2025年上学期高三数学压轴题挑战训练（二）

2025年上学期高三数学压轴题挑战训练（二）一、函数与导数综合题（20分）题目：已知函数$f(x)=\sinx\cdot\sin5x$，定义域为$[0,\frac{\pi}{4}]$。（1）求函数$f(x)$的所有极值点；（2）若存在$x_0\in[0,\frac{\pi}{4}]$，使得$f(x_0)>k$成立，求实数$k$的取值范围；（3）证明：对任意$n\in\mathbb{N}^*$，方程$f(x)=\frac{1}{2^n}$在$[0,\frac{\pi}{4}]$内有且仅有$2n$个解。解题思路分析第（1）问：极值点的求解首先利用三角函数积化和差公式化简$f(x)$：$f(x)=\sinx\sin5x=\frac{1}{2}[\cos4x-\cos6x]$求导得$f'(x)=\frac{1}{2}[-4\sin4x+6\sin6x]=-2\sin4x+3\sin6x$令$f'(x)=0$，利用$\sin6x=\sin(4x+2x)=\sin4x\cos2x+\cos4x\sin2x$展开，化简得：$-2\sin4x+3[\sin4x(1-2\sin^2x)+\cos4x\cdot2\sinx\cosx]=0$提取公因式后结合$\sin4x=2\sin2x\cos2x$，最终解得$\sin2x=0$或$\tan4x=\frac{3}{2}$，结合定义域$[0,\frac{\pi}{4}]$，可得极值点为$x=0$，$x=\frac{\pi}{12}$，$x=\frac{\pi}{8}$。第（2）问：恒成立问题的参数范围由（1）知函数在$[0,\frac{\pi}{12}]$单调递增，$[\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{8}]$单调递减，$[\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4}]$单调递增，计算极值点函数值：$f(0)=0$，$f(\frac{\pi}{12})=\frac{1}{2}[\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{2}]=\frac{1}{4}$，$f(\frac{\pi}{8})=\frac{1}{2}[\cos\frac{\pi}{2}-\cos\frac{3\pi}{4}]=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$f(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}[\cos\pi-\cos\frac{3\pi}{2}]=-\frac{1}{2}$，故函数最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，因此$k<\frac{\sqrt{2}}{4}$。第（3）问：方程解的个数证明构造函数$g(x)=f(x)-\frac{1}{2^n}$，分析其零点个数。由$f(x)=\frac{1}{2}(\cos4x-\cos6x)$，可知其周期为$\frac{\pi}{2}$，但在$[0,\frac{\pi}{4}]$内，$4x\in[0,\pi]$，$6x\in[0,\frac{3\pi}{2}]$，通过求导分析单调性，结合介值定理可证：在每个周期子区间内，$g(x)$存在2个零点，共$2n$个解。二、概率与数列综合题（18分）题目：某乒乓球运动员进行发球训练，每次发球成功的概率为$p(0<p<1)$，且各次发球相互独立。定义“训练回合”：连续发球直到出现2次成功或2次失败为止，该回合结束。设某回合发球次数为$X$。（1）求$X$的分布列及数学期望$E(X)$；（2）若该运动员每天进行3个回合训练，记3个回合的平均发球次数为$Y$，求$Y$的方差$D(Y)$；（3）当$p=\frac{1}{2}$时，记前$n$个回合的总发球次数为$S_n$，证明：对任意$\epsilon>0$，存在$N\in\mathbb{N}^*$，当$n>N$时，$|\frac{S_n}{n}-3|<\epsilon$。解题思路分析第（1）问：分布列与期望计算$X$的可能取值为2，3。$P(X=2)$：前2次全成功或全失败，概率为$p^2+(1-p)^2$$P(X=3)$：前2次一成功一失败，第3次无论成败均结束，概率为$2p(1-p)$期望$E(X)=2[p^2+(1-p)^2]+3\cdot2p(1-p)=2+2p(1-p)$第（2）问：方差计算每个回合的方差$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，计算得$D(X)=4p(1-p)-4p^2(1-p)^2$，因3个回合独立，$Y=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$，故$D(Y)=\frac{1}{9}[D(X_1)+D(X_2)+D(X_3)]=\frac{4p(1-p)}{9}[1-p(1-p)]$第（3）问：大数定律应用当$p=\frac{1}{2}$时，$E(X)=2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=2.5$，由辛钦大数定律，$\frac{S_n}{n}\xrightarrow{P}E(X)=2.5$，但题目结论中常数为3，需修正计算：重新计算$E(X)$：当$p=\frac{1}{2}$时，$P(X=2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，$P(X=3)=\frac{1}{2}$，故$E(X)=2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{2}=2.5$，题目结论应为$2.5$，此处假设题目印刷有误，按$2.5$证明即可。三、立体几何与新定义综合题（16分）题目：在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$在底面$ABCD$内运动，定义“拟距离”$d(P,A_1)=|PA|+|PA_1|$。（1）求$d(P,A_1)$的最小值；（2）若点$P$满足$d(P,A_1)=4$，求点$P$的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，求三棱锥$P-A_1BD$体积的最大值。解题思路分析第（1）问：最小值计算建立空间直角坐标系，设$P(x,y,0)$，$A_1(0,0,2)$，$A(0,0,0)$，则$d(P,A_1)=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2+4}$，令$t=\sqrt{x^2+y^2}\geq0$，则$f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$，求导得$f'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}>0$，故$t=0$时取最小值$2$。第（2）问：轨迹方程由$t+\sqrt{t^2+4}=4$，解得$t=\frac{3}{2}$，即$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{3}{2}$，故轨迹方程为$x^2+y^2=\frac{9}{4}$（$z=0$）。第（3）问：体积最大值三棱锥$P-A_1BD$的体积$V=\frac{1}{3}S_{\triangleA_1BD}\cdoth$，其中$h$为$P$到平面$A_1BD$的距离，平面$A_1BD$的方程为$x+y+z=2$，故$h=\frac{|x+y-2|}{\sqrt{3}}$，由（2）知$x^2+y^2=\frac{9}{4}$，利用柯西不等式$x+y\leq\sqrt{2(x^2+y^2)}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故$h_{\text{max}}=\frac{2+\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$，进而$V_{\text{max}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\cdoth_{\text{max}}=\frac{4}{3}h_{\text{max}}$。四、圆锥曲线与导数综合题（20分）题目：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆$C$的方程；（2）过点$P(0,2)$的直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，设$M$为线段$AB$的中点，连接$OM$（$O$为原点）并延长交椭圆于点$N$，证明：$k_{AB}\cdotk_{ON}$为定值；（3）设函数$f(x)=\lnx-\frac{1}{4}x^2$，若存在$x_1,x_2\in(0,+\infty)$且$x_1\neqx_2$，使得$f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2>2$。解题思路分析第（1）问：椭圆方程求解由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$，将点$(2,1)$代入椭圆方程：$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，故椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。第（2）问：斜率乘积定值证明设直线$l:y=kx+2$，与椭圆联立得$(1+4k^2)x^2+16kx+8=0$，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=-\frac{16k}{1+4k^2}$，$x_M=-\frac{8k}{1+4k^2}$，$y_M=kx_M+2=\frac{2}{1+4k^2}$，直线$OM$的方程为$y=-\frac{1}{4k}x$，与椭圆联立得$x_N^2=\frac{8(1+4k^2)}{1+4k^2}=8$，故$k_{ON}=-\frac{1}{4k}$，因此$k_{AB}\cdotk_{ON}=k\cdot(-\frac{1}{4k})=-\frac{1}{4}$（定值）。第（3）问：极值点偏移证明由$f(x_1)=f(x_2)$得$\lnx_1-\frac{1}{4}x_1^2=\lnx_2-\frac{1}{4}x_2^2$，整理得$\frac{\lnx_1-\lnx_2}{x_1^2-x_2^2}=\frac{1}{4}$，令$t=\frac{x_1}{x_2}(t>1)$，则$x_1=tx_2$，代入得$\frac{\lnt}{t^2-1}=\frac{1}{4x_2^2}$，需证$tx_2+x_2>2$，即$x_2>\frac{2}{t+1}$，构造函数$g(t)=\lnt-\frac{(t^2-1)}{4(\frac{2}{t+1})^2}$，求导后可证$g(t)>0$，故原不等式成立。五、新定义与数列综合题（14分）题目：对于数列${a_n}$，定义“$k$-周期和”：若存在正整数$k$，使得对任意$n\in\mathbb{N}^*$，有$a_{n+k}=a_n+S_k$（其中$S_k$为前$k$项和），则称${a_n}$为“$k$-周期和数列”。（1）若${a_n}$是“1-周期和数列”，且$a_1=1$，求$a_n$；（2）若${a_n}$是“2-周期和数列”，且$a_1=1$，$a_2=2$，求$a_{2025}$；（3）设${a_n}$是“$k$-周期和数列”，且前$k$项和$S_k=c$（常数），证明：当$c\neq0$时，${a_n}$是等差数列。解题思路分析第（1）问：1-周期和数列由定义，$k=1$时，$a_{n+1}=a_n+S_1=a_n+a_1=a_n+1$，故${a_n}$是首项为1，公差为1的等差数列，$a_n=n$。第（2）问：2-周期和数列$k=2$时，$S_2=1+2=3$，则$a_3=a_1+S_2=4$，$a_4=a_2+S_2=5$，$a_5=a_3+S_2=7$，$a_6=a_4+S_2=8$，观察规律：奇数项$a_{2m-1}=3m-2$，偶数项$a_{2m}=3m-1$，2025为奇数，$m=1013$，故$a_{2025}=3\times1013-2=3037$。第（3）问：等差数列证明由定义，$a_{n+k}=a_n+c$，则$a_{n+2k}=a_{n+k}+c=a_n+2c$，依此类推，$a_{n+mk}=a_n+mc$，又$S_{n+k}=S_n+S_k+nc$（累加可得），当$c\neq0$时，${a_n}$的通项可表示为$a_n=a_{n\modk}+\frac{n-(n\modk)}{k}c$，因$a_{n\modk}$为周期数列，要使整体为等差数列，需周期项为常数，即公差为$c/k$，故${a_n}$是等差数列。六、选做题：坐标系与参数方程（10分）题目：在极坐标系中，曲线$C$的极坐标方程为$\rho=4\sin\theta$，直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=t\cos\alpha\y=1+t\sin\alpha\end{cases}$（$t$为参数，$0\leq\alpha<\pi$）。（1）求曲线$C$的直角坐标方程；（2）设直线$l$与曲线$C$交于$A,B$两点，若$|AB|=2\sqrt{3}$，求$\alpha$的值。解题思路分析第（1）问：直角坐标方程转化由$\rho=4\sin\theta$得$\rho^2=4\rho\sin\theta$，即$x^2+