13.2.2三角形的中线、角平分线、高（分层作业）（教师版）

13.2.2三角形的中线、角平分线、高（解析版）目录TOC\o"1-3"\h\u类型一、三角形的中线 1类型二、三角形的角平分线 2类型三、三角形的高 3类型四、面积问题 4类型五、作图问题 9TOC\o"1-3"\h\u类型一、三角形的中线1．一个三角形中的三条中线（

）A．都在这个三角形内B．都在这个三角形外C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外D．可能和这个三角形的一边重合【答案】A【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键．根据三角形的中线的概念即可解答．【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部，故答案为：A．2．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键．根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解．【详解】解：的周长为，∴，∵是边上的中线，∴，则，∴，∵的周长为，的周长为，∴，∴与的周长之差为，故选：A．3．小时和小颖要分一块均匀的三角形饼干，怎样才能把它分成大小相等的两块？．【答案】沿三角形的一条中线分成大小相等的两块．【分析】本题考查三角形的中线性质，掌握课本的定理是解题关键．根据三角形的中线性质解答即可．【详解】解：三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分，所以沿三角形的一条中线分成大小相等的两块．故答案为：沿三角形的一条中线分成大小相等的两块．类型二、三角形的角平分线4．下列结论正确的是（

）A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部C．三角形的重心是三角形三条中线的交点D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点【答案】C【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键．【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；故选：．类型三、三角形的高5．如图，分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（）A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵是的中线，的面积为12，∴，∵分别是的高线，，∴，则，故选：B．6．画的边上的高，下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可．【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高是从点C向作垂线，顶点C与垂足形成的线段，即如下所示：故选：D．类型四、面积问题7．如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】本题考查了三角形中线的性质．利用中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”即可求解．【详解】解：∵是的的中线，且的面积为12，∴，又∵是的的中线，∴，故选：A．8．如图，在中，D，E分别是的中点．若的面积是1，则的面积是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出的面积，进而可得的面积．【详解】解：∵E为的中点，∴，∵D为的中点，∴，故选；B．9．已知是边上的中线，是的中点，若的面积为2，则的面积为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】本题考查三角形中线的性质—中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由于是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的倍；同理，由于是的中点，得出的面积等于的面积的倍，据此即可求解．【详解】解：如图所示，点是的中点，的面积为2，，，是边上的中线，，，故选：B．10．如图，在中，点D是的中点，，则的面积为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】本题考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解决本题的关键．利用三角形的中线的性质，根据等底等高的三角形面积相等可知，中线能把一个三角形分成面积相等的两部分，即可求出答案．【详解】解：∵点D是的中点，∴，∵，∴，故选：B．11．如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为．【答案】6【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关于的方程并求解，再由中点的定义计算的长即可．掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵是中线，∴故答案为：6．12．如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是．【答案】【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键．根据点是中点，得到，根据点是的中点，得到，由即可求解．【详解】解：∵点是中点，∴，∴，∴，∵点是的中点，∴，故答案为：．13．已知：如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且阴影部分的面积为，则．【答案】【分析】本题考查三角形的中线，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质推出三角形面积．【详解】解：点是的中点，，，点是的中点，，点是的中点，，，，故答案为：．14．如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为4，则四边形的面积为．【答案】4【分析】本题考查了三角形的面积．解答该题时，需要利用“数形结合”是数学思想．根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，，然后结合图形来求四边形的面积．【详解】解：∵的两条中线、相交于点，∴，即．∵，∴．故答案为：4．15．如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，．(1)求的面积；(2)求的长．【答案】(1)60(2)24【分析】本题考查三角形的中线和高，熟练掌握高线和中线的定义是解题的关键．（1）利用面积公式进行计算即可；（2）利用面积公式进行求解即可；【详解】（1）解：∵的边上的高为，中线为，，，∴，的面积；（2）解：∵的面积，∵，∴．16．如图，是的中线，是的中线．若，求的面积．【答案】【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积．【详解】解：是的中线，，，是的中线，．类型五、作图问题17．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：(1)作边上的高；(2)过点作直线的垂线，垂足为；(3)点到直线的距离是线段_______的长度；(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)；(4)，；【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离．过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高；过点作线段，垂足为点，线段即为所求；点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度；因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离．【详解】（1）解：如下图所示，线段即为边上的高；（2）解：如下图所示，（3）解：点到直线的距离是线段的长度，故答案为：；（4）解：线段的长度表示点到直线的距离，故答案为：，；18．的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图．(1)在图①中，作出的中线；(2)在图②中，作出的重心，记为点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图，三角形的中线与三角形的重心的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．（1）根据三角形中线的定义以及网格的特点找到的中点，即可求解；（2）根据网格的特点作出上的中线，交点即为所求；【详解】（1）解：如图，点为所求作点．（2）如图，点为所求作点19．在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上．(1)画出边上的高和中线；(2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）．【答案】(1)见解析(2)见解析，【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，（1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求；（2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可．【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求；（2）如图所示，边上的高即为所求；∵的长等于5∴∴∴．1．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线；②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线；③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高；故选D．2．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．【详解】解：∵是中点，∴，∵是中点，∴，，∴，∴，故选：C．3．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键．也考查了折叠的性质．为三角形的高，则．所以，然后对各选项进行判断．【详解】解：是的高的是．故选：D．4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C．【详解】解：∵是中线，∴，故A选项正确，不符合题意；∵是高，∴，∴，故B选项正确，不符合题意；过点E作于点G，于点H，∵是角平分线，∴，∵，，∴，故C正确，不符合题意；∵是中线，∴与不一定相等，故D错误，符合题意．故选：D．5．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为.【答案】28或8【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可．【详解】解：当高在三角形内时，如图，∵，，∴，∴；当高在三角形外时，如图，则，∴；综上，的面积为28或8．故答案为：28或8．6．如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则．【答案】【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可．【详解】解：如图，连接，，，D为中点，∴，∴，∵，，，∴，∵，，∴，解得：．故答案为：．1．如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∴，同理可得，，，∴，故答案为：．2．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则．【答案】2【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系．利用三角形中线平分面积性质，得出．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到，．分别表示出，，将二者相加构建关于的等式并求解．【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6，∴，．∵是中点，是中点，的面积为，的面积为，∴，∴．∴，即，解得．故答案为：2．3．如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16．（1）的面积为；（2）设的面积为m，的面积为n，则