高一年级下册期数学期末复习学案（原卷版）

高一下期期末复习资料

数学

班级：________________

姓名：

——高局数学备课组——

专题01平面向量的概念与运算

知识点1向量的有关概念

1、向量的模：向量的大小叫向量的模

(1)向量。的模I〃色()；(2)向量不能比较大小，但|。|是实数，可以比较大小.

2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

3、单位向量：长度等于1个单位的向量.

4、相等向量：长度相等JEL方向相同的向量.

5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：。与任一向量共线.

知识点2向量的线性运算

1、向量的加法运算

(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

(2)三角形法则：(3)平行四边形法则：

【注意】①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”；

②平行四边形法则的应用前提是，，共起点，，.

(4)向量加法的运算律

结合律.a+b=b+a交换律：(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的减法运算

(1)相反向量：与。长度相等、方向相反的向量，叫做〃的相反向量，记作・〃.

①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；

②若。与力互为相反向量，则。=-b,b=-a,a+b=0.

(2)向量的减法

①定义：a-b=a+(-b)

②几何意义：以。为起点，作向量/=a,~dB=b,则前=a-b,

【注意】在用三角形法则作向量减法时，”连接向量终点，箭头指向被减向量”.

3、向量的数乘运算

(1)定义：规定实数2与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：加，它的长度与方向

规定如下：①IM=I力⑷；②当i>0时，〃的方向与a的方向相同；

当人<0时，痴的方向与a的方向相反.

(2)运算律：设"〃为任意实数，则有：

®z(//a)=")。；②(，+=2。+4a；@2(a+b)=Xa+/J)；

特另！J地/有(-2)a=/(­«)=-(幺。)；A(a-b)=Xa-Xb.

(3)对于任意向量。,b,以及任意实数入川，〃2,恒有的=%同坳2」.

知识点3向量共线

1、向量共线的条件

(1)当向量。=0时，〃与任一向量〃共线.

(2)当向量。工0时，对于向量力.如果有一个实数2，使〃=4。，那么〃与。共线.

2、向量共线的判定定理：方是一个非零向量，若存在一个实数义，使方=%。，则向量匕与非零向量五共线.

3、向量共线的性质定理：若向量〃与非零向量之共线，则存在f实数4,使8=2。.

知识点4向量的数量积

1、向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量〃，b,0是平面上的任意一点，作，04=8，/A

则44。8=夕(0<e<7T)叫做向量〃与〃的夹角.%

(2)性质：当0=0时，Q与。同向；当。=不时，4与人反向.----

(3)向量垂直：如果。与人的夹角是，我们说〃与力垂直，记作〃_Lb.B

2、向量的数量积的定义：向量〃与力的数量积记作,即。•力=HWcosd；

零向量与任一向量的数量积为o；

3、向量〃在力上的投影向量:b

CA,R.D

(1)设a,。是两个非零向量，八B=a,CD=b,

过A8的起点A和终点3,分别作C3所在直线的垂线，垂足分别为A,B一得到4温，我们称上述

变换为向量。向向量力投影，A线叫做向量a在向量。上的投影向量.

(2)在平面内任取一点。，作OM=a,ON=h，过点M作直线ON的垂线，垂足为M

则。M就是向量°在向量力上的投影向量，且。陷=何COS①.:

4、平面向量数量积的性质0-bN

(1)〃JLb<=>a・Z?=O;

(2)当a与人同向时，^-Z?=p|Z?；当a与〃反向时，ab=-^ab；

特别地，々.々二忖或,卜血.々=7^；

(5)-Z?<6/|/?

5、平面向量数量积的运算律

(1)ab=ba;(2)=>[(〃・〃)=a•(%〃)(人为实数)；(3)^a+l^c=ac+bc;

(4)两个向量。，〃的夹角为锐角0。为>0且。，〃不共线；

两个向量。,〃的夹角为钝角=。3<0且4,〃不共线，

(5)平面向量数量积运算的常用公式

[〃+〃)•(〃一/“二〃~一//(a+8)=a+2ab+b=a-2a-b+b2

考点1向量的相关概念辨析

【例1】下列命题：①若卜卜W,则a=〃；②若a=〃,b=c，则a=c；

考点4向量共线证明三点共线

【例4】已知MN=a+5b,NP=-2（a-4b）,PQ=3（"〃），则（）

A.M,N,尸三点共线B.M,N,。三点共线

C.M,P,。三点共线D.N,P,。三点共线

【变式4-1】设qg是空间中两个不共线的向量.已知AB=20+kevCB=q+3e2,CD=2q-弓，且A伉。三

点共线狈必的值为（）

A.2B.3C.-8D.8

【变式4-2］在48C中，点。，我分别在边4。和边AA上，且DC=2BD,RE=2AE,AD交CE于点/）,

设BC=a,BA=/?.在边AC上有点F，使得AC=5AF,求证：“，"，/二点共线.

考点5利用向量共线求参数

【例5】已知向量*人不共线，且。=网+人"/=。+（2工-1）力，若°与4共线，贝1」实数.'的值为（）

A.1B.-1C.1或一万D.-1或-]

【变式5-1】已知两个非零向量，，力不共线，若（版+〃）〃（〃+2〃），则实数A等于（）

A.2B.-2C.1D.

【变式5-2】已知向量出。不共线，且向量二+4与（3/-2”+。的方向相反，则实数/的值为（）

A.1B.一；C.1或D.-1或

JJJ

考点6向量数量积的运算

【例6】已知向量〃，方满足1。|=2抄|=6，且。与b的夹角为，则〃）=（）

A.6B.8C.10D.14

【变式6-1］如图，在边长为2白特边A8C中，点E为中线BD的三等分点

(靠近点。)，点尸为BC的中点，则Er.AC=(

c.GD.2G

【变式6-2］如图，在43c中，ZABC=60°,AB=3,BC=A,M是AC边上的中点/是AM上一点，

1A

且满足8尸=+,则4PAM=().

考点7向量垂直的应用

?7t111H.

【例7】已知两个单位向量q与6的夹角为彳，若26,力，且a_L",则实数〃?=()

5454

A.了B.二C.--D,--

【变式7-1】在四边形/WC。中，若AC=A8+AQ，且ACBO=0，则四边形相CD一定是()

A.正方形B.平行四边形C.矩形D.菱形

考点8向量央角相关计算

【例8】已知|。|=|〃|=】,|4-〃|=«，则向量a与方的夹角为()

A.30°B.60°C,120°D.150°

【变式8-1】已知向量a，/,满足忖=1,忖=2,(a-l^La,则〃与〃的夹角为()

【变式8-2】若卜+耳=竿同，且〃，力，贝I」向量。+〃与〃的夹角为(

B-T

【变式8-3】已知空间向量a,〃,c满足4+"c=0,卜卜2,|b|=3,|c|=4，则cos（a,/»=（）

»•三B.gC.-1D.；

考点9向量模长相关计算

【例9】已知平面向量“，/）满足同=6，W=2,a.b=-3,则囚+力卜（）

A.2B.4C.V7D.2V7

【变式9-1】已知两个单位向量“，力的夹角为60°,若2a-b+c=O,则卜卜（）

A.3B."C.V3D.1

【变式9-2】已知空间非零向量a,b,,,满足（，⑹=5，同=及，。•仅+c）=2"与c；方向相同，则1的

取值范围为（）

A.［0,2］B.（0,1）C.（0.2）D.（1,2）

【变式9-3］在48c中f|AB|=|AC|=2,4=120，点M满足AM=/IA3+MAC,4+2〃=1,贝的

最小值为（）

A.叵B.叵C.2D.1

714

考点10向量的投影向量

【例10】已知同=2,a与人的夹角为年d是与b同向的单位向量，则，曲方向上的投影向量为（）

A.1B.-1C.eD.—°

【变式10-1］已知时=6,卜卜3,%〃=-12,则向量，〃在向量〃方向上的投影向量的长度为（）

A.-4B.4C.-2D.2

【变式10-2］设非零向量a,遍足忖=2忖，,+,则向量”在。方向上的投影向量（）

A.-bB.bC.-aD.

专题02平面向量的基本定理及坐标运算

知识点1平面向量基本定理

1、定义：如果牛6是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实

数人自，使

2、基底：若与e；不共线，我们把卜,/}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

3、平面向量基本定理的应用

设。，〃是同一平面内的两个不共线向量，若%力，则"

15?1=>2

知识点2平面向量的坐标运算

1、向量和差运算：已知W=（“jX=（电,为），贝上+^=（5+当,,+，2）,y-%）.

2、向量数乘运算：若：=（%），），则Ay）；

3、向量共线运算：已知a=（.E，x）工=（七,》），则向量4,1（人工0）共线的充要条件是MK-xj=0

知识点3线段的定比分点及人

设4、6是直线/上的两点，P是/上不同于6、2的任一点，则一定存在实数"使产，2叫做

点户分P}P2所成的比.有三种情况：

-PT^_LP：及5-『马丁—

%>0（内分）（外分）/?<03<7）（外分）A<0（-l<2<0）

1、定比分点坐标公式：若点不修X）,6（孙必），】为实数,且耳P=9,

则点尸坐标为四冲，哈正），我们称2为点P分48所成的比.

2、若P分有向线段《鸟所成的比为八点M为平面内的任一点，则MP=*答组；

特别地产为4鸟的中点=MP=叫"6.

2

知识点4平面向量数量积的坐标表示

I、向量数量积的坐标运算：若。=（%.y）,b=（x2.y2），则a力=%丛+,必

2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则。_1_〃<=>x1x2+y\y2=0

3、用坐标表示的三个重要公式

（1）向量的模公式：若a=（与,力），则Ml=+犬

（2）两点间的距离公式：若力（必，必）,8。2，丫2），则I而I=（（M—％2）2+（必一丫2）2

（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=（右,乃），b=（%2，”），a与b的夹角为。，

则皿。=靛=产竿三

⑷向扭众

考点1对基本定理的概念理解

【例1】（多选）设。是已知的平面向量，向量a.h,。在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）

A.给定向量。，总存在向量C，使4=/>+。；

B.给定向量。和c,总存在实数4和〃，使〃=劝+”；

C.给定单位向量力和正数〃，总存在单位向量c和实数义，使a=+;

D.若1。1=2,存在单位向量方，c•和正实数/I,〃，使〃=劝+小，则3、3">6•

【变式1・1】（多选）下列说法中正确的是（）

A.平面向量的一个基底|q，s:中，“，6一定都是非零向量.

B.在平面向量基本定理中，若〃=0,则4=4=（）.

C.若单位向量G、.的夹角为*,则G在弓方向上的投影向量是-彳6.

D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.

考点2基底的判断

［例2］设6,6是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（）

一1rlM21

A.2e-e,fQe--e,B.e,-2e^6e-3e,C.-e,+2efQ--e+-eD.4+七和弓一七

22422。D22t

【变式2-1］设外％是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）

A.e［+e2和q-3e?B.q+6g和q+6C.3q—46和/一8/D.e,+2e2和打一公

【变式2-2](多选)下列各组向量中，不能作为基底的是()

A.e,=(l,O),e2=(OJ)B.弓=(1,2),4=(-2,1)

f34、

C.=(-3,4),e2=-D.et=(2,6),^=(-1,-3)

考点3用基底表示向量

【例3】如图，C，。是以A8为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E为线段C。的中点，”为线段跖上靠

近8的一个四等分点，设,AC=b,则A〃=()

A.?Jc51,

B.-a+-b

8242

cE+4D.匕+1

16484

【变式11】如图，在矩形A8C。中，E为A。边上靠近点4的三等分点，"为A8边上靠近点3的四等分

点，且线段£尸交AC于点P.若AB="，AD=b，则AP=(

33c331-51rD.L+与

A.-a+-bB.—a+—bC.—a+—b

441313142416

【变式3-2】在中，。为AC中点，连接BO,若8E=2ED,AE=xA8+yAC，则工+)，的值为()

1BJ

A-7-1D.1

考点4向量线性运算的坐标表示

【例4】已知向量AC=(3,5),8C=(2,4),则48=.

【变式4-1】已知向量〃=(5,2)，=(-4,一3),若(・满足3〃—2万+c=0,则c等于()

A.(-23,-12)B.(23,12)C,(7,0)D.(-7,0)

【变式4-2】已知向量。=(一1,4),8=(3,-22),若。〃仅〃+。)，则4=()

A.-1B.2C.-6D.6

考点5利用坐标求向量共线问题

【例5】已知向量，=(31),^=(0,-1),c=(%,6)，若a—2)与(,共线，贝必=()

A.4B.3C.2D.1

【变式5-1]已知1=(1,0)]=(2,1)・

(1)当左为何值时,ka-b与a+2b共线？

(2)若A8=2a+3"3C'=a+〃而且A,8,('三点共线,求机的值.

考点6向量数量积的坐标表示

【例6】已知正方形A8CO的边长为2,点。满足AP=；(A8+AC),贝!](P8+2。尸的值为()

A.-2B.-1C.-4D.4

【变式6-1】已知向量a=(x+3),人(用，若x>0,则。.〃的最小值为()

A.2x/2B.1+2x/2C.2+2夜D.2V2-1

【变式6-2】如图,在四边形A8CO中，N'6=60O,A6=3,6C=6,^AD=ABC,AD-=

(1)求实数4的值;

(2)若M是线段8c上的动点，求。M•BC的取值范围.

考点7利用坐标求向量的夹角

【例7】已知平面向量4=(1-x,3+x),/?=(2J+x),若〃为=4,贝！la与b的夹角为()

71C兀C兀r不

♦石•7•7•5

【变式7-1](多选)已知向量。4=(3,Y),O8=(6,-3),OC=(5-九-3-〃?)，若NA8C为锐角..则实数〃?可

能的取值是()

A.-1B.0C.1D.1

【变式7-2】已知向量+网，其中q=。,0"=(。，1).

(1)试计算。包及卜+q的值；(2)求向量a与〃夹角的余弦值.

【变式7・3】已知。=(1,2),/>=(1,-1).

(1)若2a+b与ka-b垂直,求我的值；

(2)若。为2“+〃与的夹角,求。的值.

考点8利用坐标求向量的模长

【例8】设xtR,向量。=(x,l),。=(2,4),且a_L〃,则,+耳=()

A.VJTB,正C.6D.5

2

【变式8-1](多选)已知向量〃=(1，0),h(cosasine),。£(后身，则|。+"的值可以是()

A.V2B.GC.2D.272

【变式8-2】如图，直角/WC的斜边8C长为2,ZC=30，且点8、C分别在,'轴、，轴的正半轴上滑动，

点A在线段BC的右上方，则下列说法成立的是()

A.有最大值B懦大值

C.河+因有最大值D.+。8|是定值

专题03平面向量的综合应用

知识点1平面向量在几何中的应用

平面几何中证明问题的具体转化方法

(I)证明线段钻=8,可转化为证明AB：=8,；

(2)证明线段越〃CD,只需证明存在一个实数义工0，使48=4CZ)成立；

(3)证明两线段48_LCD,只需证明数量积Af8=0；

(4)证明A及C三点共线，只需证明存在一个义工0,使=2AC成立。

知识点2平面向量最值范围问题的常用方法

1、定义法2、坐标法3、基底法4、几何意义法

知识点3极化恒等式

1、极化恒等式：9=；[(〃+,-(〃叫2]

(I)平行四边形模式：如下图，平行四边形ABC。，O是对角线交点.则君•初=》|八仃.m2].

(2)三角形模式：如上图，在△A8C中，设。为8c的中点,则就祀二|AD|2・|即2.

2、极化恒等式的作用和使用范围

(I)极化恒等式的作用：

建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。

(2)极化恒等式的适用范围：

共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；不共起点和不共终点的数量积问题

可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。

知识点4三角形的四心

1、常见重心向量式：设。是2U8C的重心，P为平面内任意一点

(1)OA+OB+OC=0(2)PO=^PA+PB+PC)

(3)若A尸=/l(AB+AC)或PO=Q4+4(A8+AC)f2e[0,+oo)，则P一定经过三角形的重心

2、常见内心向量式：P是A48C的内心,

(1)\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB=0(或a闷4-bPB+cPC=0)

其中Q,h,c分别是A/1BC的三边BC、AC、AB的长，

(2)Q=入(第+禽)，A[0,+8),则P一定经过三角形的内心。

3、常用外心向量式：。是A4BC的外心，

(1)|UX|=\OB\=\OC\<=>OA2=OB2=OC2

(2)(OA+OB^AB=(OB+OCyBC=(OA+OCyAC=0

(3)若(立+0B\AB=(OB+OC)-BC=(0C+0/f)-C7=0,贝!J。是A/18C的夕

4、常见垂心向量式：。是A/IBC的垂心，则有以下结论

(\)OA-OB=OB-OC=OC-OA

(2)|西2+瓦『=阿『+向广=|园,+由『

(3)动点P满足OP=OA+/l，Ae(0,+8),则动点P的轨迹一定过A4BC的垂心

考点1证明平行与垂直

【例1】在Rt.ABC中,ZBAC=90\AB=AC,£尸分别为边AR8C上的点,

且AE=EB,2BF=FC.求证：CE1AF.

考点2判断多边形形状

【例2】P是/8C所在平面内一点，满足|CBHPA+PC-2网=0,则丛8c的形状是()

A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【变式2-1】在四边形/WCQ中，若/W+CD=0,/W.AO=0，则该四边形为()

A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

【变式2-2](多选)在中，下列正确的是()

A.若ACBAcO,则△ABC为钝角三角形

B.^\AB+AC\=\AB-AC\,则AABC为直角三角形

C.若(4B+ACM4B-AC)=O,则AA3c为等腰三角形

D.已知Q4+OB+OC=0,且向卜画=|。。|,则△"(?为等边三角形

考点3求数量积的范围

【例3】四边形ABC。中，AB=4,ZA=/8=60。，ZD=150°,则D4D。的最小值为()

A.石B.-73C.3D.-3

【变式3-1］若。中,AB=2其重心G满足条件：BGAG=0则8。取值范围为()

A.(-80,160)B.(-80,40)C.(-40,80)D.(-160,80)

【变式3-2】如图，单位向量OAf。3的夹角为擀，点C在以。为圆心,

1为半径的弧A8上运动，则CAC8的最小值为.

考点4求向量夹角的范围

【例4】已知"(lT)/=(/U),若。与。的夹角。为钝角，则实数，的取值范围为.

【变式4-1】若平面向量a,h1满足同=1,a-c=l，♦c=3.alb2，则a"夹角的取值范围是()

【变式4-2】已知不外是单位向量，且外利的夹角为。，§|e1+/e2|^l(reR),则6的取值范围为()

冗冗]「冗冗~|「「八It

A•伺2B.[-，-]C.,n钳Su]D•住]

【变式4-3】已知Q4+OB与OC为相反向量,若|。4=2,|O4+|OC|=4,则，08夹角的余弦的最小

值为.

考点5求向量模长的范围

【例5】已知向量。力满足2如04,且同=2,则W的取值范围是()

A.(0,1)B.[\+<x>)C.[2,-KO)D.[0,2]

【变式5-1】已知向量〃力满足I切=2,"与〃的夹角为60。，则当实数2变化时，出-痛|的最小值为

【变式5-2】若单位向量。力满足脑价=120。，向量c满足(c-〃)_L(c-〃)，则仆c+b0a=().

ATB*C*D.W

考点6求向量系数的范围

【例6】在A8C中，OA=30c0。=2OD,AD,BC的交点为M,过M作动直线/分别交线段人。，B。于E,F

两点,若OE=2OA。/=〃。8(人〃>0),贝IJ4+3”的最小值为.

【变式6-1]在A8C中，AB=I,AC=2,44C=60°,P是A8C的外接圆上的一点若AP=〃/B+〃AC,

则加+〃的最小值是()

A.-IB.C.--D.J

236

【变式6-2】在ABC^,CA=CB=l,ZACB=y，若CM与线段A8交于点P,且满足6/=46+4C3,

(4>0人>0),且「同=1,则4+4的最大值为.

【变式6-3】在△48C中刀为边AC上的一点，且仞=381/为边瓦)上的一点，且满足A0=MA8+〃4C

(加>0、〃>0),则下列结论正确的()

I411

A.〃?+〃=l的最大值为了C.一+-上的最小值为7D.//+9/的最小值为

4mn-

考点7极化恒等式的应用

【例7】在三角形ABC中，人=584=6,人。=4,力是A8的中点.

(1)求C。在AC上的投影向量；

(2)若旧=1,求PA・P3的取值范围.

【变式7-1］设三角形"C,凡是边AB上的一定点，满足P曲;AB,且对于边AB上任一点P,恒有

4

PI3PC2P^P(IC,则三角形48。形状为.

考点8三角形四心的判断

【例8】已知O,N,P在"C的所在平面内，且|OA|=|OB|=|OC|,M4+N8+NC=0,且

PAPB=PBPC=PAPC，则0,N,P分另I」是1ABe的()

A.重心,外心，垂心B.重心，外心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，内心

【变式8-1］已知0是平面上的一个定点，4、员。是平面上不共线的三点，动点P满足

(_ww\

ARAr

0P=0A+2g+GUcR),则点P的轨迹一定经过"0的()

［\AB\\AC\)

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【变式8-2］（多选）已知O,N,乙/在△A8C所在的平面内，则下列说法正确的是（）

A.若OA=OB=OC,则。是△A8C的外心

B.若PAPB=PBPC=PCPA,则P是△ABC的垂心

C.若NA+NB+NC=0,则N是/XABC的重心

D.^CBIA=AC1B=BA1C=O,贝!J/是△A8C的垂心

考点9向量在物理中的应用

【例9】（多选）若平面上的三个力月，0居作用于一点，且处于平衡状态.已知忻|=3N，闾=2&N,F„F2

的夹角为,，则（）

A.|周二@NB.闿=闻

B.匕，居夹角的余弦值为-半D.&E夹角的余弦值为手

【变式9-1】物体在力方的作用下，由点410,5）移动到点3（4,0）,已知尸=（4,-5），力厂对该物体所做功

的大小为.

专题04正余弦定理解三角形

知识点1余弦定理

1、公式表达：a2=b2+c2-2/?ccosA,b2=a2+c2-2accosB,（r=a2+b2-2abcosC

、b2+c^-a2a2+C2-IJ2a2+b1-c2

2、推论：cosA=-,cosB=-玄—,cosC=—―

知识点2正弦定理

1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即3

sinAsinBsinC

2、推论：在A/WC中，内角力,B,C所对的边分别为Q.b.c,外接圆半径为R

=-^―==2R,@sinA:sinB：sinC=a:b:c,

sinAsinBsinC

@asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA,

@~—=a+b=a+c=b+c=?R,

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（实现边和角的互相转化）

3、正弦定理解决的两类问题

类型1:已知两角及一边解三角形

类型2：已知两边及一边对角，解三角形(三角形多解问题)

在中，已知〃，力和A时，解的情况如下：

当4为锐角时:当力为钝角时

a>ba^b

仅有一个鲜仅有一个“仅育一个“

知识点3三角形面积公式

在△力8c中,内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,边BC,CA,AB边上的高分别记作%,hb,hc,r为内

切圆半径，R为外接圆半径，。为内切圆心。

(1)S=^aha=bhb=chc

[2}S=\absinC=\bcsmA=\acsinB

知识点4三角形形状的判断

1、利用余弦定理判断三角形

(1)AA3C为直角三角形042=〃+/或/?2=/+。2或/=/+〃

22

(2)A4BC为锐角三角形<=>。2+〃2>c,且/??+/>a,且/+">h2

(3)AA8C为钝角三角形0〃+〃2<02,且〃2+《2<。2，且《2+〃2<02

(4)若sin2A=sin24,则A=3或A+8=W

2、利用正弦定理判断三角形

法一化角为边：sin,sinB=4,sinC=东

法二化边为角：a=2RsinA,〃=2RsinB,c=2/?sinC

考点1余弦定理解三角形

4

【例1】已知在ABC中,A8=5,4c=4,cos^=-,贝！jcosA=()

A.|B.=C,2D.|

5425

【变式MJ在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,〃，c,且a/:c=3:5:7,则此三角形中的最大

角的大小为()

A.150B.120C.92°D.135°

【变式1-2］（多选）在锐角三角形A3C中，角A,8,C的对边分别为〃，A,c,若加5,e=3,则a的可能

取值为（）

A.4B.5C.yD.734

考点2正弦定理解三角形

【例2】已知A8C的三个内角A凤C的对边分别为〃也。，若A=75,8=60,c=10，则b=（）

A.5石B.5娓C.103D.106

【变式2-1】在以中，已知“=8=45，则A角的度数为（）

A.60B.120C.60或120D.30

【变式2-2】在中，角4,B,C的对边分别为a,"c,若〃=3,力=#,，则”.

考点3三角形解的个数判断

【例3】在"C中，若a=182=24,4=45。，则此三角形（）

A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定

【变式3-1】在中，若八=121，c=l（）,如果/比可解，则边a的取值范围是______.

【变式3-2】在MAC中，角ARC所对的边分别为aAc,且”81=2若＞4取7有两解，贝W的值可以

O

是（）

A.4B.5C.7D.10

考点4正余弦定理边角互化

【例4】在乂比•中，内角4.C的对边分别为“力凡若GsinB+2cos24=3,竽+”=罢喈,

2bc6sinC

则A8C的外接圆的面积为（）

A.127rR.167rC.24nD.647r

【变式4-1】在ABC中，内角A,8,C的对边分别为〃"，c,若C芸.c=g，则2+口的值

33sin/^+sinB

为-

【变式4-2］在48c中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（sinA+sin8）（。一b）=c（sinC—6sin8）.

（1）求角A的大小；

(2)§cosZAfiC=-1,。是线段AC上的一点,ZABD=/CBD,8。=?,求，二

【变式4-3】在“BC中，角A,B,C的对边分别为且"4=-鬻.

(1)求角A的大小；

(2)若人=4,〃=2M,求('的大小.

考点5三角形的面积问题

【例5】记的内角A,B,C的对边分别为。，b,。，若2sin8=3sinA,sinC=\,。=4,则ORC

14>

的面积为.

【变式5-1】ABC中，角A,4,C的对边分别为。涉〃，且满足c=*,〃=2,acosC=b-JIJABC

的面积为.

【变式5・2】已知分别为乂BC三个内角A,5,C的对边，c(1+cosB)=6bsinC.

(1)求角8的大小；

(2)若b=2,a+c=4,求工8。的面积.

【变式5-3】已知△A31的内角A,B,C所对的边分别为叫b,c,且满足S")2=〃2一口.

(I)求角A的大小；

(2)若a=2,sinC'=2sin3,求△A8C的面积.

【变式5-4】在△4/6C中,内角人B、。的对边分别为，?、〃、c,且acosB+加inA=c.

(1)求角A的大小；

(2)若〃=&，AABC的面积为与！，求。+c的值.

考点6多边形的形状问题

【例6】在ABC,其内角A8,C的对边分别为a,〃.c,若wosB+AosA=a,则A6C的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【变式6-1］在A8C中，角A,aC的对边分别为〃也c，若sinA=?,（Hc+a）他+c-a）=3bc,则A8C的

形状为（）

A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形

【变式6-2］在A8C中，角A、B、C所对的边分别为Jb、J且6+/=/+比若sin5sinC=sin2A,

则A8c的形状是（）

A.等腰且非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【变式6-3］（多选）在A8c中，角A,8,。所对的边分别为a.b.c.则下列结论错误的是（）

A.A.若“2+c2-b2>0,则ABC为锐角三角形

B.若4ABe为锐角三角形，则sinA>cos8

C.若sin2A=sin28,则ABC为等腰三角形

D.若c=2acsB,则一45c是等腰三角形

【变式6-4］在AA8C中，角A伉。所对应的边分别是。也。，满足方=加cosC=2csinA,则该三角形的形

状是__________.

专题05解三角形在几何与实际中的应用

知识点1三角形中的最值范围问题处理方法

1、利用基本不等式