湖北省荆州市沙市第七中学2025-2026学年高二上学期9月调研考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北省荆州市沙市第七中学2025-2026学年高二上学期9月调研考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级应抽取的人数是（

）A．20 B．25 C．30 D．352．已知，则在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（

）A． B． C． D．4．同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是A．5 B．6 C．7 D．85．在中，满足，则（

）A． B．或 C． D．或6．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（

）A．A与B对立 B．A与B互斥C．A与B相互独立 D．7．甲口袋内装有除颜色外均相同的8个红球和4个白球，乙口袋内装有除颜色外均相同的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一球，那么等于（

）A．两个球都是白球的概率B．两个球中恰好有一个是白球的概率C．两个球都不是白球的概率D．两个球不都是红球的概率8．设是内一点，且，，定义，其中、、分别是、、的面积，若，则的最小值是（

）A．8 B．9 C．16 D．18二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．10．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则的值为B．若，则的值为C．若，则与的夹角为锐角D．若，则11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（

）A．若，，且有两解，则b的取值范围是B．在锐角中，不等式恒成立C．若，则为等腰三角形D．若，，则的最大值为三、填空题12．已知A，B两个事件相互独立，且，，则.13．某中学举行数学解题比赛，其中6人的比赛成绩分别为：，则这6人成绩的分位数与极差之和是.14．如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为.

四、解答题15．已知向量.(1)若，求；(2)若，求；(3)若，求在方向上投影向量的坐标.16．已知函数．(1)求函数的单调增区间；(2)若，且，求的值．17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若，且，求的面积.18．某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．19．如图，在三棱柱中，平面，，是棱AB上的一点，且满足与相交于点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求直线与平面所成的角的正弦值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖北省荆州市沙市第七中学2025-2026学年高二上学期9月调研考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ADCCACBBACAC题号11答案AD1．A【分析】按照分层抽样计算规则计算可得.【详解】依题意，高二年级应抽取的人数是：人.故选：A2．D【分析】由复数的运算法则求出，由共轭复数的概念得，进而得其在复平面内对应的点的坐标，即可得解.【详解】由题意可得，故，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．C【分析】设，借助向量线性运算与可得，结合题目所给条件计算即可得.【详解】设，则，则有，解得.故选：C.4．C【详解】分析：根据概率计算公式，只需确定向上的点数之和的次数最多的概率最大.详解：因为向上的点数之和为出现的次数分别为，所以7对应概率最大选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．A【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果.【详解】因为，即，所以，且，所以.故选：A6．C【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解.【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：.因为没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误；因为，A与B不互斥，故B错误；因为，，因此A与B相互独立，故C正确；，，而，故D错误.故选：C.7．B【分析】结合相互独立事件和对立事件求出对应概率，逐一判断选项即可.【详解】记事件A为甲摸出白球，事件B为乙摸出白球，则，两个球都是白球的概率为，故A错；两球中恰好有一球是白球的概率为：，故B正确；两个球都不是白球的概率为，故C错误；两个球都是红球的概率为：，故两个球不都是红球的概率为，故D错.故选：B8．B【分析】根据向量运算求得，由此求得，进而求得关于的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值.【详解】设中，角的对边分别为，，依题意可知，所以，且是正实数，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.故选：B.9．AC【分析】对于AC：根据偶函数的定义结合函数单调性分析判断；对于BD：举反例说明即可.【详解】对于A，设函数，则其定义域为，且，可知为偶函数，根据二次函数的性质可知，在上单调递增，故A正确；对于B，设函数，则，，可得，可知不是增函数，故B错误；对于C，设函数，其定义域为，且，可知为偶函数，当时，在上单调递增，故C正确；对于D，令函数，则，因为，可知不为偶函数，故D错误.故选：AC.10．AC【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0从而列方程验算即可；对于B，由向量平行的充要条件列方程即可；对于C，由数量积大于0且不共线即可说明C正确；对于D，由条件求得，再举反例说明D错误即可.【详解】若，则，解得，故A正确；若，则，解得，故B错误；当时，，由B知此时与不共线，所以与的夹角为锐角，故C正确；若，则，即，即，解得，当时，，，，，显然，故D错误.故选：AC.11．AD【分析】根据题意，可得，求出b的范围，可判断A的正误；在锐角中，角A，的大小都不确定，即可判断B的正误；化简计算，根据二倍角的正弦公式，即可判断C的正误；根据余弦定理，结合均值不等式，可判断D的正误，即可得答案.【详解】选项A：如图，因为有两解，所以，解得，故A正确；选项B：在锐角中，角A，的大小都不确定，和的大小也无法确定，故B错误；选项C：因为，所以，即，所以或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，故C错误；选项D：由余弦定理得，所以，即，解得，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故D正确.故选：AD.12．0.42/【分析】利用独立事件的乘法公式即可求解.【详解】因为A，B相互独立，所以.故答案为：13．【分析】先对给定6人比赛成绩从小到大排序，利用百分位数和极差计算公式求解.【详解】将6个数据从小到大排列为，因为，所以这6人成绩的分位数是，极差为，所以分位数与极差之和是.故答案为：.14．【分析】由A，P，D和B，P，E三点共线及平面向量基本定理即可得出.【详解】由A，P，D三点共线，设，由得，故，由得，故，——①再由B，P，E三点共线，设，所以，即——②由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得，解得.故得又，故，，所以.故答案为：.15．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出的坐标，再通过向量模长公式计算；（2）先求出的坐标，再由向量平行的坐标表示求得参数；（3）根据投影向量求法求解即可.【详解】（1）时，，所以，

故.（2），

由，可得，

解得.（3）时，，

此时在方向上的投影向量的坐标为.16．(1)，(2)【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由可求出函数的增区间，（2）由可得，然后求出的范围，再求出的值，而，两边取余弦化简可求得结果【详解】（1）令，，得，所以函数的单调增区间为，．（2）由可得，又因为，所以而，所以，所以；所以；17．(1)(2)【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；（2）根据数量积的定义结合余弦定理可得，，联立求得边a，进而可得面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又因为，则，可得，因为，则，可得，显然，则，所以.（2）因为，且且，可得，即①.又因为，可得②.联立①②可得，解得或（负根舍去），所以的面积为.18．(1)73分合理(2)(3)22.25【分析】（1）由题意知可得，计算可求得；根据小长方形的面积和为1求得，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，，列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【详解】（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，，解得，又，解得，所以，，成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：，设第60百分位数为，则，解得，所以晋级分数线划为73分合理；（2）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，，则所有的抽样有：，共15个样本点，“抽到的两位同学来自不同小组”，则共8个样本点，所以.（3）因为，所以，所以，所以，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，，平均数与标准差分别为，，则剩余8个分数的平均数：，方差：19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）借助余弦定理于勾股定理的逆定理可得，再来利用线面垂直的性质定理与正方形的性质可得、，则可得平面；（2）作出二面角的平面角，结合三角函数定义与勾股定理算出各边长度，最后借助余弦定理的推论计算即可得解；（3）取线段上靠近点的三等分