyi+y2xi+xm

丁2一二八丁2+m=

(4kmm、

所以AC的中点为«一13记yr记

因为M为AC和0B的交点，且m#0,kWO,所以直线0B的斜率为-白

因为卜,(一a)共-1,所以AC与0B不垂直.

所以OABC不是菱形，与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.

产0,

15H5[•全国卷]若x,y满足约束条件，x+3y24,则z=-x+y的最小值为________.

13x+yW4,

15.0「解析]已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC及其内部，目标函数的几何

意义是直线y=x+z在y轴上的截距，显然在点A取得最小值，点A(l,1),故2/=-1+1

=0.

8.H5［•全国卷］已知E(-l,0),FX1,0)是椭圆二的两个焦点，过&且垂直于x轴的

直线交C于A,B两点，且|AB|=3,则C的方程为(;

A-7+y2=1B-7+2=1

2222

吟+?1*+/1

X2V2b2

8.C［解析］设椭圆C的方程为？+言=l(a〉b〉0),与直线x=1联立得y=±—(c=1),

aDa

所以2b2=3a,gp2(a2-l)=3a,2a2-3a-2=0,a>0,解得a=2(负值舍去),所以b、3,

22

故所求椭圆方程为1.

22

15.H5,H8［•福建卷］椭圆「：A，l(a>b>0)的左、右焦点分别为R,F2t焦距为

2c.若直线y=，5(x+c)与椭圆「的一个交点M满足NMFF2=2NMF、2%,则该椭圆的离心率等

于.

15.V3-1［解析］如图，△MFE中，ZMF1F2=60°,所以NMFF=30。，/件\旧=90。.又

|F1F2|=2C,所以IMF』二c,IMF2I=，5c.根据椭圆定义得2a=|MFj+|MF?|二C+第C,得e二

2

=y[i-1.

飞+1

9.H5［•广东卷］已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(l,0),离心率等于1则C的

方程是（）

2222

XV

A.3+厂1B-4+J"3r=1

22

哈+$1

C-7+2=1

XVC

9.D［解析］设椭圆C的标准方程为示+R=l(a>b,O),由题知c=l,-=T,解得a=2,

dDd乙

b2=a2-c2=4-1=3,选D.

22

XV

12.H5［•江苏卷］在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为示+*l(a>0,b>0),

右焦点为F,右准线为1,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d.,F到1的距离

为由.若d肝乖儿则椭圆C的离心率为.

12.弹L解析］由题意知F(c,0),1：x=7,不妨设B(0,b),则直线BF：2=1,

JCCL

即bx+cy-be=0.

工曰八I-bc|be

于是=Q

,a2a2-c2b2

d=--c=----=—.

2ccc

化简得6c4+a2c2-a1=0,

即6e+e--l=0,

解得或e2=-J(舍去)，

J乙

故e二噂，故椭圆C的离心率为

OO

20.H5,118「・汀西卷1椭圆C：当+&=l(a>b>0)的离心率e=更,a+b=3.

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图1-8所示，A,B,I)是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线

DP交x轴于点N,直线AD交BP于点此设BP的斜率为k,MN的斜率为m.

证明：2m-k为定值.

20.解:⑴因为6=*二三

乙<1

所以a二帚，°二方，代入a+b=3得，c=^3,a=2,b=1,

2

故椭圆C的方程为，+y2=l.

⑵方法一：因为B(2,0),P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y=k(x-

2)1#0,kN±9①

①代入%y'L解得。除J

直线AD的方程为y=1x+1.②

,4k+24k、

①与②联立解得《加二7,加力・

由1）（0.D,P信三一:n*），N（x,0）三点共线知

4k'+1（）-1（Z4k-2A

FE-=—解得“E，

4F7T-°

4k八

-------0

八一2k-14k(2k-1)2k+1

所以MN的斜率为小=及+24k-2=2(2k+l)』(2k-l)二二4，

2k-12k+1

2k+11一』

贝Ij2m-k=----k=.(定值).

方法二：

Vn

设P(x°,yo)(xo#0,±2),则k=.,3

直线AD的方程为：y=1(x+2),

直线BP的方程为：丫;三仁一）,

XQ乙

Vo—1f-Xo、

直线DP的方程为：y-l二二一X,令y=0,由于y<〃l可得“H，0,

Xo

y=\(x+2)t

{y*I),

，曰/^丫。+2x。—44yo)

解得2y。—xo+2'2yo-xo+2)

因此MN的斜率为

4yo

2y(i-xo+24yo(yo-1)

4yo+2xo-4xo-4yo-8yo+4x()yo-Xo+4

2yo-Xo+2yo-1

__________4yo(yo-])____________y»-1

4yo-8yo+4xoyo-(4-4y«)+4-2y0+x0-2,

2(y「l)y»

所以2m-k=

2yo+Xo_2Xo—2

2(yo—1)(Xo-2)-yo(2yo+x«-2)

{25ro+Xo_2)(Xo—2)

2(y(>—1)(xo-2)-2yo-yo(xo-2)

(2yo+xo-2)(xo—2)

2(yo-1)(xo-2)--(4—xo)-yo(xo-2)

乙

(2yo+Xo-2)(xo—2)

［(定值).

22

11.H5［•辽宁卷］已知椭圆C:、+£=l(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交

aD

4

于A,B两点，联结AF,BF.若|AB|=10,|BF|二8,cos£ABF=-则C的离心率为()

35

A.二B.~

o/

46

C.TD.~

11.B［解析］设椭圆的右焦点为Q,由已知|BF1=8,利用椭圆的对称性可以得到|AQ|

5

=8,ZXFAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a=14,2c=10,所以e二^

5.H5［•新课标全国卷II］设椭圆，：・+看=15用>0)的左、右焦点分别为件，F2,P是

aD

C上的点,PF21F.F2,ZPF|F2=3O°.则C的离心率为()

证1

A.丹-B.-

63

1#

C-D.

乙J

2-a

3亚

-c

5.D［解析］设PFZ二x,贝IJPFi=2x,由椭圆定义得3x=2a,结合图形知，-3-

2ca

哗,故选D.

22.H5,H8［•山东卷］在平面直角坐标系x()y中，三知椭圆C的中心在原点0,焦点在

x轴上，短轴长为2,离心率为坐.

(1)求椭圆C的方程；

(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为小的任意两点，E为线段AB的中点，射线0E交

椭圆C于点P.设而二t布，求实数t的值.

X2V2

22.解：(1)设椭圆C的方程为7+£=l(a>b>0),

ao

公=b'+c2,

故题意知〈.二平，

a乙

.2b=2,

解得a二,，b=l,

e

因此椭圆c的方程为5+y2=l.

乙

(2)(。当4，B两点关于x轴对称时，

设直线AB的方程为x=m,由题意-/<m<0或

X2

将x=m代入椭圆方程5+y-'=1.

得

所以SAAOB=|m［与“=乎.

解得皿'="I或nf'二^.①

XOP=tOE=1t(0A+03)=(2m.0)=(mt.0),

因为P为椭圆c上一点，

4

由①②得/=4或/'=不

O

又因为t>0,所以1=2或1=乎.

O

(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,

设直线AB的方程为y=kx+h.

将其代入椭圆的方程5+y2=l,

得(1+2k2)x2+4khx+2hz-2=0,

设A(xi,yi),B(X2,设.

由判别式八〉0可得

2h2-2

此时X]+X2=-1+2k2,X,X2=l+2k2'

y(+y2=k(X)+X2)+2h=

所以IAB|=+可(xi+X2)、4XIX2

——Jl+2k2-h2

2%户“1+2/

因为点。到直线AB的距离d二点,

所以SAAa«=；ABd

]八GI..'71+2k'-h~|h|

=2x2PK1+2k-

t-yl1+2k"-h'

m1+2/

又SAACA=4,

所以也必言吾hl邛③

令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h'=0,

4,

解得n=4h?或n=1h[

4,

即1+2k'=4h”或1+2k?=~h2.④

XOP=tOE=1t(0A+03)=1t(xi+X2,

y1+y2)

乙乙

因为p为椭圆C上一点，

4

将④代入⑤得t2=4或t2=Q,又知t>0,

故t=2或t=^^,

经检验，适合题意.

综合(i)(ii)得I=2或I/£

<5

20.H5,H8[•陕西卷]已知动点M(x,y)到直线1x=4的距离是它到点N(l,。的距

离的2倍.

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.

yl：X=4

M(x,y)

JMi.Oz)x

20.解：⑴设M到直线1的距离为Jd,根据题意，d=2|MN|.

由此得14-x|=2yj(x-1)2+y2.

化简得：+丁=1,

22

所以，动点)1的轨迹方程为彳+91.

(2)方法一：由题意，设直线m的方程为y=kx+3,A(xi,yi),B(x2,y2).

将y=kx+3代入彳+―二1中,有(3+4k。)x"+24kx+24=0,

4J

其中,A=(24k)2-4X24(3+4k2)=96(2k2-3)>0.

24k

由求根公式得，X!+X2=-q4.2,①

24/

又因A是PB的中点，故X2=2XI.③

将③代入①，②，得

8k212

X,="3+4k2'X1=3+4k2,

(-8kA212.73

可得仁司二行正且k/

解得k=k=|,

所以，直线m的斜率为-|或方

方法二：由题意，设直线m的方程为y=kx+3,A(xi,yi),B(x2,y2).

「A是PB的中点,

•••xi=y,①

乙

3+丫2,一、

•②

乙

2

Cx2=-

2

(x，=

-八

或，

一［

解得

，④

，③

，②

联立①

,

［y2=0

lY2=0

0),

-2,

0)或(

(2,

标为

B的坐

即点

或方

为-2

斜率

线m的

，直

所以

2

2

Fi,

焦点