专题5.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题5.4三角函数的图象与性质（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1五点法画正弦、余弦函数的图象】 4【题型2正、余弦函数图象的识别及应用】 7【题型3三角函数的定义域、值域与最值】 9【题型4由三角函数的值域（最值）求参数】 10【题型5求三角函数的单调区间】 12【题型6根据三角函数的单调性求参数】 14【题型7三角函数的奇偶性与对称性问题】 16【题型8三角函数的周期性问题】 18【题型9三角函数的零点问题】 19【题型10三角函数的图象与性质的综合应用】 22知识点1三角函数的图象与性质1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：函数y=sinxy=cosx图象定义域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期：2π最小正周期：2π奇偶性奇函数偶函数单调性增区间减区间最值图象对称性对称中心：

对称轴方程：对称中心：

对称轴方程：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质函数定义域RR值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]单调性当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化.奇偶性当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，

当时为偶函数.当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，

当时为奇函数.周期性图象

对称性将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解.4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质定义域周期性由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π.奇偶性由诱导公式可知，正切函数是奇函数.图象单调性正切函数在每一个区间上都单调递增值域正切函数的值域是实数集R对称中心(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图.【题型1五点法画正弦、余弦函数的图象】【例1】（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作y=3sin3x+1的图象，首先描出的五个点的横坐标是（

）A．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，C．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π【答案】D【解题思路】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为3x=0,π2,【解答过程】由“五点法”作图知，令3x=0,π解得x=0,π故选：D．【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数y=2−cosx在−πA．−π,3 B．−π2,2 【答案】D【解题思路】根据余弦函数的性质即可求解.【解答过程】五个关键点分别为−π,3，−π2,2故选：D.【变式1-2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=sin(2)y=cos【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【解题思路】（1）（2）列出表格，利用五点法作出函数图象.【解答过程】（1）取值列表如下：x0ππ3π2πsin010−10描点、连线，作出函数y=sin（2）取值列表如下：x0ππ3π2πcos10−101描点、连线，作出函数y=cos【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像：(1)y=sinx，(2)y=1−cos【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【解题思路】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象.【解答过程】（1）因为y=sinx的定义域为sin−x=−又sinπ+x=−sin列表x0ππy=010y=|010作图：先作出0,π的图象，又原函数是偶函数，且周期为π，将图象向两边延伸，即可得函数y=sinx（2）按五个关键点列表：x0ππ32cos10−1011−01210描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：【题型2正、余弦函数图象的识别及应用】【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）函数fx=sinx,x∈A．

B．

C．

D．

【答案】A【解题思路】分x∈0,2π，x∈−2【解答过程】当x∈0,2π时，fx=sin由正弦函数的图象可知，A选项符合题意，故选：A．【变式2-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数y=12(A．

B．

C．

D．

【答案】A【解题思路】结合图象特点，分别计算x=0和x=π【解答过程】当x=0时，cos0=1，所以y=当x=π时，cosπ=−1故选：A.【变式2-2】（24-25高一上·河南信阳·期末）函数f(x)=(sinxeA． B．C． D．【答案】D【解题思路】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得.【解答过程】函数f(x)=(sin由f−x=sin图象关于原点对称，AC错误；当x∈[0，π2]时，fx故选：D.【变式2-3】（24-25高一下·北京·期中）函数f(x)=sinx+sinA．

B．

C．

D．

【答案】D【解题思路】根据函数图象的对称性排除AC，再结合函数值f(π【解答过程】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是f(π−x)=sin(π又f(π故选：D．【题型3三角函数的定义域、值域与最值】【例3】（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数f(x)=2sinx+1的定义域为（A．−π6+2kC．−π2+2k【答案】A【解题思路】依题意可得sinx≥−【解答过程】对于函数f(x)=2令2sinx+1≥0，即sinx≥−所以函数的定义域为−π故选：A.【变式3-1】（24-25高一下·广西桂林·阶段练习）函数fx=2cos2x+3A．3,4 B．3,322+1 C．【答案】C【解题思路】由fx=−2sin【解答过程】fx令t=sinx，由x∈π4,π2该二次函数开口向下，对称轴t=34，在22当t=34时，ymax=258,t=1故选：C.【变式3-2】（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）函数f(x)=−2A．2π3+2kπ,4πC．−2π3+2kπ,【答案】A【解题思路】根据函数的解析式有意义，得到−2cos【解答过程】由题意，函数f(x)=−2cosx−1有意义，则满足解得2π3所以函数fx的定义域x∈故选：A.【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数fx=−cosA．−12,12 B．−3【答案】C【解题思路】首先求x+π【解答过程】因为x∈−π3,2故fx的值域为−1,故选：C.【题型4由三角函数的值域（最值）求参数】【例4】（24-25高一下·湖北·阶段练习）若函数fx=sinωx−π6ω>0在0,πA．0,83 B．83,163【答案】B【解题思路】先根据角的范围得出ωx−π【解答过程】当x∈0,π4时，ωx−π6所以π4ω−π故选：B.【变式4-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知fx=tanωx0<ω<1在区间0,π3A．12 B．13 C．23【答案】A【解题思路】先求出0≤ωx≤ωπ3，再根据【解答过程】因为x∈0,π3又0<ω<1，所以0≤ωx≤ωπ3<所以ωπ3=π故选：A．【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）若函数fx=2sinωx+π3ω>0A．136,256 B．56,【答案】D【解题思路】根据三角函数的图象和性质，利用整体代换计算即可.【解答过程】当x∈0,π时，因为函数fx=2sin所以5π2≤ω故选：D.【变式4-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数fx=cosωx−π6在x∈0,2πA．−56,−512 B．0,5【答案】A【解题思路】利用余弦函数的图象性质求解即可.【解答过程】当x=−π6时，cos−π6=3x∈0,2π时，由值域为−1,32所以−11所以−故选：A.知识点2三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性1．三角函数的单调区间的求解方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.3．三角函数周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令(k∈Z)）求x即可.5．三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z).【题型5求三角函数的单调区间】【例5】（24-25高一下·重庆·期末）函数fx=2sinA．0,π6 B．0,π2 C．【答案】D【解题思路】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解.【解答过程】令π2+2kπ当k=0,π6≤x≤故选：D.【变式5-1】（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）下列函数在区间−π6,A．y=cosx B．y=−sinx C．【答案】C【解题思路】数形结合，判断各选项在给定区间上的单调性即可.【解答过程】对A：函数y=cosx在−π对B：函数y=−sinx在对C：函数y=sin2x在对D：函数y=tan3x在区间故选：C.【变式5-2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数fx=2cosA．4kπ−5C．4kπ−π【答案】B【解题思路】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案.【解答过程】令2kπ≤1所以fx=2cos故选：B.【变式5-3】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2,π上单调递减的是（A．y=2|sinx| B．y=cos2x C．【答案】A【解题思路】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.【解答过程】对A：y=sinx的图象是由y=sinx的图象将x轴及x轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：则y=2sinx的最小正周期为π，且在对B：y=cos2x的最小正周期为2π2=π，当对C：y=−tan2x的最小正周期为对D：y=cosx2故选：A.【题型6根据三角函数的单调性求参数】【例6】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数f(x)=sinωx−π3（其中ω>0）在区间−π2A．0<ω≤13 C．0<ω≤16 【答案】A【解题思路】由题意可得−π2+kπ≤−【解答过程】由题意可得−π2+k解得ω≤13−2k且ω≤又ω>0，则13−2k>053+2k>0故ω≤13且ω≤5故选：A.【变式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数y=cosωx+π6ω>0在区间−A．0,23 B．0,56 C．【答案】A【解题思路】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可.【解答过程】因为x∈−π4,π又因为函数y=cosωx+π所以−π4ω+π6故当k=0时，0<ω≤2故选：A.【变式6-2】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数fx=tanx在区间(−aA．0,12 B．0,23 C．【答案】C【解题思路】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得.【解答过程】因fx=tanx在则有−π2≤−aπ4π故选：C.【变式6-3】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数y=sinωx+π6ω>0在区间−πA．0,1 B．0,43 C．0,1【答案】A【解题思路】根据正弦函数的单调性结合已知函数的单调区间列出不等式组，解之即可.【解答过程】因为−π2,因为函数y=sinωx+π且−π所以ω>0−π2所以ω的取值范围是0,1.故选：A.【题型7三角函数的奇偶性与对称性问题】【例7】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知函数fx=xsinx+π3A．π6 B．π3 C．2π【答案】A【解题思路】根据函数的奇偶性及诱导公式得解.【解答过程】由fx是奇函数，则g所以π3+φ=kπ故当k=0时，φ=π故选：A．【变式7-1】（24-25高一下·上海·期末）下列四个函数中，以π为最小正周期的奇函数是（

）A．y=sinx C．y=sinx 【答案】D【解题思路】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项.【解答过程】对于A，y=sinx是以对于B，y=cos2x是以对于C，若y=fx=sin对于D，若y=gx=sin2x，显然其定义域为全体实数，且g−x故选：D.【变式7-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知函数fx=tanA．fx在定义域内是增函数 B．fx图象的对称中心是kC．fx的最小正周期是π D．f【答案】B【解题思路】求函数fx的定义域，和单调增函数即可判断A，令2x+π3【解答过程】对于A：令2x+π3≠π2由kπ−π所以函数fx的单调增区间为k由单调性的定义可知，fx对于B：令2x+π3=kπ2,k∈Z有对于C：T=πω=π2对于D：f−x=tan故选：B.【变式7-3】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数fx=2sinA．函数fx的图象关于点π3,0对称 B．函数C．fx+π3是奇函数 D．若【答案】B【解题思路】将选项A，B，C中的条件分别代入函数f(x)的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.【解答过程】对于A，因fπ3=2sinπ对于B，因f−π12=2sin−π对于C，fx+令gx=fx+π3对于D，取x1=5π12,x2=故选：B.【题型8三角函数的周期性问题】【例8】（2025高一·全国·专题练习）下列函数，最小正周期为2πA．y=sinx2C．y=cosx2【答案】C【解题思路】对于A、B直接由正弦函数的周期公式求出即可判断；对于C、D求出不带绝对值的函数的周期，再减半，即可判断.【解答过程】函数y=sinx2函数y=sin(2x+π因为函数y=cosx2的最小正周期为T=4π，所以函数因为函数y=sin2x的最小正周期为T=2π2故选：C.【变式8-1】（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，周期为4π的是（

A．y=sinx−πC．y=sinx2【答案】D【解题思路】由正余弦型的三角函数的周期公式求解.【解答过程】由正余弦型的三角函数的周期公式T=2四个选项中的函数周期分别为2π，π，2π，故选：D．【变式8-2】（24-25高一上·江苏连云港·期末）设k为正数，若函数fx=sinkx−π6的最小正周期为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】利用正弦型三角函数，代入计算即可.【解答过程】由fx=sinkx−π6，且故选：C.【变式8-3】（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为π2的是（

A．y=cosx2 B．y=cosx 【答案】D【解题思路】根据余弦函数最小正周期计算公式对选项逐一分析即可得出结论.【解答过程】易知y=cosx2的最小正周期为T=2π而y=cos2x的最小正周期为T=2π2故选：D.【题型9三角函数的零点问题】【例9】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数f(x)=2sinωx+π3(ω>0)在区间(0,2π)A．56,43 B．56,【答案】C【解题思路】根据x的取值范围求出ωx+π【解答过程】因为x∈(0,2π)，ω>0，所以又fx在区间(0,2π)上恰有2个零点，所以2即ω的取值范围为56故选：C.【变式9-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）设函数fx=2sinωx+φ−1ω>0，若对于任意实数φ,fxA．4,163 B．4,163 C．【答案】B【解题思路】利用换元，将原问题转化为y=sint在区间π4ω+φ,3【解答过程】令fx=0，则sinωx+φ=1则原问题转化为y=sint在区间π4使得sint=12作出y=sint和结合图象可知满足条件的最短区间的长度为13π最长区间的长度为17π故得2π≤3πω故选：B.【变式9-2】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数fx=3cos(1)若fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，求当x∈0,(2)若函数fx在开区间0,7π24内恰有3【答案】(1)3(2)66【解题思路】（1）根据题意得出函数fx的最小正周期，可求出ω的值，然后利用余弦型函数的基本性质可求出函数fx在（2）由0<x<7π24可求出ωx−π4【解答过程】（1）因为函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则函数fx因为ω>0，则ω=2ππ当0≤x≤7π24时，−则fx因此，当x∈0,7π24时f（2）当0<x<7π24因为函数fx在开区间0,7π24内恰有3个零点，则5因此，实数ω的取值范围是667【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数fx(1)若fx的图象经过点A3π4,0，Bπ4,2，且点(2)若f0=−1，且fx在5π9【答案】(1)f(2)14【解题思路】（1）依题意可得函数fx的周期求出ω，又过点B取最值求φ（2）根据f0=−1求φ，由已知条件及正弦函数的性质求【解答过程】（1）依题意可知：T4=3π4又过点Bπ4,2，所以1×又φ≤π2，所以φ=（2）因为f0=2sinφ=−1，且φ≤又当x∈0,3π4时依题意：π<3π又fx在5π9依题意;若5π9ω−π6≥−π若5π9ω−π6≥π2π若5π9ω−综上，ω的取值范围为149【题型10三角函数的图象与性质的综合应用】【例10】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数fx=2sinA．fx−π3是奇函数 B．fC．fx+fπ3−x=0【答案】D【解题思路】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误.【解答过程】对于A，由题意可得f0=2sin对于B，因为f−所以fx的图象不关于直线x=−对于C，若fx+fπ3−x而fπ6=2对于D，由x∈−5π而y=2sint在−3π2故选：D.【变式10-1】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数fx=sinA．若f