河北省邢台市第三中学2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

河北省邢台市第三中学2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，若，，，则此三角形解的情况为（）A.无解 B.两解C.一解 D.解的个数不能确定2．设函数在上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对3．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（nào）．如图所示的三棱锥为一鳖臑，且平面，平面，若，，，则（）A. B.C. D.5．已知实数满足方程，则的最大值为（）A.3 B.2C. D.6．椭圆离心率是（）A. B.C. D.7．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm8．椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（）A. B.C. D.9．抛物线的焦点坐标是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.10．已知命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件；命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.11．设直线的倾斜角为，且，则满足A. B.C. D.12．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数据6，8，9，10，7的方差为______14．已知命题p：若，则，那么命题p的否命题为______15．曲线的一条切线的斜率为，该切线的方程为________.16．若，则数列的前21项和___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.18．（12分）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.（1）求圆C的方程；（2）当时，求线段AB的长；（3）当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.19．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值20．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G的方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.21．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.22．（10分）记是等差数列的前项和，若.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.【详解】由正弦定理可得可得，因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.故选：C.2、C【解析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.【详解】.故选：C3、C【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.【详解】∵，，∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，故选：C.4、A【解析】根据平面，平面求解.【详解】因为平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故选：A5、D【解析】将方程化为，由圆的几何性质可得答案.【详解】将方程变形为，则圆心坐标为，半径，则圆上的点的横坐标的范围为：则x的最大值是故选：D.6、C【解析】将方程转化为椭圆的标准方程，求得a，c，再由离心率公式求得答案.【详解】解：由得，所以，则，所以椭圆的离心率，故选：C.7、B【解析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.故选：B8、C【解析】由题可得为等边三角形，可得，即得.【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，∴为等边三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故选：C.9、C【解析】根据抛物线标准方程，可得p的值，进而求出焦点坐标.【详解】由抛物线可知其开口向下，，所以焦点坐标为，故选：C.10、C【解析】先判断命题p,q的真假，从而判断的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【详解】当时，表示圆，故命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件是假命题，命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则是真命题，是假命题，故是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选：C11、D【解析】因为，所以，，，，故选D12、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】首先求出数据的平均值，再应用方差公式求它们的方差.【详解】由题设，平均值为，∴方差.故答案为：2.14、若，则【解析】直接利用否命题的定义，对原命题的条件与结论都否定即可得结果【详解】因为命题：若，则，所以否定条件与结论后，可得命题的否命题为若，则，故答案为若，则，【点睛】本题主要考查命题的否命题，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题15、【解析】使用导数运算公式求得切点处的导数值，并根据导数的几何意义等于切线斜率求得切点的横坐标，进而得到切点坐标，然后利用点斜式求出切线方程即可.【详解】的导数为，设切点为，可得，解得，即有切点，则切线的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的加法运算，导数的几何意义，和求切线方程，难度不大，关键是正确的使用导数运算公式求得切点处的导数值，16、【解析】利用分组求和法求出答案即可.【详解】故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）动点的轨迹的方程为；（2）的取值范围.【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.【小问1详解】由题知故.即即在以为焦点且长轴为4的椭圆上则动点的轨迹的方程为：；【小问2详解】故即.设：，联立（*），，∴，，又则：即若，则过，不符合题意故，∴，故18、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根据圆圆心和半径设圆的标准方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径即可求出a；(2)根据题意写出AB的方程，根据垂径定理即可求出弦长；(3)根据题意求出AB经过的定点Q，当CQ垂直于AB时，AB最短.【小问1详解】由题，设圆C的标准方程为，则，解得.故圆C方程为；【小问2详解】根据题意可知，直线的方程为，即，圆心C到直线的距离为，故弦长；【小问3详解】设，则，又直线方程为：，故直线过定点Q，设圆心C到直线距离为，则，故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，∴线段长度的最小值4.19、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为20、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.【小问1详解】解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.因为点在G上，所以，所以，.所以椭圆G的方程是.【小问2详解】解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，.因为，所以，则，即，由，得，.所以，解得，即，所以直线l的方程为.21、（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；.【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.