《实际问题与二元一次方程组(第四课时)》教案

《实际问题与二元一次方程组（第四课时）》教案教学目标及教学重点、难点教学目标：能分析实际问题中的数量关系，会用表格辅助分析问题，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模的思想教学重难点：分析复杂问题中的数量关系，建立方程组．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入上一节课我们重点研究如何建立二元一次方程组解决几何图形问题.今天我们继续深入探究稍复杂的实际问题与二元一次方程组.请同学们回顾一下，你是如何列出方程组解决实际问题的？分析问题中的数量关系——发现等量关系——列出二元一次方程组——解二元一次方程组——得到实际问题的答案.本节课我们继续研究实际问题与二元一次方程组.回顾列方程组解决实际问题的一般步骤，为本节课的继续研究做好铺垫.新课探究：如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？问题1要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．问题2本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？一类是公路运费，铁路运费，价值；另一类是产品数量，原料数量．问题3你能完成下面的表格吗？产品x吨原料y吨合计公路运费（元）1.5×20x1.5×20x15000铁路运费（元）1.5×20x1.5×20x97200价值（元）8000x1000y问题4你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？解得：问题5这个实际问题的答案是什么？销售款：8000×300=2400000；原料费：1000×400=400000；运输费：15000+97200=112200．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．归纳总结：（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．（2）如何更好地分析“探究”这样数量关系比较复杂的实际问题？可以借助表格来梳理，可以使题目中各量之间的关系更加简洁、直观。学会从图表中有效的提取信息也是顺利解决问题的前提。例题例：某工厂去年的利润为200万元，今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少?解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元.解得：答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.例：一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表(两次两种货车都满载)：现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？第一次第二次甲货车数（辆）25乙货车数（辆）36累计运货吨数（吨）15.535解:设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨.解得：总运费为：30×(3x+5y)=30×(3×4+5×2.5)=735(元).答:货主应付运费735元.例：某公司有A，B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积(m³/件）和质量（t/件）分别如下表所示：（1）已知一批商品有A，B两种型号，体积一共是20m³，质量一共是10.5t，求A，B两种型号的商品各有多少件?体积质量A型商品0.80.5B型商品21（2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5t，容积为6m³，其收费方式有如下两种：①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元.要将(1)中的商品一次或分批运输到目的地，该公司应如何选择运送、付费方式，运费最少？给出该方式的运费.（1）解:设A型号商品有x件，B型号商品有y件.解得：答:A型号商品有5件，B型号商品有8件.（2）①按车收费：3辆车容积：所以3辆车不够，需要4辆车.②按吨收费：③先按车收费，再按吨收费：先用3辆车运送18m³，付费再运送一件B型产品，付费共需付费：∴先按车收费用3辆车运送18m³，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少，为2000元.借助表格这一工具，更直观更简洁的表示出了题目中各量关系，这样更有助于找到题目中包含的等量关系.有效的从表格中提取信息，学会间接的设未知数解决问题.方案设计型问题，根据题目中给出的条件，搭配出不同的运输方案，使得运费最少，分类讨论思想的运用，灵活运用所学知识解决问题，有效提升学生分析问题，解决问题的能力。总结回顾本节课的学习过程回答以下问题：（1）本节课你有哪些收获？（2）列方程解决实际问题的一般过程是什么？总结有利于更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤。作业1、小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？2、某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元.某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑.请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由.落实所学，巩固提升课后知能演练基础巩固1.一次社会实践活动中,某小组男生戴白色帽子,女生戴红色帽子,每个人可以看到除自己以外的每名同学的帽子.每名男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶,每名女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶,则这个小组一共有()A.13人 B.14人 C.15人 D.16人2.已知甲地到乙地的一条公路只有上坡路和下坡路,没有平路,一辆汽车上坡时速度为20km/h,下坡时速度为35km/h,这辆汽车沿这条公路从甲地开往乙地需9h,从乙地原路返回甲地需7.5h,则甲、乙两地间的这条公路长()A.300km B.210kmC.200km D.150km能力提升3.如图所示,某工厂与A,B两地由公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批原料运回工厂,制成新产品运到B地,公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1元/(t·km).(1)若这两次运输共支出公路运费13200元,铁路运费49200元,则该工厂购买了多少吨原料?制成了多少吨新产品?(2)在(1)的条件下,原料费为每吨1000元,新产品售价为每吨2000元,则该工厂这批新产品全部售出后获得的利润为多少元?(利润=销售额-原料费-运输费)思维拓展4.某中药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂,现有甲、乙、丙三种车型供运输选择,每辆车的运载量和运费如表所示.车型每辆车的运载量/吨每辆车的运费/元甲6540乙10700丙12720(1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完,每辆车均满载,需支付运费9900元,则乙、丙两种车型各需多少辆?(2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共15辆同时参与运送,每辆车均满载且一次性运完所有中药材,你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗?答案：课后知能演练1.D解析:设这个小组男生有x人,女生有y人.由题意,得x-1=y+1,2(y-1)=x+3.解得2.B解析:设从甲地到乙地,这条公路的上坡路长xkm,下坡路长ykm.根据题意,得x化简,得7两式相加,得11x+11y=2310,x+y=210.故甲、乙两地间的这条公路长210km.故选B.3.解:(1)设该工厂购买了xt原料,制成了yt新产品.根据题意,得20解得x故该工厂购买了200t原料,制成了160t新产品.(2)2000×160-1000×200-13200-49200=57600(元).故获得的利润为57600元.4.解:(1)设乙种车型需x辆,丙种车型需y辆.根据题意,得10解得x故乙种车型需9辆,丙种车型需5辆.(2)设参与运送的甲种车型有a辆,乙种车型有b辆,则丙种车型有(15-a-b)辆.由题意,得6a+10b+12(15-a-b)=150.即b=15-3a.因为a,b,15-a-b均为