函数的零点与方程的解-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解学习目标1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.2.了解函数的零点与方程解的关系.3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.基础落实·必备知识一遍过知识点1

函数的零点1.代数定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的

叫做函数y=f(x)的零点.

2.几何定义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的

.

3.方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.名师点睛1.函数的零点不是一个点而是一个实数.2.并不是每个函数都有零点,如y=x2+1,y=2x等.实数x横坐标

思考辨析二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当b2-4ac满足什么条件时没有零点?提示

当b2-4ac<0时没有零点.自主诊断1.函数y=6x2+x-1的零点是(

)C2.(北师大版教材习题)观察下面的四个函数图象,指出在区间(-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解,并说明理由.解

f1(x)=0,f2(x)=0有解,理由如下:函数f1(x),f2(x)的图象在(-∞,0)内都与x轴有交点,而函数f3(x),f4(x)的图象在(-∞,0)内都与x轴没有交点.知识点2

零点存在定理

曲线是间断的,结论不一定成立如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.名师点睛定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;(2)f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可.思考辨析1.若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]上有零点吗?2.若f(x)在[a,b]上具有单调性,且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有几个零点?提示

不一定.提示

有且只有一个.自主诊断1.(多选题)已知函数f(x)的图象是连续不间断的,其部分对应值如下表所示,x-3-2-101f(x)-26-915-3则函数一定存在零点的区间是(

)A.(-3,-2) B.(-2,-1)C.(-1,0) D.(0,1)BD2.如图所示,是一个二次函数y=f(x)的图象.(1)写出这个二次函数的零点;(2)试比较f(-4)·f(-1),f(0)·f(2)与0的大小关系.解

(1)由图象可知,函数f(x)的两个零点分别是-3,1.(2)根据图象可知,f(-4)·f(-1)<0,f(0)·f(2)<0.重难探究·能力素养速提升探究点一函数零点的定义

A

(2)方程|x-2|=lnx的实数根的个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

由题意可转化为函数y1=|x-2|(x>0),y2=ln

x(x>0)两函数图象的交点问题,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,如图所示,由图得两个函数图象有2个交点,故原方程实数根的个数为2.故选B.规律方法

判断函数零点个数的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.角度2.根据函数零点求函数解析式中的参数【例1—2】

(1)(多选题)已知函数f(x)=|2x-4|-a恰有两个零点,则实数a的值可以是(

)A.1 B.2

C.3

D.4ABC解析

函数f(x)=|2x-4|-a有两个零点,则y=|2x-4|,y=a的图象有两个交点,画出函数y=|2x-4|和y=a的图象,如图所示.结合图象可知0<a<4.故选ABC.(2)若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是

.

探究点二函数零点存在定理

A

D

规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

C

变式训练1

(1)函数f(x)=log3x+2x-6的零点所在的区间为(

)A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)B解析

由函数f(x)=log3x+2x-6可知该函数在区间(0,+∞)上单调递增且连续不断,f(1)=log31+2-6=-4<0,f(2)=log32+4-6=log32-2<0,f(3)=log33+6-6=1>0,f(4)=log34+8-6=log34+2>0,f(5)=log35+10-6=log35+4>0,结合选项所给区间,只有f(2)·f(3)<0,根据零点存在定理知,f(x)=log3x+2x-6的零点所在区间为(2,3).故选B.(2)设函数f(x)=3ax-2a+1,a为常数.若存在x0∈(0,1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是

.

探究点三函数零点的分布角度1.根据二次函数零点的分布求参数范围【例3—1】

已知关于x的一元二次方程x2-ax+a2-4=0.(1)若方程有两个不同的正根,求实数a的取值范围;

(1,2)解析

画出函数y=f(x)与y=m的图象,如图所示,注意当x=-1时,f(-1)=-1+2+1=2,f(0)=1.因为函数y=f(x)-m有三个不同的零点,所以函数y=f(x)与y=m的图象有3个交点,由图象可得实数m的取值范围为(1,2).规律方法

已知函数有零点(方程有实根)求参数的方法(1)直接法:根据题设条