高中数学：专题03随机变量及其分布列解析版

专题03随机变量及其分布列

1条件概率的计算

经

1贝叶斯公式的应用优2乘法公式的应用

典

选全概率公式

2两点分布3

4随机变量的概念

基

3超几何分布提

4二项分布5随机变量的分布列

础

升题型归纳

5生活中的决策问题6随.机变量的期望

题

题随机变量的方差

6二项分布中的最值问题7.

7正态分布的实际应用8正态分布

经典基础题

!产型oi।条件概率的计算

I.（2023下•广东肇庆•高二校考期中）已知P（A）=0.5,P（B）=0.3,尸（8cA）=0.l,求P（阴A）=（）

A.—B.-C.-D.I

1035

【答案】C

【分析】直接利用条件概率公式计算.

【详解】由题可得「（8|4）=令翌=鉴="

11AJU.D2）

故选：C.

2.（2023下•山东济宁•高二嘉祥县第一中学校考期中）抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A：“甲骰子的点数小于

3”,事件B：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”,则/（6件）=（）

1

C-

B.6-D.9-

【答案】c

【分析】先利用古典概型的概率公式求出户（48）1（㈤，再利用条件概率公式可求得结果.

【详解】由题意知事件48为甲骰子的点数小「3,且甲、乙两枚骰子的点数之和等于6,

则事件A8包含的基本事件为（1,5）,（2,4）,

21

而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有6x6=36种情况，所以尸（ZW）=£=R,

7I

因为甲骰子的点数小于3的有1,2两种情况，所以P（A）=\=；,

1

所以叫Ab锵W，

3

故选：C

3.（多选）（2023下.江苏宿迁.高二统考期中）某气象台统计，该地区不下雨的概率为5：刮四级以上风的

概率为:，既刮四级以上的风又下雨的概率为上，设A为下雨，8为刮四级以上的风，则（）

A.P(A\B)=—B.P(B\A)=—

C.…]D.P(A|B)=g

【答案】BD

【分析】根据条件概率的计算公式即可代人求解.

【详解】由题意可知?（A）=；P（B）=；,P（AB）=上,

11

P(AB)=14=

所以P(A|8)=1145一O

P(B)-

77一

故选：BD

4.（多选）（2023下•云南保山•高二统考期中）2023年3月30日，西南农业科技博览会暨云南一东南亚五

金机电博览会在昆明滇池国际会展中心开幕.展览面积6万平米，参展企业1500余家，采购商8万人次.假

设该博览会供应的五金机电中，各品牌的市场占有率和优质品率的信息如卜表所示.在该会场中任意购买

一品类五金机电，用A，4，4分别表示买到的五金机电为甲品牌•、乙品牌、其他品牌，A表示买到的是

优质品，则（）

品牌甲乙其他

市场占有率50%30%20%

优质品率80%90%70%

A.P(4+4)=P(A)B.P(A冏=90%

C.尸(3)=81%D.P(&忸)=30%

【答案】AC

【分析】根据表格提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，2（4+4）=0.3+0.2=0.5=尸（4），所以A选项正确.

B选项，2（43）=0.2x0.7=14%,所以B选项错误.

C选项，P（«）=0.5x0.8+0.3x0.9+0.2x0.7=81%,所以C选项正确.

D选项，尸⑷力需^鬻^^，所以D选项错误.

U.o1o13

故选：AC

5.（2023下•辽宁大连•高二育明高中校考期中）袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个

红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是.

3

【答案】1/0.6

【分析】先设事件A、B,写出P（A）,P（A8）；再利用条件概率计算公式计算即可得出答案.

【详解】用A表示事件“从中任意取出一球，它不是白球“，用E表示事件“从中任意取出一球，它是黑球”.

则P（A）=正,尸（附=而

所以时加鬻H

故答案为：3

6.（2023下•广西玉林•高二校考期中）将两个骰子各掷一次，设事件A="二个点数都相同“，B="至少出

现一个5点”，则尸（B|A）=.

【答案】7

6

【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数以及古典概型的概率计算公式，可得答案.

【详解】P（8|4）=锵1,・.,尸尸（班）］,・・・P（8|A）=1.

*（A）C6c6JG03bb

故答案：7.

o

7.（2023下•山西晋中•高二校考期中）一袋中装有6个黑球，4个白球.如果不放回地依次取出2个球.求:

（1）求两次都摸到黑球的概率

⑵在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率.

【答案】（1）Q

J

【分析】（1）根据条件概率求解；

（2）根据在第1次取到黑球的条件下，分析袋子里的球的个数，求解概率；

【详解】（1）由已知共有10个球，黑球6个.

根据古典概型的概率公式可得，第1次取到黑球的概率为4=|，

第I次取到黑球的条件下第2次取到黑球的概率为暂，

451

故两次都摸取到黑球的概率为：=

（2）第1次取到黑球后，袋中剩余5个黑球，4个白球.

根据古典概型的概率公式可得，在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率为1.

I

题型02|乘法公式的应用

1.（多选）（2023下•河北沧州•高二统考期中）有甲、乙两个小纽参加某项测试，甲组的合格率为70%,乙

组的合格率为90%.已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%,30%,从这两组组成的总体中任

选一个人，用事件A，4分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件3表示选取的该人测试合格，则（）

A.。（4团=0.49B.P（@A）=0.9

C.P（AB）=0.21D./＞（/?）=0.76

【答案】AD

【分析】由已知可得尸（A）=O-7，^（4）=0.3,P（用A）=S7,尸（同A）=0.9,可判R项：根据乘法公

式求解，即可判断A、C；根据全概率公式，可判D项.

【详解】由已知可得,P（A）=0.7,^（4）=0.3,P（B|A）=0.7,尸牺4）=0.9.

对于A项，由已知可得P（B|A）=0.7,P（于）=0.7,

根据乘法公式可知P（A8）=?（即A）/（A）=0.7X0.7=0.49,故A项正确；

对于B项，由已知可得P(8|A)=0.7,故B项错误：

对于C项，由已知可得〃(4)=D.3,P(B|A)=0.9,

根据乘法公式可知P(&8)二尸(即4)-P(4)=0.9x0.3=0.27,故C项错误;

对于D项，因为P(3)=P(A3)+P(43)=O.49+O.27=O.76,故D项正确.

故选：AD.

2.(多选)(2023下•重庆•高二校联考期中)甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球,

3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A，4和4表示从中箱中取出的球是红球、

白球和黑球的事件，再从乙箱中陵机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则()

I、]7

A.P(8IA)=,B.P(B)=-

4

c.P(4)P(0=P(A0D.P(/VR)=—

【答案】ABD

【分析】根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得.

【详解】因为P(A)=]，尸⑷尸(4)=壬

若4发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，所以P(B|A)=]=§,故A正确；

若为发生，则乙箱中有2个红球，4个白球和3个黑球，所以尸(砌&)二5,

2

若&发生，则乙箱中有2个红球，3个白球和4个黑球，所以

所以尸(8)=尸(A)P(8IA)+P(4)P(3I4)+P(4)尸(加4)

31222217「谬

=-x-+-x-+-x-=—,故B正确；

73797963

因为P(BIA)=与察，所以P(A/?)=P(AIA)P(A)=$,=；,

所以尸(A)P(8)工尸(AB),故C错误；

22

…卜喘二叫翳1辛哈故D正确;

63

故选：ABD

3.（2023下•山东济宁•高二统考期中）盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2

个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率

为.

【答案】g

【分析】分别计算”第一次取到红球''的概率和“第一次取到绿球，第二次取到红球”的概率后相加即可.

【详解】没有取到黄球，可以是“第•次取到红球”或“第•次取到绿球，第二次取到红球”

记事件"表示第一次取到红球，&表示第二次取到红球，5表示第一次取到绿球，

则p（叫）=}pm）=p（G1）p（/?jG1）=ixi=i,

.••没有取到黄球的概率为/>=；+《=:.

故答案为：

利用全概率公式求概率

1.（2023上•浙江•高二萧山二中校联考期中）在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张,

则乙中奖的概率为（）

A-LB-1［）

A.2H.3。Q3D.L6

【答案】B

【分析】利用全概率公式即可直接求解.

【详解】设甲中奖为A事件，乙中奖为B事件，

则P（B）=尸（B|A）P（A）+P（例可尸（可

12212

=­x—|—x—=—

23233'

故选:B.

2.（2023下•江苏宿迁•高二统考期中）设A,8为两个事件，已知P（A）=0.5,P（8）=0.3,P网否=0.2,

则P（8|A）=（）

A.0.3B.0.4

C.0.5D.0.6

【答案】B

【分析】根据题意，由全概率公式玖8)=夕(4)2以4)+。(加「倒加，代入数据计算可得答案.

【详解】根据题意，尸(A)=o.5,WP(A)=1-0.5=0.5,

则p(8)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=().5XP(BIA)+0.5x0.2=0.3,

解可得：P(8|A)=0.4.

故选:B.

3.(2023下•福建福州•高二校联考期中)已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占;，乙厂产品

占丙厂产品占5，甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,丙厂产品的合格率是90%,

44

则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是()

A.0.925B.0.03C.0.075D.0.95

【答案】C

【分析】应用对立事件概率求法，全概率公式求次品的概率.

【详解】由题设，此产品是次品的概1率—而95)+1一而90)+[X1(l-篙90)=茄3=0.075.

故选：C

4.(2023下•山东滨州•高二统考期中)有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回的从中取2件产品，

每次一件，则第二次取得正品的概率为()

A.-B.\C.-D.-

【答案】A

【分析】利用全概率公式和条件概率公式进行求解即可.

【详解】设4=”第i次取得正品“，i=l,2,

则&=4&+私，

所以p(4)=p(A4)+尸(4AJ=P(A)P⑷A)+P⑷尸也同

43344

=­X—+—X—=—,

76767

故选:A

5.(多选)(2023下•湖南•高二校联考期中)有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率

分别为6%,5%,4%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数的比为5:6:9,现任

取一个零件，记事件A="零件为第i台车床加工“(i=L2,3),事件8="零件为次品“，则()

A.P（A）=0.25B.P（B|A,）=|

C.尸⑻=0.048D,P（A忸）$

【答案】ACD

【分析】AB选项，根据题意可得到P（A）=言;3=；，-8他）=5%,判断AB；C选项，根据全概率

公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.

【详解】AB选项，事件A="零件为第i台车床加工“（，=1，2,3）,事件"零件为次品”，

则P（A）=---=—,P（A-,）=—--=—,P（Aj=—--=—,

'75+6+94'」5+6+910',5+6+920

尸（B|A）=6%,P（a4）=5%,尸（8|Aj=4%,故A正确，B错误;

C选项，P（B）=P（AlB）+P（A2B）+P（A3B）

=P(A)P(B|A)+P(4)P(川&)-P(A)?但A)

I39

=-x6%+—x5%+—x4%=0.()48,故C正确;

41020

=P(A8)=P(8|A)P(A)=0.25x6%

D选项,P（A忸）=Y-,故D正确.

-P(B)-P⑻-0.04816

故选：ACD.

6.（2023卜・・吉林长春・高二长春外国语学校校考期中）已知某条公路在一段时间内经过的货车和它车的数量

之比为1：3,货车中途停车维修的概率为0.02,客车中途停车维修的概率为0.01,则在通行的货车和客车

中有一辆中途停车维修的概率为.

【答案】0.0125

【分析】利用全概率公式可求解得出.

【详解】设8表示中途停车修理，A表示公路上经过的汽车是货车，4表示公路上经过的汽车是客车,

则P（A）=；,P（A）=1,P（即a）=0.02,P（B|A）=0.0I,

则由全概率公式，可知一辆车中途停车修理的概率为

P（fl）=P（/\）P（B|/l1）+P（A2）P（B|A2）=^xO.O2+^xO.Ol=0.0125.

故答案为:0.0125

7.（2023下•海南省直辖县级单位,高二校考期中）2022年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先

烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙二名

同学回答•道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响.已知甲回答正确的概率为1,甲、丙两人都

回答正确的概率是:，乙、丙两人都回答正确的概率是

(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率：

21

(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为彳，乙抢到答题机会的概率为三，丙抢

JJ

到的概率为:2，求这个问题回答正确的概率.

【答案】⑴2

1O

⑵上

30

【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事

件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；

(2)利用全概率公式可求出所求事件的概率.

【详解】(1)解：设乙答题正确的概率为P]，丙答题正确的概率为P2，

213

则甲、丙两人都回答正确的概率是耳〃2=2,解得〃2=?，

乙、丙两人都回答正确的概率是=乃=。，解得

443

所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少I人回答正确的概率为

邛嗷成词哈

(2)解：记事件4为“甲抢答这道题”，事件&为“乙抢答这道题”，事件4为“丙抢答这道题”，

记事件B为“这道题被答对”，

710

则P(A)=W，。(4)=不p(a)=不

JJJ

、?/、1/、a

P(8|A)=§，尸网&)=§，尸

.22I12319

由全概率公式可得P(H)=ZP(A)P(同4)=££+钎5+£]=记.

31>JD4JU

1.(2023下•河南周口・高二统考期中)下面给出四个随机变量:

①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数金

②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在工轴上的位置人

③某派出所一天内接到的报警电话次数X；

④某同学上学路上离开家的距离

其中是离散型随机变量的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可.

【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；

对于②，沿4轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；

对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；

对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能••列举出来，④不是离散型随机

变量，

所以给定的随机变最是离散型随机变后的有①③.

故选：B.

2.（2023下•广东茂名•高二统考期中）5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）

A.取到产品的件数B.取到正品的概率

C.取到次品的件数D.取到次品的概率

【答案】C

【分析】根据随机变量的定义可知.

【详解】对于A,5件产品中有3件次品，从中任取2件・，取到产品的件数是一个常量不是变量，

BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.

故选：C

3.（2023下•河北沧州•高二统考期中）甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得（）分，负者得T分，共下5

局.用J表示甲的得分，则4=3表示（）

A.甲胜3同负2局B.甲胜4局负1同

C.甲胜3局平2局或甲胜3局负2局D.甲胜4局负1局或甲胜3局平2局

【答案】D

【分析】根据已知条件，即可得出答案.

【详解】由已知可得，当€=3时，应该为3胜2平或4胜1负.

故选：D.

4.（2U23下•湖南郴州•高二校考期中）下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数4;

②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置小

③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；

④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离K

其中是离散型随机变量的为()

A.①@B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.

【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；

对于②，沿直线y=2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变

量；

对于③，5分钟内接到的雷i火电讦次数可以一一列举出来,③是离散型随机变品：

对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散

型随机变量，

所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.

故选：C

离散型随机变量的分布列

1.(2023下•吉林长春・高二长春外国语学校校考期中)设随机变量X的分布列为P(X=i)=.(gJ,i=l,2,3,

则。的值为()

A.B,1C.匕立3

78167

【答案】A

【分析】由分布列中所有概率和为I求解.

111Q

【详解】由题意。弓+:+!)=|,

24o/

故选：A.

2.(2023下•福建福州•高二校联考期中)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=’(i=l,2,3,4,5),则

a

P(2<X<5)=()

A19

c|D.—

•31()

【答案】C

【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1,可求得。的值，又由

尸（2WX<5）=尸（X=2）+2（X=3）+P（X=4）,计算可得答案.

【详解】根据题意，随机变量X的分布列为P（X=i）=:（i=123,4,5）,

由分布列的性质，则有自;1,解得"⑸

故P(2KX<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).

23493

=----1-----H-----=—=—

151515155

故选：C.

3.（2023下•山东济宇・高二嘉祥县第一中学校考期中）若随机变曷X的分布列为

且“X）=l,则b的值为（）

A19

B.0D

*3-i

【答案】A

【分析】由随机变量X的分布列的性质和数学期望公式得出答案.

【详解】根据所给的分布列，可得:+〃+力=1,

由E(X)=1,可得E(X)=0x；+lxa+2x〃=l,解得4=。二'.

33

故选:A.

4.（2023下•云南保山•高二统考期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X234

上

1-2(7

P2

则。等于（）

A.1B•4c"D-1+T

【答案】C

【分析】利用分布列的性质求得正确答案.

【详解】依题意;+1-24+242=27-24+；=1,

即《夕？一4夕+1=(2,一1)’=0,解得9=；,

经检验可知，q=；符合题意.

故选：C

5.(多选)(2023下•河南周口•高二校联考期中)已知离散型随机变量X的分布列为

X1246

P0.2inn0.1

则下列选项正确的是()

A.m+n=0.7B.若，〃=0.3,则P(X>3)=0.5

C.若〃?=0.9,则〃=-0.2D.P(X=1)=2P(X=6)

【答案】ABD

【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由分布列的性质,可得0.2+机+〃+0.1=1,解.得〃/+〃=0.7,所以A正确;

对干B中，若丁=0.3,可得〃=0.4,则P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5,故B正确;

对干C中，由概率的定义知加之0,〃之0,所以C不正确；

对干D中，由P(X=l)=0.2,P(X=6)=0.1,则P(X=1)=2P(X=6),所以D正确.

故选：ABD.

6.12023下•吉林长春•高二长春外国语学校校考期中)“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识,

高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习.甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人；乙组一

共有5人，其中男生2人，女生3人.现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

⑴设事件A为“选出的这4个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A

发生的概率；

⑵用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列.

【答案】⑴]

(2)分布列见解析

【分析】（1）直接利用占典概型概率公式求P（A）即可；

（2）先由题得X可能取值为。，2,3,再求概率及X的分布列.

【详解】⑴P（A）=C??:喂J

C9120/

（2）X可能取值为01,2,3,

P（x=o）=■上一，

'7C；12642

MX-八-域？；_60_10

吵=2）=窄3哉=亮，

C912614

吵=3）=聆=需=（，

C912621

X的分布列为

X0123

5105

FJ1

/

42211421

7.（2023下•四川眉山高二校考期中）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根

据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参

加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

⑴分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率;

（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这

2名学生中获奖的人数，求X的分布列

【答案】（喘

（2）分布列见解析

【分析】（I）根据组合数的计算以及古典概型概率计算公式求得抽到的2名学生都获一等奖的概率.

（2）根据相互独立事件概率计算公式求得X的分布列.

【详解】（1）设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一

等奖”，

贝UP(A)=

（2）随机变量X的所有可能取值为0,I,2.

记事件8为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”,

事件。为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖

由题设知，事件9,C相互独立，且P（B）估计为粤署=1P（C）估计为也箸丝=[.

200530010

所以P（X=0）=P（画=P（乃限）=（1一扑（1一高=||,

p（x=i）=p（fiCuBC）=p（/?）p（c）+p（fi）p（c）=1x^i-Aj+^_ljxA=12f

133

P（X=2）=P（Z?C）=P（B）P（C）=-x—=—.

51050

所以X的分布列为

题型06离散型随机变量的期望

1.（2023下•湖南衡阳•高二校考期中）一袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球，现从中随机取出2个

球，用X表示取出球的最大编号，则石"）=（）

【答案】C

【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4,然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再

计算期望即可.

【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4.

11

且P(X=2)=R]=N1，P(X=3)=c昙二1，P(X=4)=C^=

0C43C42

故选:C.

2.(多选)(2023下•广西钦州•高二校考期中)已知X的分布列为

则下列说法正确的有()

52

A.P(X=2)=—B.P(X>0)=-

123

C.E(X)=1D.P(X=O)<P(X=2)

【答案】ABD

【分析】由分布列的性质，可相应的概率和均值.

【详解】由随机变量分布列的性质可知;+；+。=1,即。=卷，・••尸(X=2)=\,故A正确;

2

P(X>0)=P(X=l)+P(X=2)=l-P(X=0)=-,故B正确：

E(X)=0xl+lxl+2xA=2,故c不正确；

P(X=0)=!<P(X=2)=，故D正确.

故选：ABD

3.（2023下•福建漳州•高二校考期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1,

2,3,4,5的五批疫苗，供全市所辖的A,B,C三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗

接种，则三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率是:记A,B,。三个区选择的疫

苗批号的中位数为X,则X的期望是.

【答案】挣120.483

【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，求得三个区注射的疫苗批号恰好有两个区相向的概率;

再由三个区选择的疫苗批号的中位数为X的所有可能值为1,23,4,5,求得相应的概率，结合期望的公式，

即可求解.

C；C；A；_12

【详解】设三个区注射的疫苗批号恰好有两个区相同记为事件A,则P（A）=

5325

再设三个区选择的疫苗批号的中位数为X,则X的所有可能值为L2,3,4,5,

1+C；x4131+C；x4+C；A；31

可得P(X=1)==—,P(X=2)==---，

531255125

I+C；X4+C；CA；=*(X=4)=1+C；x4+C＞；_31

尸(X=3)=

5353125

1+C；x413

尸(X=5)=

53125

113741

所以X的数学期望为E(X)=lx"+2'玩+3＞＜丸+4乂沃+5x沃=3・

1〜J1NJ1NJ11

故答案为:3173.

4.（2023下•新疆乌鲁木齐・高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）已知离散型随机变量的概率分布如下表,

则其数学期望石（g）=

gI35

p0.5m0.2

【答案】2.4

【分析】利用分布列的性质求出川的值，再利用期望公式可求得的值.

【详解】由分布列的性质可得O.5+/W+O.2=1,解得〃?=0.3,

因此，£（^）=1x0.5+3x03+5x0.2=2.4.

故答案为：2.4.

5.（2023下•山东滨州•高二统考期中）一个口袋中装有大小相同的3个白球和4个红球，从中摸出两个球,

若X表示摸出白球的个数，则E(x)=.

【答案】|

【分析】求出X的可能取值及对应的概率，从而求出E(X).

【详解】X的可能取值为0,1,2,

则P(X=0)至gP(X=1)=詈=：尸(X=2)*/

所以E(X)=Ox5+lxg+2x；=g

故答案为：!

6.(2023下.福建厦门•高二校考期中)甲乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先扁3局的运动员获

胜，并结束比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为：，乙赢的概率为：，设X为结束

比赛所需要的局数，随机变量X的数学期望是.

【答案】—

27

【分析】先分析X的所有取值，再求出P(X=3),P(X=4),P(X=5),列出分布列，再利用期望公式求

解即可.

【详解】由题意可知X的所有取值可能为：3,4,5,

X=3包含甲赢前三局和乙赢前三局两种情况，

77?1111

贝I]P(X=3)=-x-x-+-x-x-=-；

3333333

X=4包含甲赢前三局中的两局和第四局和乙赢前三局中的两局和第四局两种情况，

则()；112110

PX=4=Cx]|x-xx—x—=——,

33J3327

Q

P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=—,

27

则X的分布列如下:

107

~ri~

故答案为：三■.

27

7.(2023下•福建厦门•高二厦门双十中学校考期中)2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引

导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机

抽取了100名学生的成绩组成样本,并将得分分成以下6组:抽I50)、［50,60)、［60,70)、…、［90,100］,

统计结果如图所示：

频率

0.030..................

0.020..............

0.015.....................

0.010-1......................

。“405060708090葡分

(1)试估计这100名学生得分的平均数；

(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3

人,记其得分在190,100］的人数为试求J的分布列和数学期望.

【答案】(1)70.5分

4

⑵分布列见解析，-

【分析】(1)根据频率分布直方图估计平均数的求法直接解决即可；

(2)求得g的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可.

【详解】(1)由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：

x=(45x().0l+55x0.015+65x().02+75x().03+85x0.015+95x().01)x10=70.5分.

(2)由频率分布直方图的数据，可得［70,80),［80,90),［90,100］的人数之比为6:3:2,

・•.在［70,80)分组中抽6人，在⑻，90)分组中抽3人，在［90,100］分组中抽取2人，

•甚的可能取值为0,1,2,

人=空,%=］)"单二竺人『)=:年=2_，

,)55'>cf,55')C；j55

P的分布列为：

4012

36,

55=H

I整型07离散型随机变量的方差

■

37

L（2。23下•辽宁沈阳•高二校联考期中）某离散型随机变量X的分布列如下，若现X）中。41）=透

9

168c7

【答案】D

3

【分析】可由斜率之和为P（X>1）=^,构建•的等式求出再用方差公式求方

差即可.

【详解】分布列的概率之和为1,

12

a+b+c+-=],即a+b+c=一①.

33

I1

E(X)=(-l)xa+0x〃+lxc+2x§=；

/.-a+c=—②.

12

17

P(X>l)=c+-=—,

'，312

1

=—，

4

依次代入②、①，解得