河北省部分重点中学2025-2026学年高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

河北省部分重点中学2025-2026学年高二数学第一学期期末复习检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题中的假命题是()A.若log2x<2,则0<x<4B.若与共线,则与的夹角为0°C.已知各项都不为零的数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列D.点(π,0)是函数y=sinx图象上一点2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里3．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为，，，点O为坐标原点，动点满足(且为常数)，化简得曲线E：.当，时，关于曲线E有下列四个命题：①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；②的最大值为；③的最小值为；④面积的最大值为.其中，正确命题的个数为（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个4．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.5．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.8 B.16C. D.7．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B.C. D.8．两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足A. B.C. D.9．设，直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.811．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）A. B.C. D.12．已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆的一条直径的端点是、，则此圆的方程是_______14．过点，且周长最小的圆的标准方程为______15．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.16．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，，且（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项和为，求证：18．（12分）求下列函数的导数（1）；（2）19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点.点M满足.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）直线l经过点，与轨迹C分别交于点M、N，与直线交于点Q，求证：.20．（12分）经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.21．（12分）已知函数.（1）若与在处有相同的切线，求实数的取值；（2）若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】四个选项中需要分别利用对数函数的性质，向量共线的定义，等比数列的定义以及三角函数图像判断，根据题意结合知识点，即可得出结果.【详解】选项A，由于此对数函数单调递增，并且结合对数函数定义域，即可求得结果，所以是真命题；选项B，向量共线，夹角可能是或，所以是假命题；选项C，将式子变形可得，符合等比数列定义，所以是真命题；选项D，将点代入解析式，等号成立，所以是真命题；故选B.【点睛】本题考查命题真假的判定，根据题意结合各知识点即可判断真假，需要熟练掌握对数函数、等比数列、向量夹角以及三角函数的基本性质.2、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B3、D【解析】①：根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；②：结合两点间距离公式、曲线方程特征进行判断即可；③：根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；④：根据方程特征，结合三角形面积公式进行判断即可.【详解】当，时，.①：因为以代方程不变，以代方程不变，同时代，以代方程不变，所以曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本命题正确；②：由，所以有，所以，当时成立，因此本命题正确；③：因为，所以，当且仅当时，取等号，因此本命题正确；④：，因为，所以，的面积为，因此本命题正确，故选：D【点睛】关键点睛：利用方程特征进行求解判断是解题的关键.4、B【解析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式为；（2）点到直线的距离公式：点到直线的距离;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线与间的距离.5、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C6、C【解析】画出直观图，利用椎体体积公式进行求解.【详解】画出直观图，为四棱锥A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE两两垂直，故体积为.故选：C7、B【解析】计算出、的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果.【详解】，，则，执行如图所示的程序，，成立，则，不成立，输出的值为.故选：B.8、C【解析】通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式.【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，当时，将移到乙柱，只移动1次；当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；……以此类推，可知，故选.【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式.9、A【解析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，则，解得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.10、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.【详解】，因为不等式恒成立，所以，即，解得，所以.故选:B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.11、C【解析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值.【详解】由双曲线可知：的周长为.当轴时,周长最小值为故选：C12、B【解析】求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，因圆、没有公共点，则有或，即或，又，解得或，所以实数a的取值范围为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先设圆上任意一点的坐标，然后利用直径对应的圆周角为直角，再利用向量垂直建立方程即可【详解】设圆上任意一点的坐标为可得：，则有：，即解得：故答案为：14、【解析】方法一：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，由线段的中点为圆心，其长一半为半径求解；方法二：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，根据以AB为直径的圆的方程求解.【详解】方法一：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段的中点，半径则所求圆的标准方程为方法二：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小又，，故所求圆的方程为，整理得，所以所求圆的标准方程为15、【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.【详解】令可得，若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，即与的图象有三个不同的交点，作出的图象如图：当时，是以为顶点开口向下的抛物线，此时与的图象没有交点，不符合题意；当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；当时，时，与的图象有一个交点，所以时与的图象有两个交点，即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，可得与的图象有两个不同的交点，令，则，由即可得，由即可得，所以在单调递增，在单调递减，作出其图象如图：当时，，当时，可得与的图象有两个不同的交点，即时，函数有三个零点，所以实数的取值范围为，故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可证明；【小问1详解】解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；18、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）导数四则运算中的乘除法则.（2）求导数，主要考查复合函数，外导乘内导.【小问1详解】【小问2详解】.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据已知得点M的轨迹C为椭圆，根据椭圆定义可得方程；（2）直线的方程设为，与椭圆方程联立，利用韦达定理及线段长公式进行计算即可.【小问1详解】由椭圆定义得，点M的轨迹C为以点