高二年级下册期中（4月）数学检测模拟试卷2

高二下学期期中(4月)模拟试卷

(B寸间：120分钟，分值：150分，范围：导数，计数原理，随机变量及其分布)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8(其中xw7),若该组数据的中位

数是众数<倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是()

4

1616

A.―,5B.5,5C.―,6D.5,6

【答案】C

【分析】先求出x的值，再根据定义分别求解.

【详解】中位数=卓，众数为4,,由题意知W=4x。，解得x=6,

224

一1

该组数据的平均数为x=-x(l+4+4+6+7+8)=5,

6

2222

该组数据的方差是§2=，X[(1-5)+(4-5)2+(4-5)+(6-5)2+(7-5)+(8-5)]=y,

因为6x60%=3.6,所以该组数据的60%分位数是6；

故选：C.

2.已知函数/(x)=21则"("))—/0)=().

AID-2A.V

A.1B.-1C.In2D.-In2

【答案】D

【分析】根据导数的定义，结合指数函数的导数进行求解即可.

【详解】由/(x)=2、=/'(》)=2'In2,

斫[、|[•+1)110i

丹T以hm-----------乙=一一/(1)=——x21n2=-ln2»

2-2Ar2'2

故选：D

3.某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从止态分布N(I2O,"),已产(才>140)=0.2,

则Xc[100,l40]的学生人数为()

A.5B.10C.20D.30

【答案】D

【分析】由正态分布的对称性求出P(100<%<140)=().6,即可求出^€[100,140]的学生人

数.

【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布N(120,4)，所以期末考试数学成绩关7

〃=120对称，

则P(X>140)=P(X<100)=0.2,所以。(100<y<140)=0.6,

所以X亡[100]40]的学生人数为：0.6x50-30A.

故选：D.

4.已知=%+4(x+l)+%(x+l)2+…+%023(工+1广则

同+同+KJ+…+1。2023k()

A.24046B.1C.2须3D.0

【答案】A

【分析】首先利用换元，转化为(3-/)2°23=玛+卬+代/+-一+.23产23,再去绝对值后，赋

值求和.

【详解】令/=x+l,可得x="l,

则[2-(/-I)]=(3-/)-°'3=4o+"+"?+••+a202」：

二项式(37)2的展开式通项为7；+1=C1了⑵一.(-//,

则&=C；023•320n-r(-iy(0<r<2023且rcN).

当「为奇数时，ar<0t当，为偶数时,。,>0,

因此,同+同+同+…+|。2021|=%-%+。2----。2023=(3川户”女046.

故选：A.

5.一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6.现将此骰子任意抛掷2次，

正血向上的点数分别为%,犬2•设乂='*J，设丫2=*'/，记事件人飞二5",

大2，大|</2，"l>>A2

B="X=3”,则P(8|/)二()

【答案】B

【分析】分别求出夕(⑷，P(历0的概率，由条件概率代入即可得出答案.

【详解】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为36种，

显然X是取大函数，所以4="乂=5〃，

则X，七中有一个数字是S,另一个数字小于等于S,有5乂2-1=9种：

显然八是取小函数，所以八弋=5〃，4=q=3〃同时发生，则有(3,5)和(5,3)；

912

所以尸(4)=工=7P网二，

36436

所以叱卜需H

故选：B.

6.武术是中国的四大国耗之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课

有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和

形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有()

A.19840种B.16000种C.31360种D.9920种

【答案】D

【分析】先确定从5天中近3天排太极拳的排法情况，百分五天中有3天既有太极拳又有形

意拳，五天中有2大既有太极拳又有形意拳，五天中有1夭既有太极拳又有形意拳，三种情

况讨论，从而可得出答案.

【详解】先从5天中选3天排太极拳，有C；种，

然后再从所选的3天中选-•节排太极拳有C；C；C；种，

所以太极拳有C；C；C；C；种排法，

若五天中有1天既有太极拳乂有形意拳，

则哪一天重复右C；种，

再从另外不重复的2天中每天选1天排形意拳，有c；q种，

再从剩下的4节课中选2节排长拳，有C：种，则另外2节排兵器，

所以有C；C；C；C：种，

若五天中有2天既有太极拳又有形意拳，

则哪两天重复有C；种，

再从另外不重复的2天中排形意拳，有C；C；种，

再从剩下的4节课中抽2节课排长拳，有C：种，则另外2节排兵器，

但排在同一天不合适，所以有C：-2c种，

所以共有C；C；C；(C：-2C；)种，

若五天中有3天既有太极拳又有形意拳，

则剩下的4节课中选2节排长拳，有C；种，再去掉排同一天的2C；种，

所以有C：-2解种，

综上所述：共有GC；C；C；[C；CCC；+C；C；C；C：-2C；j+后-2C；]

=80x(72+48+4)=9920种.

故选：D.

7.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球

除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4,4和4表示由

甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以8表示由乙罐

中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是()

①事件4与4相互独立；

②4，4,4是两两互斥的事件；

③产(例4)=5；

④尸⑶总；

⑤24|0=[

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】先判断出4,4,4是两两互斥的事件,且不满足q(44)=P(4>P(4)，①错

误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.

【详解】显然，4，4，4是两两互斥的事件，且

51o1

夕(4)=不[=5,而工尸①错误，②正

P(A2)=-^—=-,P(44)=O(4)・P(4),

确：

所以"田为卜指，③止确；

JIJIJJJ1\JJ

尸(8)=尸但4).尸(4)+尸(8%>产出)尸0比)尸小)/卞*3小3④

正确；

P(4⑻=今符=2^4⑤错误，综上：结论正确个数为3.

22

故选：C

8.若存在与e[1,2],使不等式/十卜2—l)lnatV+c2*o—2成立，则〃的取值范围足()

C

【答案】D

222

【分析】x0+(c-l)lnt?>^-+ex0-2<=>(e,令*=t,构造函数

/(/)=(e2-l)ln/-2/+2,从而问题转化为存在fe，使得了“)之0成立.

求导判断单调性求得当14“屋时，/(0>0,进而得到£4e2且为之1,即可求解.

2222

【详解】^0+(e-l)liw>-^-+ex0-2o(e-l)ln«-(e-l)x0>-^--2

ee

<=>(e2-l)lna-(e2-l)lnex">-^--2<=>(e2->-^--2

(，ee

令三=.,Lip(e2-l)ln/-2/+2>0,

e

因为飞£［-1,2］,所以白］,

cc

则原问题等价于存在z』g,二］,使得八/)之0成立.

_ee

c2-l(C2-1)-2Z

,no=--2=^i—

tt

令/'(/)<0,即仁―1)—2z<0,解得z>U，

令八f)>0,即(e2—l)—2/>0,解得()</<?,

所以在［，宁)上单调递增，在(三,内)上单调递减.

乂因为/⑴=0J(e2)=(e2-l)lne2-2e2+2=2e2-2—2e2+2=0

而1〈巴Lcz,

2

・••当IKY。?时，f⑴NO.

若存在［=］,使得/。)之0成立.

e-e

只需且工21,解得且。之」，

e-ee

所以JvaVeL

c

故〃的取值范围为-,e4.

_e_

故选：D

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及

数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.下列命题正确的是()

附：

pgQ

ko

A.若甲、乙两组数据的相关系数分别为和-0.85,则乙组数据的线性相关性更强

B.已知样本数据石,々，…，。的方差为4,则2』+30,242+30,…,2乙+30的标准差是4

C.在检验力与6是否有关的过程中，根据所得数据算得《2=6.332,则有99%的把握认为

4和8有关

D.对具有线性相关关系的变量-y,有一组观测数据（再，匕）«=1,2,…JO）,其线性回归方

程是y=R+l,且$+》2+占+…+%=3（M+为+乃+…+%）=9,则实数A的值是一（

【答案］ABD

【分析】比较相关系数的绝对值大小即可判断A；根据力差和标准差的关系即可判断B；根

据6.352<6.635即可判断C；先算出1再根据其线性回归方程即可求得实数A的值，

进而即可判断D.

【详解】对于A,*|-0.85|>|0.66|,则乙组数据的线性相关性更强，故A正确：

对于B由样本数据石,孙…，Z的方差为%则2占+30,2々+30,…,2x“+30的方差是

22x4=16,所以其标准差为4,故B正确；

对于C,由6.352<6.635,则没有99%的把握认为力和B有关，故C错误：

对于D,依题意可得"-京9，-歹3=捻，则3输=*力9*+1，得方*=J7，故口正确.

故选：ABD.

10.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸

数〃，如231、354等都是“凸数”,用1,2,如4,5这五个数字组成无重复数字的三位数,则（）

A.组成的三位数的个数为30

B.在组成的三位数中，奇数的个数为36

C.在组成的三位数中，“凸数〃的个数为24

D.在组成的三位数中，“凸数〃的个数为20

【答案】BD

【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数"的概念分析，结合选项依次求解即可.

【详解】A：5个数组成无重复;的三位数的个数为A；=6D,故A错误；

B：奇数为个位数是1,3,5的三位数，个数为3A：=36,故B正确：

C：“凸数”分为3类，①十位数为5,则有A：=12个；②十位数为4,则有=6个；

③十位数为3,则有A；=2个，所以共有20个，故C错误；

D：由选项C的分析可知，D正确：

故选：BD.

11.设（1+2“°=%+空+/9+••+%/，则下列说法正确的是（）

10

A.%=10B.+a2+--+ai0=3-1

C.展开式中二项式系数最大的项是第5项D.%=9q

【答案】BD

【分析】对于A,令x=0,从而即可判断；对于B,令x=l,结合A的结论，即可判断；

对于C,由二次项的展开式中系数的特征即可判断；对于D,利用二次项的展开式公式求出

%,%即可判断.

【详解】解：对于A,令x=0得g=1,故A不正确；

对于B,令x=l得Oo+q+。2+…+。10=3'°,

而由A知：询=1,因此4+%+…+=32T，故B正确;

对于C,因为（1+2»°的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确：

对于D,因为（1+2划°的展开式中,“2g肃,

所以］=2C：oX=2Ox,7；=22C^X2=180X2,

因此q=20,%=180,所以a2=%4，故D正确.

故选：BD.

12.已知。>6>1,则下列结论正确的是（）

B.皿>华答C.1幅(。+1)>嗨("1)D."

A.R

ab+1bb

【答案】AD

【分析】分别构造函数g、)=J,/(x)=?,2)=也哈4>1),0(》)二餐，求导确定这

些函数的单调性，即可利用单调性求解.

【详解】令g(x)=£,\胫(x)—e"(：7)，故当X>1时,g<x)>0,故g(x)在(1,+8)单调递

X

增，

由于a>b>l,故g(a)>g。)，即三,进而故A正确，

ahb

令/("=期,/'(》)=上半,当X>e时,r(x)<0，所以在(e,+8)单调递减，在(l,e)

XX

时/幻)>0,此时/(x)单调递增,

由于。为+1的大小关系无法确定，故/(。),/(人+1)的大小关系也无法确定，故B错误，

令依kF(X〉D,

Inxx(x+l)liTx

令s(x)=xlav(x>1),则s'(x)=Inx+1>0,

.•.5(X)在(1,+8)上单调递增，.一山<(.*+1)3、+1),

xliu-(x+l)ln(x+l)

<0,.■»(x)在(l,+8)上单调递减,

x(x+l)ln2x

Qa>b>l,\h(a)<h(b\

：.logtf(i7+l)<log6(/>+l),故C不正确;

叱(1)[xlar-(x-l),

构造函数〃3=甘\〃(力

IlLVIn2x\n2x

记夕(x)-HILL(工-1),\c^(x)=lav+1-1=ln.r>0,(x>1),所以q(x)在(1,+co)单调递增.所

以q(x)>q⑴=0,

因此〃(x)>()，所以P(x)在(L+8)单调递增，由于所以〃⑷>〃(〃)D/>二，

InaInp

进而产〉产,即色〉幺,故D正确,

bba

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.设随机变量。一以2/),〃〜4(3,〃)，^P(^>1)=|,则/⑴之2)=.

7

【答案】-

【分析】由题意可得尸e、l)=l-PC=0)=，由此解出P值，根据，7〜8(3,〃),代入所求的概率

的值，根据尸(〃>2)=1-P(7=0)-p(〃=1)得至I」结果.

【详解】v随机变量以2,p),且尸(疑1)J

AP(^>l)=l-P(f=0)=l-C;(l-p)2=

解得P=；,.•.n〜8(3,J

lYpf,847

-I—=]-----2E--

P(/7>2)=1-P(/7=O)-P(^=1)=1-C；---C

IJ，IJ，3jUJ27927

7

故答案为：—.

14.(〃+2力-3c),的展开式中的系数为.

【答案】-6480

【分析】(a+2方-3c)6=[(a+28)-3c]6,利用二项式定理得到7；=-540c+2力『，再展开

(a+2人))计算得到答案.

【详解】(〃+2力-3c)6=[W+2/>)-3寸，展开式的通项为：二产。；("26厂(-3c)’,

取厂=3,则7；=Cl(a+2力广3(-3c)3=-540?■(«+2Z))\

3mm

(。+2力丫的展开式的通项为：Tm+}=C；'a-(2b),

取〃7=2,得到7；=C；a(»)2=l2a〃，

故ab*的系数为-540x12=-6480.

故答案为：-6480.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考杳学生的计算能力和应用能力.

15.已知x,y,zeN.,且x+y+z=8,记随机变量X为x,y,z中的最小值，则。(X)=.

_,,10

【r答杀】49

【分析】求出X可能取值为1和2,分别求出事件总情况及X=1与X=2的情况，求出相应

的概率，求出期望，利用。。)=网f)-[七(X)f计算出答案.

【详解】因为x+y+z=8,所以随机变量X可能取值为1和2,

用隔板法可求得：货件总情况为C；种，

X=1时，分两种情况：

①三个数中只有一个1,有C；.C：种：

②三个数中有两个1,有C；种，

所以X=1时，PL型等G=J,

X=2时，也分两种情况：

①三个数中只有一个2,有C；种；

②三个数中有两个2,有C；种，

所以X=2是，季.=,，

5295213

所以E(X)=1X±+2XW=2,E(%2)=1X-+4X-=—

777777

。。)二网月)-因x)f=M，

故答案为：叫.

49

16.若函数/(x)=-x4+的萨/+―/-4丫的极小值点为],则实数4的取值范围是

【答案】(2,+8)

【分析】令/'。)=0得$=-亚=%3=1，讨论£与1，-3的大小关系，确定1是否为极

值点即可.

【详解】由/(%)=一一+网产X、一一一办得，

f\x)=-4x3+(2a+2)x2+(2-a)x-a=-(戈-1)[4,+(2-2a)x-a]

=—(x—l)(2x+l)(2x-a),

令ra)=o得手==卜3=1，

令g(x)=厂(x)=-4/十(2a+2)x7+(2-a)x-a,

所以g'(x)=-12/+(4a+4)x+2-a,

又△=16(。+1)2+48(2-。)=16(/一。+7)=16>0,

a+1--a+7a+1+Ja2-4+7

所以g'(x)=0有两个不同的根，令几

66

当X<5或X>为时，gr(x)<0,f'(x)单调递减；当X€(几,/),g'(x)>0J'(x)单调递增,

①当即。>2时，/'(X)的大致图象如图1：

时，/'(x)<0,所以-g为/(x)的极大值点

八x)>0,所以1为“X)的极小值点,

/V)<0,所以卷为/*)的极大值点，

故。>2时满足题意.

②当-；吗<1时,》3=1是/'3=0的最大根,/(X)的天致图象如图2：

时，八x)>0,当X-)时/«)<0,所以1为“X)的极大值点，此时不满足

题意.

③当会-g时，/'3的大致图象如图3图4,xe卜川时，f\x)>0,当x-)时

Ax)<0,所以1为/(x)的极大值点,此时不满足题意.

r(x)<0,当xe(1,+8)时f\x}<0,

所以1为/（x）的极大值点，此时不满足题意.

综上：。的取值范围：（2,+00）,

故答案为:（2,+8）

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排

出一个节目单.

（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

⑵相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？

【答案】⑴240

⑵408

【分析】（1）利用捆绑法可求解即可；

（2）根据相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的

全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加

上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数即可求解.

【详解】（1）将2个相声节目捆绑在一起，看成1个节三A；,与其余4个节目一起排A；,

则共有A武=2x120=240种不同排法.

（2）若相声节目排在第一个节目，则有C；A；种不同排法，

若魔术节目排在最后一个节目，则有A；种不同排法，

若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有C；A：种不同排法，

则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减

去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节

目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，

所以共有A：-C；A；-A"C；A：=720-240-120+48=408种不同排法.

18.（12分）为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制

定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在［80,90）分内的市民获二等奖，成绩在［901（）0］

分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖.随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本

绘制了如下样本频率分布直方图.

⑴现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率.

（2）若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布NJ。），其中。。12,4为样本平均

数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果

四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于

300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为久求随机

变量4的分布列和数学期望.

附：若随机变量X服从正态分布NJ。?），则之0.6827,

P（〃-2。＜XW〃+2。）。0.9544,尸（〃-3。＜XW〃+3。卜0.9973.

【答案】⑴哉

（2）①该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68；②分布列见解析，2

【分析】（1）先根据频率分布直方图求出抽取的50名市民中有8人获奖，42人没有获奖，

再利用组合知识求出古典概型的概率；

（2）①计算出样本平均数的估计值，得到X近似服从正态分布N（69,122）,利用3b原则,

求出特殊区间的概率和对应的市民数；

②求出得到分布列，计算出期望值.

【详解】（1）由样本频率分布直方图，得样本中获•等奖的有0.006x10x50=3（人），获二

等奖的有0.010x10x50=5（人），所以有8人获奖，42人没有获奖.

从该样本中随机抽取2名市民的成绩，样本点总数为C；（.设抽取的2名市民中恰有1名市

民获奖为事件力，则事件A包含的样本点的个数为C'C；.

J.2

由古典概型概率计算公式，得尸所以抽取的2名市民中恰有1名市民获

奖的概率为羲48.

（2）由样本频率分布直方图，得样本平均数的估计值

//=45x0.006x10+55x0.012x10+65x0.040x10+75x0.026x10+85x0.010x10

+95x0.006x10=69.

故该市所有参加试卷竞答的市民成绩¥近似服从正态分布/V（69,122）.

10544

①因为〃+20=93,所以P（X293卜；=0.0228.

0.0228x3000^68,故该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68.

②由〃=69,得P（X269）=g,即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，

其成绩不低于69分的概率为:，所以随机变量J~.

随机变量4的所有可能取值为0,1，2,3,4.

叫=。）=鸣If

g卜鸣”4

户（…卜咱（得］

随机变量的分布列如下:

001234

131

P

记484-16

所以£（/=4x；=2.

19.（12分）已知函数/（x）=41nx-ox+—（6?>0）.

（1）当〃=；,求/1（X）的极值.

⑵当。21时，设g（x）=2e-4x+2“，若存在和今£1,2,/（.r,）>g<x2）,求实数”的取值

范围.（e为自然对数的底数，e=2.71828...）

【答案】⑴极小值为3；极大值为41“-3

（2中，4）

【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；

（2）存在内,961,2,使/（G>虱士），转化为在区间g，2上/（Hmu>g（x）min，即可求

解.

【详解】（1）/（X）的定义域为（0,+8）,

1,、V7

当4=5时，/(x)=41nx--+—,

・•・小),」一二」曰(三7),

v7x22r2r

令/'（x）>0,可得1VXV7,令/（x）<0,可得OViVl或X>7,

・•・函数的单调减区间为（0,1）,（7,+oo）,单调增区间为（1,7）

••・x=l时，函数取得极小值为3；x=7时,函数确定极大值为41n7—3；

(2)八上一""「(aS)”。),令从x)=-a/+4x-(a+3),

若“21,则A=16-442-12〃=-(a-l)(a+4)W0,

/./(x)在区间(0,+=)上单调递减，

工当。21时，，/(X)在g,2上单调递减，

「11门13

在-,2上的最大值为/-=-41n2+^+6,

g,(x)=2er-4,令g〈x)=O,得x=ln2,

1

当-,1112时，，g'（x）〈O.，g（x）单调递减，

//

当xe（ln2,2］时，g'（x）>0,Jg（x）单调递增，

・・・g（x）在1,2上的最小值为g（ln2）=4-4ln2+2*

3

由题意可知一41n2+2〃+6>4—4ln2+2。，解得。<4,

2

又二。21,

・••实数〃的取值范围为［1，4）.

20.（12分）某乡镇全面实施乡村振兴，大力发展特色产业一一富硒水果.工作人员统计了

近8年富硒水果种植面积毛（单位：百亩）与年销售额必（单位：千万元）的数据

（i=l,2,3,…,8）.经计算得到如下处理后的统计量：嚏=3.1，亍=30,5=3.24,=86.82,

/=1

£>,2=93.88,^w；-8w=2.7,火匕乂=3974.5,住匕?_硝住仃一演］=11624,

»-11-1V\!=1八）

Z匕2_8『=630.3,其中吗=ln%,4=%：（，=1,2,3/一,8）.

1-1

⑴根据以上数据，从相关系数的角度，判断），=&+/）与卜二尸"哪个适宜作为年销售额），关

于种植面积X的回归方程类型（相关系数精确到）.

⑵根据（1）的判断结果及相关数据，建立V关于X的回归方程（系数精确到）.

⑶该乡镇计划年销售额不低于io亿元，请预测种植面积至少为多少亩.

T（%j）

附：相关系数〃-------;--------■，回归直线33的斜率与截距的最小二乘估

HP

V1=1

-______________

计分别为a----------;—，p=y-ax.

J-I

参考数据：,49.78。7.06,«6.77.

【答案】适宜作为年俏售额关于种植面积工的回归方程类型

⑵3=1.84x2+8.41

（3）706亩

【分析】（1）根据已知条件与相关系数公式求出相关系数「，弓的值，然后根据。，弓的绝

对值的大小，可知歹=。/+力适宜作为年销售额N关于种植面积x的回归方程类型；

（2）通过公式求出回归系数£的值，从而可求出回归方程；

（3）把已知数据代入回归方程，即可求出预测值.

【详解】（1）若用丁=⑪2+人作为年销售额y关于种植面积x的回归方程类型，则设妙=­,

贝|Jy=av+b.

g8___

£（斗-川乂-»）

设y与y的相关系数为4,则八二

/=1八，=1

8

由匕=4，£<=93.88,得匹=93.88,

则8百=93.88x30=2816.4,所以弓=二2；6.4言1.

若用y=d"d作为年销售额y关于种植面积X的回归方程类型,则Iny=cx+d.

设w=Iny,则w=cx+d.

设x与卬的相关系数为弓，则4=

86.82-8x3.lx3.24.M68.M68,096

7(93.88-8x3.1x3.1)x2.7145.96.77

因为4>与，所以歹=。/十。适宜作为年销售额关于种植面积x的回归方程类型.

8_8___

E匕乂一8vy

.E(K-D(B-5)1158.1

⑵〃=J——二^=4.84.

火(匕-弓~-8v630.3

1=1*=i

由之x：=93.88.v==-x93.88=11,735.

/-)8y8

^=^-^v=30-1.84xll.735®8.41，

所以y关于y的线性方程为y=1.84v+8.41,则V关于X的回归方程为y=1.84/+8.41.

(3)由题意可知1.84知+8.41N100.整理,得M之49.73,

因为J49.78Q7.06,

解得XN7.06或xV-7.06(舍去)，

故种植面积至少为706亩.

21.(12分)已知函数/(x)=2c2*—a(2t+l)ln(2x+l).

⑴当a=2时，研究函数/(X)的单调性;

(2)当xw0弓时，/(x)N2cos。-21-2R恒成立，求a的取值范围.

【答案】(l)/(x)在定义域内单调递增

(2)«<3

【分析】⑴求函数/(X)的导函数可得/"(x)=4[e2'-ln(2x+l)-l],根据导数结构考虑构

造函数尸(》)=。'7-1,利用导数证明e-x+l,取对数证明x21n(x+l),由此证明

r(x)>o,由此可得函数/(》)的单调性；

(2)设f=2x,/c[0,可，由已知可得2c'-a(/+l)ln(/+1)-cos/+(a-2)/-120恒成立，构

造函数力(，)=23-4(/+1)㈣/+1)-85/4(〃-2-1，讨论。，利用导数求其最小值，可得a

的取值范围.

【详解】(1)因为4=2,所以〃x)=2e2x_2(2x+l)ln(2x+l),

所以函数/(x)的定义域为1;,+8),且_/”(x)=4[e"ln(2x+l)-l],

构造函数户(x)=e'-x-L则/(x)=c「l,

令产，(x)=0,得1=0,

・••当x>0时,Fr(x)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增；

当％<0时，F(x)<0,F(x)在(-8,0)上单调递减.

X

/.F(x)>F(O)=O./.C>A-41,

・,•当X>-1时，x>ln(x+l),

2

所以当时，e^>2x+l,当且仅当x=0时等号成立，

所以当时，2x>ln(2A-4-l),当且仅当x=0时等号成立，

Ae2x-In(2x+l)-1>2x-ln(2x+l>0,当且仅当x=0时等号成立，

・・・/'(x)N0,当且仅当x=0时等号成立，

•••“X)在信收)上单调递增.

(2)V/(x)>2cos2x-2(tJ-2)LY,.re0,^,等价于

2e2r-a(2x+\)ln(2x+l)-cos2x+(ci-2)-1>0,

令f=2x,兀],构造函数=+ln(/+l)-cos/Ha-}/一1,

,\/j(0)=0,//(Z)=2e,-t/ln(/+l)+sin/-2,/f(0)=0.

令g(x)=2cv-aln(x+l)+sinx-2,gf(x)=2cr————j-+cosx,xe[0,n],

注意至lJg'(O)=3-a.

当a>3时，/(())<(),

/.3x0>0,当x€[0,/]时，g(x)<0,即当ze[O,Xo]时，/f(r)<0,

所以〃(f)在[0,%]上单调递减，所以力(%)<0,不符合题意.

当04aW3