高考数学一轮题型归纳与解题策略考点25平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类(原卷版+解析)

考点25平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类

高频考点

考点一平面向量的有关概念（二）用基底表示向量

考点二平面向量的线性运算（三）利用平面向量基本定理求参数

考点三由平面向量的运算判断四边形的形状考点六平面向量的坐标运算

考点四共线向量定理的应用考点七共线向量的坐标表示及应用

（一）向量共线问题（一）由坐标判断向量是否共线

（二）三点共线问题（二）利用向量共线求参数

（三）向量共线性质的应用（三）利用向量共线解决三点共线问题

考点五平面向量基本定理及应用（四）利用向量共线求向量或点的坐标

（一）对基向量概念的理解（五）共线向量坐标表示的应用

三:解题策略

1.向量的有关概念

名称定义说明

在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向

向量平面向量是自由向量

量

具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向有向线段包含三个要素：起点、方

有向线段

线段表示，也可用字母a,b,C,…表示向、长度

向量力的大小称为向量初的长度（或称模），记作

向量的模向量的模是数量

的

寄向量K度为0的向量叫做零向量，记作0其方向是任意的

单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。是非零向量，则端是单位向量

平行向方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行

规定：零向量与任意向量平行

量（共线向量也叫做共线向量

向量)

两向量可以相等也可以不相等，但

相等向量长度相等14方向相同的向量叫做相等向量

不能比较大小

与向量。长度相等，方向相反的向量，叫做。的

相反向量。的相反向量仍是0

相反向量，记作一。

2.有关平面向量概念的注意点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，穴要把它与函数图象的移动混淆.

(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等：但两相等向量，入一定有相同的起点和终点.

(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定，但方向人确定.

(6)a//b,有。与b方向相同或相反两种情形；

(7)向量的模与数的绝对值有所不司，如⑷=步心=±6

(8)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；

(9)对于任意非零向量。，俞是与。同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；

(10)向量平行-，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条宜线上：

(11)只要不改变向量。的大小和方向，可以自由平移。，平移后的向量与。相等，所以线段共线与向量

共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.

3.向量的线性运算

法则

运算定义运算律(性质)

(或儿何意义)

口’交换律：a+b=b+af并规定：

“+0=0+a=a；结合律：。+(力

三角形法则

加法求两个向量和的运算+c)=(a+b)+c；|。+》凶〃|+

步1，当且仅当“，分方向相同时

平行四边形法则等号成立

减法求a与b的相反向量。一b=a+(-6)

i--；--

-b的和的运叫做a

与〃的差

设2,〃£R,则

北是一个向量，其长度：Ug|=|xllal；

求实数a与向量。的痴〃)=〃(〃)：

数乘其方向：z>0时，与。方向相同;x<0

积的运算

时，与a方向相反;2=0时，

A(a+b)=Aa±Ab

【注意】（I）向量表达式中的零向量写成0,而不能写成0.

（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重

合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.

（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重

合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾

相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

<4）加法运兑的推广：否莅十/GA3+…十

（5）向量加法和减法几何运算应该更广泛、员活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA<=>OA-OB=CA<=>BA-CA=BA+AC=BC.

（6）向量三角不等式：|同一步归〃功国〃|+|瓦两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三

边，任意两边之差小于第三边“知"V”成立：两向量共线时，可得出“="成立（分同向、反向两种不同情形）.

（7）\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\,当且仅当至少有一个为。时，向量不等式的等号成立.

（8）特别地：||a|-1切国a±b|或|。土力凶a|+|〃|当且仅当出。至少有一个为0时或者两向量共线时，

向量不等式的等号成立.

4.平面向量的线性运算解题策略

（I）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向

量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.一般共起点的向量求和用平行四边形法则，

求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.

（2）找出图形中的相等向量、共线向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，将

所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

（3）用几个基本向量表示某个向量诃题的基本技巧：

①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

5.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向昼形式.一般是构造三角形，利用向

量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

6.向量共线定理

向量翔)与〃共线的充要条件是：存在唯一一个实数人使人=筋.(n诀：数乘即得平行，平行必

有数乘).

注：a〃bua=)J)(b#))是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用：若a与b

不共线且Xa=gb,则k=P=0.对于两个向量共线定理(a(a#))与b共线u存在唯一实数X使得b=1.a)中条件

的理解：①当a=0时，a与任一向量b都是共线的；②当a=0且b#)时，b=；.a是不成立的，但a

与b共线.因此，为了更具•般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求ar0.换句话说,如果不加条件

“a与b共线”是“存在唯一实数X使得b=ka”的必要不充分条件.

7.三点共线定理

平面内三点A,B,C共线的充要条件是：存在实数使OC=〃M+〃O8,其中义+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握

注：4、8、C三点共线o存在唯一的实数2,使得AC=/UBo存在唯一的实数丸，使得OC=OA+Z48：

o存在唯一的实数力，使得OC=(l-/l)OA+2O8；=存在4+〃=1,使得=+

注：八、P、8三点共线=0P=(l-1)04+108QwR),这是直线的向量式方程.

8.平面向量共线定理的三个应用

证明向对于非零向量a,人若存在实效；1.使a=汕，

量共线则a与b共线

证明三若存在实数入，使不5=久衣.就与充有公

点共线共点A,则A,B.C三点共线

求参数利用向量共线定理及向量相等的条件列方

的值程(组)求参数的传

9.求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两句量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意

待定系数法和方程思想的运用.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量

共线且有公共点时，才能得到三点共线.

10.线段定比分点的向量表达式

如图所示，在/XABC中，若点。是边3C上的点，且8/5=2。。(北一1),则向量C.在

1+2

向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练学

握.

11.线性运算重要结论

(1)中线向量定理:若“为线段48的中点，。为平面内任一点，则况(况+防).

(2)若G为△A8C的重心，则演一初+Gt=0.

(3)若次=4.彷+"沈(2,〃为实数)，则点A,B,C共线的充要条件是7+"=1.

(4)如图,A八AU中，RD=m,CD=n,则劝=/々不方+蔡希就.特别地,。为AU的中点时(，〃=切.

莉=3牯+3祀.

12.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量。，有且只有•对实数加,

22，使。=2回+为62.我们把｛ei，e?｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

13.平面向量基本定理的推论

(1)设。=2通1十22。2，0=2361+2402(小，％2，23，〃亡卬，IL€\t02不共线，若。=0，则而=%3且上=八.

(2)若a与。不共线，且2a+〃b=0,则2="=0.

(3)平面向量基本定理的推论

①已知平面上点O是直线/外一点，48是直线/上给定的两点：则平面内任意一点尸在直线/上的

充要条件是：存在实数/，使得分=(1一。次+/防.特别地，当/=/时，点P是线段AB的中点.

②对于平面内任意一点O,P，A.B三点共线=存在唯一的一对实数九〃，使得分=2况+〃彷，且4

+"=1.

14.平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数

乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运月该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

(3)特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为立面的一组基底，对基底的选取不唯

一，平面内任意向量;都可被这个平面的一组基底勺内线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一

的.

15.平面向量的正交分解及坐标表示

(1)平面向量的正交分解：把一个句量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)线性运算的坐标表示

文字叙述符号表示

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应若4=(即，》)，6=(X2,”)，则。+。=

加法

坐标的和.(Xi+X2，y\+>'2).

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应若。=(片，)■1),力=(X2，》)，则。一。=

减法

坐标的差.(X|-X2，y\—>'2).

两点构

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段若AQ1，yi),8(X2,”)，则劝=。2一工1，

成的向

的终点的坐标减去起点的坐标.

量坐标

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原

数乘若a=(x,y)»2£R,则痴=(Zt,Ay).

来向量的相应坐标.

(3)平面向量共线的坐标表示：设。=(即，y),h=(x2,”)，其中力和，向量&b共线的充要条件是xi”

-磔1=0.

16.重要坐标公式

已知△ABC的顶点A(X|,>'|),B(X2,¥2).C(X3,”)，则线段A8的中点坐标为吗过)，ABC

的重心坐标为严产，哈士月.

17.平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的

坐标，则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的

坐标减去始点的坐标.

（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解.

18.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略

（1）利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量。共线的向量时，可设所求向量

为〃QER）,然后结合其他条件列出关于2的方程，求出i的值后代入而即可得到所求的向量.

（2）利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若。=（片，a）,

”），则a//b的充要条件是为＞2=]5”解题比较方便.

＞考点精析

考点一平面向量的有关概念

1.（2023・全国•高三力题练习）有下列命题：

①单位向量一定相等：

②起点不同，但方向相同旦模相等的几个向量是相等向量：

③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同：

④方向相反的两个单位向量互为相反向量：

⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆.

其中正确的命题的个数为.

2.（2023・全国•高三专题练习）下列五个命题：

①向量46与共线，则/，O.A必在同一条直线上；

②如果向量“与人平行，则。与〃方向相同或相反；

③四边形PiP20A是平行四边形的充要条件是：

④若同=忖，则〃、〃的长度相等且方向相同或相反；

⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.

其中正确的命题有个.

3.（2023・湖南长沙・雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（）

A.若nNb,则d与〃的方向相同或者相反

ab

B.若a,〃为非零向量，且时二同，则d与力共线

C.若apb,则存在唯一的实数2使得”=/1〃

D.若g,生是两个单位向量，且|4一司=1.则|召+⑷=JE

4.12023•全国•高三专题练习）已知下列结论：①”.0=0：②0.〃=0；③0-A8=8A：④,/二琲|⑤若

H，贝iJ对任#零向量力有aS矛D;©若。。=0，则a与力中至少有•个为0;⑦若a与力是两个单

位向量，则/=/则以上结论正确的是（）

A.①②®⑥⑦B.③©⑦C.②⑦D.②③@@

5.（2023・全国•高三专题练习）设a,8都是非零向量，三=二成立的充分条件是（）

l«l\b\

A.a=-hB.a=2J）

C.a!lbD.0//b且|a|=|〃|

6.（2023・全国•高三专题练习）如图，等腰梯形A3CQ中，对角线AC与8。交于点P,点E、〃分别在两

腰AD、8c上，EF过点、P,且EF//AB,则下列等式中成立的是（）

LU.IULILIU

A.AD=BCB.AC=BD

IIU1UlllUUUlU

c.PE=PFD.EP=PF

考点二平面向量的线性运算

ULM1LLUULU

7.（2023•河北•高三学业考试）如图，正六边形A8C/无尸中，BA+CD-EF=（）

A.0B.BEC.ADD.CF

8.（2023•河北・统考模拟预测）已知D为/8C所在平面内一点，且满足。。=1/用，则（）

312-1

A..4。=-八8—ACB.AD——ABH—AC

2233

C.AB=4AD-3ACD.AB=3AD-4AC

9.（2023•山东•校联考模拟预测）在正六边形ABCDE/中，C，=2"。，若AH=xA8+），A尸，则x+），=（）

10.（2023•江苏南京・南京师大附中校考模拟预测）已知JBC的边BC的中点为。，点E在所在平

面内，且CQ=3CE_2cA，若AC=xA8+yBE,则4+'=（）

A.5D.7C.9D.11

II.（2023•江西南昌・统考三模）如图是函数/（"）=而（3。）,>0,|0|<5的部分图象，且CO=|d+；。，

考点三由平面向量的运算判断四边形的形状

Ui.1Iiwi!I

12.（2023•广东揭阳•校考二模）设e是单位向量，AB=3e，CQ=-3e，=3,则四边形4?。。是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

13.（2023•江苏盐城•统考三模）已知A8CO是平面四边形，设〃：AB=2DC,（1：人8。力是梯形，则〃是4

的条件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

14.（2023・湖南益阳•校联考模拟预测）在四边形相。。中，若AB=-CD，且卜8-4）卜,8+4）|,则四

边形ABCZ）为（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D,正方形

15.【多选】（2023•全国•高三专题练习）下列有关四边形4BC。的形状，判断正确的有（）

A.若4/）=BC，则四边形A4CZ）为平行四边形

B.若AD=gBC,则四边形ABC。为梯形

C.若|A8+AO|=|A8-A4，则四边形A3CO为菱形

ulunuuu

D.若人8=QC，且AC_L80,则四边形ABC。为正方形

考点四共线向量定理的应用

（-）向量共线问题

16.（2023・北京•高三专题练习）已知〃，〃是平面内两个非零向量，那么“〃〃/）”是“存在％工0,使得

|4+&|=|d|+|"|”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

17.（2023春・浙江金华・高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知M为单位向量，则“|〃+力I-|止1”是“存

在2>0,使得6=而”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

18.（2023・河南・统考二模）已知.e不共线，向量&=女「方；，b=ke、+8,,且aHb，则々=.

19.（2023春•四川宜宾•高三宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知eg是两个不共线的非零向量,

若么-e2与6-q共线”€R）,则/=.

20.（2023・全国•高三专题练习）已知qwO,&R,a=q+/l/,b=2q,则〃与〃共线的条件为（）

A.Z=OB.e2=0

C.e,He1D.或儿=u

21.（2023・全国•高三专题练习）已知〃是△A8c所在平面内的一点，若C3-P8=/l心，其中2£R,则点

P一定在（）

A.AC边所在的直线上B.3c边所在的直线上

C.AB边所在的直线上D.△A8C的内部

（二）三点共线问题

22.（2023・全国•高三专题练习）设4/是空间中两个不共线的向量、已知

AB=2e1+ke2,CB=q+3e2,CD=2et-e^,，且AB,D三点共线，则左的值为（）

A.2B.3C.-8D.8

23.（2023・全国•高三专题练习）已知向量〃，〃不共线，且AB=a+4,b，BC=-a+9b^CD=3a-b^则

一定共线的是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

24.（2023秋・山东济南•高三统考期中）已知点。是平面内任意一点，则“存在JwR,使得OC=（1T）OA+/OB”

是“人反。三点共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

25.（2023•全国•高三专题练习）已知S“为数列｛4｝的前〃项和，q=g,平面内三个不共线的向量OA，OB，

OC满足=+2）03-4",若A,B,。三点在同一直线上.，则S?。=

（三）向量共线性质的应用

26.（2023・全国•高三专题练习）已知人、B、尸是直线/上三个相异的点，平面内的点O史/,若正实数黑y

满足40P=2xOA+yOB,则1+'的最小值为.

27.（2023•湖北武汉•统考模拟预测）如图，在.ABC中,M为线段的中点,G为线段AM上一点，AG=2GM，

41

过点G的直线分别交直线A3,AC于P，Q两点，A8=x4P（x>0）,AC=yAQ（y>0）,则；+百的最

小值为（）.

44

28.（2023・全国•高三专题练习）。是》8。所在平面内一点，若C8=3PA+P8,则％小S》8c=（）

A.1:4B.1:3C.2:3D.2:1

29.（2023・全国•高三专题练习）己知人。为退比?所在平面内的两点，且满足AP=1A〃+1AC,

24

AQ=：A8+：AC,则沁■=_________.

42SARC

30.（2023•全国•高三专题练习）设。为，45。内一点，且满足关系式Q7+2O》+3OS=3A%+2B2+&，

则S•q•s

31.（2023・全国•高三专题练习）已知。是/BC内一点，201+308+〃QC=0,若丛08与48C的面积

4

之比为1，则实数，〃的值为（）

10102。20

A.-TBR.JC--TD.y

（2023春・天津和平•高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形ABCO的面积为9百，/84。=,，

32.

E为线段5C的中点.若厂为线段OE上的一点，且"=/M8+3A。，则2=,网的最小值

为.

考点五平面向量基本定理及应用

（一）对基向量概念的理解

33.（2023•陕西西安・统考一模）设&eR,下列向量中，可与向量4=（1,-1）组成基底的向量是（）

A.b=（匕攵）B.c=（-k,-k）

C.〃=（&2+1,抬+1）D.6=（&2TM2_］）

34.（2023•四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量斗色是平面内所有向量的一组基底，

则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）

A.产，修一弓}B.{e}+e2,e^3e^

C.-2^,-3^1+6^,|D.{2q+3e2,2%-3e2}

35.（2023•河北•高三学业考试）在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A.e,=（0,0）,e2=（1.1）

B.e,=（-l,2）,4=（5,TO）

C.q=（3,5）,6=（-3,-5）

D.e}=（2,-3）,62=（2.-：）

（二）用基底表示向量

22

36.（2023•浙江金华・统考模拟预测）在jBC中，BE=-BC,AF=-AE,则3尸=<）

47-.47

A.—ABd—ACB.BF=_AB—AC

9999

7474

C.——AB+-ACD.BF-AB——AC

37.（2023・贵州贵阳•校联考模拟预测）在中，A。为8C边上的中线，E为A。的中点，则反?=（）

A.-AB——AC,1

4

C.-AB+-4CD.--AB+-AC

44

38.（2023・全国•高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点七为C。的中点，席与AC的交点为凡设AB=〃，

4）=。，则向量6万等于（）

39.（2023•黑龙江哈尔滨・哈师大附中统考三模）平行四边形"CD中，点M在边A8上，AM=3MB,记

CA=a,CM=b,则（）

40.（2023•广西玉林•博口县中学校考模拟预测）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”

给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个

大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,则八E=（）

2a乌

2525

41.（2023・陕西咸阳・统考三模）如图，在中，点。为8C边的中点，O为线段4。的中点，连接CO

并延长交人9于点£,设48-a，AC=b，则CE=（）

A.B.-ci—b

44

C.

（三）利用平面向量基本定理求参数

42.（2023•广东广州•统考模拟预测）在dBC中，M是47边上一点，且AM=gMCN是BW上一点，若

AN=[AC+〃?8C,则实数，"的值为（）

A.—B.——C.-D.-

3663

43.（2023・四川•校联考模拟预测）如图，在RtZXABC中，ZACB=9（y,ZZMC=60°,若点D是斜边A3的

中点，点P是中线CO上一点，且AP=（AC+2A8,则4=（）

44.（2023•北京•高三专题练习）在.ABC中，M,N分别是A5,AC的中点，AB=ACM+eR）,

则4+〃=（）

A.-2B.-1C.1D.2

45.（2023•江西赣州•统考二模）在平行四边形A8CQ中，点E,r分别满足。C=2OE=4£/，BC=2BG，

若则）+"=.

46.（2023春・江西•高三校联考阶段练习）如图，在直角梯形ABCO中，48〃CRM为的中点，入3=2C。,

BAD=9(),若AM=/lAC+〃B。，贝lJ4+〃=()

47.（2023•内蒙古阿拉善盟•统考一模）已知矩形ABCQ的对角线交于点O,E为AO的中点，若

DE=2AB+〃AD（2.〃为实数）.则万-〃2=（）

48.（2023•全国•高三专题练习）如图，在平面四边形A8C。中，/C8A=/C4D=90°,ZACD=30°,AB=BC,

点E在线段8c上，且BC=38E，若AC=24。+〃4七（人〃eR）,则4的值为.

A

49.（2023•全国•模拟预测）如图，在“1皮?中，CM=JLCB，NC=〃AC,其中0<N<l,0<//<1,若AM

.3

与8,V相交于点Q,且3Q=：8N,则（）

A.4/=2+〃B.22//=2+//C.54=2+32〃D.32=2+54〃

50.(2023・吉林长春•统考模拟预测)如图，在平行四边形4BCO中，M,N分别为8。，CO上的点，且=MC，

一2-

CN=-CDt连接AM,BN交于P点、,若”=2PM，BP=pPN,则2+〃=()

考点六平面向量的坐标运算

51.(2023・河北•高三学业考试)已知点A(l,2),8(-1,-2),则向量他的坐标为()

A.(2,4)B.(0,0)C.(-1,-1)D.(-2T)

52.12023春•云南昆明•高三校考阶段练习)已知点4(1,2),«(-2,6),则与6方向相反的单位向量是()

A.(3,~4)B.(TY)。俗高D.(W)

53.(2023・全国•高三专题练习)己知向量〃=(4,3),则与向量。垂直的单位向量的坐标为()

54.(2023•全国•高三专题练习)已知。为坐标原点，P,P=-1PP2,若4(1,2)、巴则与。/＞共线的

单位向量为()

A.(3,-4)B.(3,-4)或(-3,4)

55.(2023・湖北♦模拟预测)在平行匹边形A4CO中，点A(0.0),8(T,4),。(2,6).若AC与8。的交点

为M,则DW的中点E的坐标为

56.12023•全国•高三专题练习)已知YABCO的顶点A(-L-2),8(3,—1),C(5,6),则顶点。的坐标为()

A.(1,4)B.(1,5)C.(2,4)D.(2,5)

57.(2023・全国•高三专题练习)已知两点M。,-2)、N(2,3),点P满足MP=—2MN，则〃的坐标为

58.(2023•全国•高三专题练习)已知向量〃=(一2.1),。=(3,2)，c=(5,8),且工6+/,则&=.

59.(2023・全国•高三专题练习)已知向量〃，方满足2a-〃=(0,3),〃一2〃=(一3,0),+则丸+〃二

()

A.-1B.0C.1D.2

考点七共线向量的坐标表示及应用

(一)由坐标判断向量是否共线

60.【多选】(2023春•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试)己知平面向量

：=(3,4)%=(7/)，则下列结论正确的是()

A.«+b=(10,5)B.p|=,op|

C.aHD.〃与〃的夹角为45。

61.【多选】(2023春•江苏宿迁•高三江苏省泗阳中学校考阶段练习)设0<0<”，非零向量i=(sin2acose),

*=(cos0,1),则().

A.若tand=；,则口〃匕B.若。=手，则

24

C.存在。，使2a=bD.若。〃人则ian6=；

62.【多选】(2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测)已知向量”x),力=(工4),则()

A.当％=2时，a//bB.的最小值为-5

C.当K=0时，(«,/?)=|D.当忖=2时，忖=30

(二)利用向量共线求参数

63.(2023・全国•高三专题练习)已知向量a=(8,-2),/，=(,〃/)，若〃=.昉，则实数机的值是()

A.-4B.-1C.1D.4

64.(2023・北京•统考模拟预测)已知向量4=(〃川，力=(3,〃?+2).若a”,则”=.

65.：2023•广西南宁•南宁三中校考一模)已知向量。=(九4),。=(1,〃。，若a与8方向相反，则〃?=.

66.(2023•贵州黔东南•凯里一中校考模拟预测)若向量48=(-5,1),8c=(2,2),8=(〃?2〃+1),且“7/

CD,则加=()

A.—B.—C.—1D.1

33

67.(2023•湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测)已知〃=(〃?,7),6=(2,-3),c=(-3,w),若“〃(2〃+c),则

实数，〃二.

68.(2023春•甘肃兰州•高三校考开学考试)已知向量£=(-1,2),(=(3,/n)，/〃CR,则=一6”

是“0〃『+:卜的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

69.（2023・全国•高三专题练习）已知向量。=（-1,2）,/，=（1,2022）,向量利=々+2〃，〃=2a-助，若片〃）

则实数4=.

（三）利用向量共线解决三点共线问题

70.（2023・全国•高三专题练习）已知A（〃AO）.Z?（（U）,C（3,—I）,且人优。三点共线，则，〃=（）

A.-B.-C.--D.--

2323

71.（2023・全国•高三专题练习）已知向量A8=（3.〃L3）,8c=（2,4）,若A8,C三点共线，则，〃=.

72.（2023・海南•校联考模拟预测）已知向量04=（3,-4）,03=（6,-3）,OC=（5-皿-3-㈤，若点A,8,

C三点共线，则实数〃?=.

73.【多选】（2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）（多选题）已知向量04=（1,-3）,OB=（2,

-1）,OC=（加+1，，2）,若点A,B,。能构成三角形，则实数，〃可以是（）

A.-2B.C.1D.-1

（四）利用向量共线求向量或点的坐标

74.（2023•全国•高三专题练习）已知点44,0）,3（4,4）,C（2,6）,O为坐标原点，则AC与OZ?的交点P的

坐标为.

75.（2023・全国•高三专题练习）设点42,0）,8（4,2）,若点P在直线AB上，且%昨2|时，则点。的坐标

为

A.（3,1）B.（1,-1）C.（3,1）或（1,-1）D.（3,1）或（1,1）

（五）共线向量坐标表示的应用

76.（2023・全国•高三专题练习）在d钻C中，角八,仇。所对的边分别为a也c,向量机=（出血），

n=（cosA,sinB）,且mHn.

（1）求A的大小：

（2）若a=",b=2,求8C边上的高.

77.（2023.辽宁沈阳•东北育才学校校考二模）己知向量。=（sinx.£j,b=（cos.r,-l）.

⑴当allb时，求2cos2x-sin2x的值;

（2）求/3=仅+6”在一三0上的最大值.

78.（2023秋•海南省直辖县级单位•高三嘉积中学校考阶段练习）在/8C中，角A,B,C所对的边为a,

h,c,p=(«+c.b),c/=(b-a,c-«),若〃〃g,

(1)求角。的大小：

(2)(3>/3-3)abcosC=c~,求一■—H------的值.

tanAtanB

考点25平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见

考法归类

番高频考点

考点一平面向量的有关概念（二）用基底表示向量

考点二平面向量的线性运算（三）利用平面向量基本定理求参数

考点三由平面向量的运算判断四边形的形状考点六平面向量的坐标运算

考点四共线向量定理的应用考点七共线向量的坐标表示及应用

（一）向量共线问题（一）由坐标判断向量是否共线

（二）三点共线问题（二）利用向量共线求参数

（三）向量共线性质的应用（三）利用向量共线解决三点共线问题

考点五平面向量基本定理及应用（四）利用向量共线求向量或点的坐标

（一）对基向量概念的理解（五）共线向量坐标表示的应用

三:解题策略

1.向量的有关概念

名称定义说明

在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向

向量