（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题15 立体图形的直观图（解析版）

专题15立体图形的直观图1．斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：第一步在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使(或135°)，它们确定的平面表示水平面.第二步第三步已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半强调注意：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．2．直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，②直观图面积是原图面积的倍.考点一斜二测画法辨析考点二直观图1.水平放置的直观图2.空间几何体的直观图考点三换原直观图考点一斜二测画法辨析例1．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（

）A．① B．①② C．③ D．①②③④【答案】B【分析】根据斜二测画法的规则依次判断各命题即可作答.【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直线、平行直线的关系不变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，①②正确，由于斜二测画法规则中，原图形中x，y轴互相垂直，在直观图中，对应的轴夹角为，并且原图形中在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中长度减半，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段在直观图中长度不变，因此斜二测画法会改变角的大小，③④错误.故选：B练习1．关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是（

）A．菱形的直观图仍为菱形B．相等的角，在直观图中仍相等C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行【答案】D【分析】根据斜二测画法的原理，对四个选项逐一分析即可.【详解】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相等长度和角的大小不一定与原来相等.选项A：菱形的直观图是平行四边形，错误；选项B：相等的角在直观图中不一定相等，如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，错误；选项C：平行于轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，错误；选项D：平行线段在直观图中仍然平行，正确；故选：D练习2．关于斜二测画法，下列说法错误的是（

）A．平行直线的直观图仍然是平行直线B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的D．线段的中点在直观图中仍然是中点【答案】B【分析】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可.【详解】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.故选：B.练习3．（多选）下列说法中正确的有（

）A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆【答案】ACD【分析】利用斜二测画法规则，分析判断选项A，B，C，再判断选项D作答.【详解】由斜二测画法规则知，选项A，C正确；长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半，B错误；水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确.故选：ACD练习4．在“斜二测”作图时，1cm长的线段，在x、y方向上直观图的长度分别为______、______.【答案】1cm

0.5cm##【分析】根据“斜二测”画法的原理即可得到答案．【详解】根据“斜二测”画法的原理可知在x轴上的线段或平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变；在y轴上的线段或平行于y轴的线段，在直观图中长度缩短为原来的．故答案为：1cm；0.5cm考点二直观图1.水平放置的直观图例2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（

）A．三角形的直观图是三角形B．长方形的直观图是长方形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形【答案】A【分析】根据斜二测直观图的画法规则，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；长方形跟正方形的直观图是平行四边形，故BC错误；菱形的直观图是平行四边形，故D错误.故选：A练习1．直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是______.【答案】等腰三角形【分析】根据斜二测画法的原则，“横不变，纵减半”画出平面图形，即可得出结果.【详解】在直角坐标系中，如图1所示，以A为坐标原点O，作出直角梯形ABCD，如图2所示，再作出坐标系，使，以为坐标原点，在轴上作，在轴上作，作，且，连结，则，为等腰三角形.则ABCD水平放置的直观图中的形状是等腰三角形.故答案为：等腰三角形.练习2．边长为2的正三角形直观图的面积为__________.【答案】【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式运算求解.【详解】如图，在直角坐标中，为等边三角形，取，按照斜二测画法可得：在坐标中，则，故直观图的面积.故答案为：.练习3．如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.【答案】图见解析.【分析】在等腰梯形中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图.【详解】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，其中，在平面内取点，过作直线，使，如图，在直线上取点，使，过作线段，使，在直线上取点，使，连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形.练习4．用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图.【答案】图见解析.【分析】在给定的正三角形中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图.【详解】在给定的正三角形中建立如图所示的平面直角坐标系，其中线段是正三角形的高，，在平面内取点，过作直线，使，如图，在直线上取点，使，过作线段，使，连接，抹去辅助线得边长为2cm的正三角形的直观图，如图.2.空间几何体的直观图例3．下列空间图形画法错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案.【详解】D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.练习1．用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，．【分析】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可.【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O(A)，使得.（2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm,在y轴正半轴上取线段AD,使AD=2cm,过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则就是长方体的底面ABCD的直观图.（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过B,C,D各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段.（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的长方体的直观图练习2．画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．【分析】可根据斜二测画法的规则，画出底面长方形的直观图，并计算出各边长长度，然后分别作出相应平行与垂直等线段再连接即可.【详解】根据斜二测画法的规则可知,底面矩形的直观图为平行四边形,其中,,作底面,在轴上截取,过作,使,过、分别作平行于且等于,连接可得长、宽、高分别为，，的长方体的直观图.练习3．如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？【分析】根据给定图形结合旋转体的定义即可判断图形的构成，并画出直观图.【详解】在图(1)中，过A作AO⊥BC于O，如图，显然，是由公共直角边OA，且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成，则绕直线BC旋转一周所得几何体，是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体，所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体，其直观图如图，在图(2)中，过B作BO1⊥AC于O1，如图，显然，是由去掉而成，它们有公共直角边O1B，且另外一条直角边在旋转轴上，则绕直线AC旋转一周所得几何体，是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体，所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成，其直观图如图.考点三换原直观图例4．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用斜二测画法判断.【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A练习1．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是_____．【答案】40【分析】根据题意，分析原图形三角形的高和底边的边长，进而计算可得答案．【详解】根据题意，原图形如图，根据直观图画法规则知,的底边OB的长为5，高为16，其面积.故答案为：40练习2．如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为______．【答案】【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可．【详解】把直观图还原为,如图所示：根据直观图画法规则知,,所以的长度为.故答案为：.练习3．如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为______．【答案】【分析】根据水平放置的平面图形直观图画法画出原图计算可得答案.【详解】因为，，，所以，，所以．故答案为：．练习4．如图所示是水平放置的(AD为BC边的中线)的直观图，试按此图判断原中最长边是______，最短边是______．【答案】

AC##CA

BC##CB【分析】根据“斜二测”画法的原理还原直观图对应的原△ABC，根据图象即可判断最长边和最短边．【详解】如图为该直观图对应的原△ABC：则易知△ABC为直角三角形，AD为BC边上的中线，则△ABC中最长的边为AC，最短的边为BC．故答案为：AC；BC.一、单选题1．如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（

）A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BCC．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB＝BC【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原，即可比较三条线段的长度关系.【详解】根据斜二测画法，把直观图形中的△A1B1C1，还原成原图形，如图所示；为直角三角形，且，，则.故选：C．2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法规律，平行于轴的线段长度是原长的一半即可判断.【详解】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A．3．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是（

）A．①② B．① C．③④ D．①②③④【答案】B【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案.【详解】①，根据斜二测画法可知，三角形的直观图一定是三角形，①正确.②，根据斜二测画法可知，正方形的直观图邻边不相等，不是菱形，②错误.③，根据斜二测画法可知，等腰梯形的直观图，两底边不相等，不是平行四边形，③错误.④，根据斜二测画法可知，菱形的直观图邻边不相等，不是菱形，④错误.故选：B4．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（

）A．的长度大于的长度 B．的长度等于的长度C．的面积为1 D．的面积为【答案】D【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.【详解】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于A，，则有，A错误；对于B，，，B错误；对于C，的面积，C错误；对于D，的面积，D正确.故选：D．5．已知菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置，使较短的对角线成纵向，则此菱形的直观图面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一、画出菱形的平面直观图，计算平面直观图的面积即可．解法二、根据原图形与平面直观图的面积比为，计算直观图的面积即可．【详解】解：解法一、菱形的边长为，一个内角为，画出它的平面直观图，如图四边形所示：在菱形中，所以，，在四边形中，，，所以四边形的面积为．解法二、菱形的边长为，一个内角为，所以对角线，，菱形的面积为，该菱形的平面直观图面积为故选：A．6．在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（

）A．8 B．10 C． D．【答案】D【分析】根据原图作出它的直观图，再计算周长.【详解】如图，画出直观图，过点作，垂足为.因为，，所以，，，则，故四边形的周长为，所以D正确.故选：D.7．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（

）A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．的角的直观图会变为的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】B【分析】利用斜二测画法的规则对四个选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，的角的直观图会变为或的角，故B错误；对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．故选：B．8．空间内水平放置的两个封闭图形分别为（i）长为、宽为的矩形；（ii）边长为的正三角形，记（i）中原图形面积为，斜二测画法得到的直观图面积为，（ii）中原图形面积为，斜二测画法得到的直观图面积为，对以下两个命题：①；②，以下判断正确的是（

）A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【答案】C【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案.【详解】①，长为、宽为的矩形：原图：直观图：所以原图面积为，直观图的面积为，所以，①为真命题.②，边长为的正三角形：原图：直观图：所以原图面积为，直观图的面积为，所以，②为真命题.故选：C.9．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．二、多选题10．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（

）A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形【答案】AD【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为或，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确；对于B中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以B错误；对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.故选：AD.11．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是（

）A．梯形的直观图仍旧是梯形B．若的直观图是边长为2的等边三角形，那么的面积为C．的