等差数列的概念（第一课时）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念（第一课时）

人教A版（2019）选择性必修二学习目标1.理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念，体现数学抽象能力（重点）2.理解等差数列与一次函数的关系，体现逻辑推理能力（难点）1新课导入我们知道,数列是一种特殊的函数.在函数的研究中,我们在理解了函数的一般概念,了解了函数变化规律的研究内容(如单调性、奇偶性等)后,通过研究基本初等函数,不仅加深了对函数的理解,而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.类似地,在了解了数列的一般概念后,我们要研究一些具有特殊变化规律的数列,建立它们的通项公式和前n项和公式,并运用它们解决实际问题和数学问题,从中感受数学模型的现实意义与应用.下面,我们从一类取值规律比较简单的数列入手.新课学习34请看下面几个问题的数列：1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81.

①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48.

②3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为25，24，23，22，21.

③新课学习34请看下面几个问题的数列：4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，···.

④如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是:每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数，利息部分=（贷款总额-已归还本金累计额）×月利率．新课学习34在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律．例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？对于①，我们发现18=9+9，27=18+9，36=27+9，···，81=72+9换一种写法，就是18–9=9，27–18=9，36–27=9，···，81–72=9用{an}表示数列①，有

a2–a1=9，a3–a2=9，···，a9–a8=9.结论：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于9.新课学习34对于②，我们发现你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？40–38=2，42–40=2，···，48–46=2结论：数列②

从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于2对于③，我们发现24–25=–1，23–24=–1，···，21–22=–1结论：数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于-1对于④，我们发现ar–br–ar=–br，ar–2br–(ar–br)=–br，···，结论：数列④从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于–br新课学习等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.公差：其中常数叫做等差数列的公差，用字母d表示.举个例子：数列①的公差d1=9.新课学习等差中项的概念若三个数a，A，b组成一个等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且根据等差数列的定义，有2A=a+b.等差数列在生活中的应用：在日常生活中，人们常常用到等差数列．例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码）．新课学习你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据定义，可得an+1

–an=d所以a2–a1=d，a3–a2=d，a4–a3=d，···于是a2=a1+d，a3=a2+d=

(a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，······新课学习你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？归纳可得an=a1+(n–1)d（n

≥

2）.当n=1时，a1=a1+(1–1)d

=a1，即当n=1时，上式同样成立.an-an-1=d就是等差数列{an}的递推公式.新课学习等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n–1)d注意：当n=1时，上式同样成立.新课学习观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？由an=a1+(n–1)d=dn+(a1–d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1–d)(x∈R)，当x=n时的函数值，有an=f(n).如下图，在平面直角坐标系中画出函数f(x)=dx+(a1–d)的图象，就得到一条斜率为d，截距为a1–d的直线.●●●●●●●12345678910(1,a1)(2,a2)(3,a3)(4,a4)(5,a5)(6,a6)(7,a7)a1a2a3a4a5a6a7a1-dO新课学习观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？●●●●●●●12345678910(1,a1)(2,a2)(3,a3)(4,a4)(5,a5)(6,a6)(7,a7)a1a2a3a4a5a6a7O在这条直线上描出点(1,f(1)),(2,f(2)),…,(n,f(n)),…,就得到了等差数列的图象.事实上，公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1–d)上.反之，任给一次函数f(x)=kx+b(k，b为常数)，新课学习则f(1)=k+b，f(2)=2k+b，…f(n)=nk+b，···构成一个等差数列{nk+b}，其首项为(k+b)，公差为k.观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？●●●●●●●12345678910(1,a1)(2,a2)(3,a3)(4,a4)(5,a5)(6,a6)(7,a7)a1a2a3a4a5a6a7O新课学习例1：(1)已知等差数列{an}的通项公式为an=5–2n，求{an}的公差和首项；当n≥2时，由{an}的通项公式为an=5–2n，可得an

–1

=5–2(n–1)=7–2n于是

d=an

–an

–1

=5–2n–(7–2n)=–2把n=1代入an=5–2n，得a1

=5–2×1

=3所以，{an}的公差d=–2，首项a1

=3.分析：已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an-an-1=d即可求出公差d新课学习例1：(2)求等差数列8，5，2，···的第20项.由已知条件，得d=5

–8=–3把a1

=8，d=–3，代入an=a1+(n–1)d得an=8-3(n–1)=11-3n把n=20代入上式得a20

=11–3×20

=–49所以，这个等差数列{an}的第20项是–49.

分析：可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求出数列的第20项.新课学习例2：–401是不是等差数列–5，–9，–13，···的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401能否使这个方程有正整数解.由a1

=–5，d=–9

–(–5)=–4，得这个数列的通项公式为an=–5–4(n