2025-2026学年广东省深圳市多校联考九年级（上）期中数学试题含答案

初中初中保密★启用前2025-2026学年深圳市初三期中测试模拟试卷数学试卷注意事项：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2．本卷考试时间90分钟，满分100分．本试卷共6页．3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内．作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B. C. D.2.抛物线的顶点坐标为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、C在上，，则的度数是（）A. B. C. D.4.如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（）A. B.4 C. D.35.共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对广州投放新型单车，计划10月投放3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x则可列方程（）A. B.C. D.6.已知抛物线为常数，，，抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（）A. B. C. D.7.如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为A.B.C.D.8.如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9.已知关于方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为____．10.如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为_____．11.在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______．12.如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________．13.如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时，_________．三、解答题（本大题共7小题，共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．15.如图，在中，点在边上，且，已知，．（1）求的度数；（2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求的长；③在直线或上是否存在点（点、除外），使是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点，简要说明画出点的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．16.我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号）根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________：（2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人：（3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．17.“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件（）．（1）用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价．18.如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点．（1）判断直线是否为的切线，并说明理由；（2）如果，求的长；（3）将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图，求证：四边形为菱形．19.某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一个物体在灯光下，它的影子的长度与电灯到物体的距离有一定的关系，利用物体影子的长度可以计算电灯到物体的距离，利用电灯到物体的距离也可以计算物体影子的长度．下面是他们试验内容，请解答：（1）如图①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一个小射灯，在小射灯的照射下，正方形框架在地面上的影子为、，若正方形框架的边长为，，则________；小射灯离地面的距离为_______．（2）如图②，不改变（1）中的条件，将另一个同样大小的小正方形框架紧贴在原小正方形框架的左边并排摆放，即正方形．求小射灯下的影长的长度．（3）如图③，小射灯到地面的距离为，一共有个边长为的小正方形框架（无重叠）并排如图摆放，影长与的和为__________________（用、、表示）．20.如图1，在矩形中，，点，分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结．（1）如图2，当点落在对角线上时，求的长；（2）如图3，当，求的长；（3）若直线交于点，在点运动过程中，是否存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．保密★启用前2025-2026学年深圳市初三期中测试模拟试卷数学试卷注意事项：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2．本卷考试时间90分钟，满分100分．本试卷共6页．3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内．作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C选项选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．2.抛物线的顶点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可.【详解】解：抛物线的顶点坐标为；故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知抛物线的顶点坐标是是解题的关键.3.如图，点A、B、C在上，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理，即可得出结果

．【详解】解：∵点A、B、C在上，，∴

故选：

B．4.如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（）A. B.4 C. D.3【答案】B【解析】【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果．【详解】解：∵，，∴，∵内接于，为的直径，∴，∴；故选B．5.共享单车计划2021年10、11、12月连续3月对广州投放新型单车，计划10月投放3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x则可列方程（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据10月投放台数，利用增长率表示12月投放3000（1+x）2台，根据题意列方程即可．【详解】解：设增长率为x，∵计划10月投放3000台，∴12月投放3000（1+x）2，则可列方程．故选A．【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，关键是抓住增长率表示出12月的投放台数．6.已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【详解】解：∵，，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当，随的增大而增大，∵关于直线的对称点是，且，∴．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．7.如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．【详解】解：如图∵抛物线y=x2-x-与直线y=x-2交于A、B两点，∴x2-x-=x-2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x-2=-1，当x=时，y=x-2=-，∴点A的坐标为（，-），点B的坐标为（1，-1），∵抛物线对称轴方程为：x=-=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，∴A′B′=．∴点P运动的总路径的长为．故选A．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．8.如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案.【详解】抛物线与x轴交于点A、B，∴=0，∴x1=5，x2=9，，抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，当直线过B点，有2个交点，，，当直线与抛物线相切时，有2个交点，，，相切，，，如图，若直线与、共有3个不同的交点，--，故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9.已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为____．【答案】2【解析】【详解】解：设方程的另一个根为x2因为一元二次方程x2-3x+m=0的一个根是1．根据根与系数的关系，1+x2=3，得x2=3-1=2．故答案是：2．10.如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为_____．【答案】##50度【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：由旋转可得：，，．故答案为：．11.在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______．【答案】1【解析】【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案．【详解】∵抛物线与x轴只有一个交点，∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0，解得：k=1，故答案为：1【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键．12.如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________．【答案】2【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可．【详解】解：由题意，，∵是的半径，弦于点D，∴，∴，∴．故答案为：2．13.如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时，_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，求出E、F点坐标是解题关键．设，依题意得，可设，，用待定系数法求得，，从而求得，，则，把代入，得，再代入计算即可求解．【详解】解：设，依题意得，可设，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：，，当时，∵点E在y轴负半轴上，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：∴，当时，∵点F在y轴负半轴上，∴，，把代入，得，，，，．故答案为：2．三、解答题（本大题共7小题，共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握十字相乘法、提公因式法进行因式分解，是解题的关键；（1）根据解一元二次方程的方法——“十字相乘”分解因式，即可求解；（2）根据题意，可移项、提公因式，进行因式分解，即可求解．【小问1详解】解：，移项得，分解因式得，解得；【小问2详解】原方程等价于，移项得，提公因式得，即，解得．15.如图，在中，点在边上，且，已知，．（1）求的度数；（2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求的长；③在直线或上是否存在点（点、除外），使是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点，简要说明画出点的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．【答案】（1）36°；（2）①有三个：，，．②是黄金三角形，③存在，有三个符合条件的点、、．【解析】【分析】(1)根据题意设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x,列出方程即可得出∠B的度数;(2)根据黄金三角形是一个等腰三角形,它的顶角为36°每个底角为72°它的腰与它的底成黄金比,当底角被平分时角平分线分对边也成黄金比,并形成两个较小的等腰三角形,这两三角形之一相似于原三角形,依此数出图中黄金三角形的个数并作出点P.【详解】解：（1）∵．则，．设，则，．又，∴．∴，．∴；（2）①有三个：，，．∵，，∴是黄金三角形，（或∵，．∴是黄金三角形．或∵，∴．又，∴．∴．∴是黄金三角形．②是黄金三角形，∴，∵，∴．∵，，∴，③存在，有三个符合条件的点、、．ⅰ）以为底边的黄金三角形：作的垂直平分线分别交直线、得到点、．ⅱ）以为腰的黄金三角形：以点为圆心，为半径作弧与的交点为点

．【点睛】本题主要考查了黄金三角形的特征,黄金三角形的一个几何特征是:它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形,中等难度,读题能力是解题关键.16.我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号）根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________：（2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向学生有___人：（3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．【答案】（1）；（2）作图见解析，（3）【解析】【分析】（1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占的百分比，即可得出答案；（2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案；（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案【小问1详解】解：本次被调查的学生有：（人），扇统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，故答案为：；；【小问2详解】条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人），补全条形统计图如图所示．（人）∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人，故答案：；【小问3详解】画树状图如下：共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种，∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为，答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．17.“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件（）．（1）用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价．【答案】（1）（2）该商品的售价为30元【解析】【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出2件，即可得出每天售出该工艺品的件数；（2）根据总利润=每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【小问1详解】解：∵该商品的售价为x元/件，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，∴每天能售出该工艺品的件数为件．故答案为：；【小问2详解】解：由题意得：，整理得：，解得，（不合题意，舍去），答：该商品的售价为30元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点．（1）判断直线是否为的切线，并说明理由；（2）如果，求的长；（3）将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图，求证：四边形为菱形．【答案】（1）直线为的切线，理由见解析；（2）；（3）见解析．【解析】【分析】本题考查了切线的性质和判定，正切，菱形的判定，平行线的判定，对称，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形性质，切线长定理。（1）连接，由是圆O的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线；（2）求出，解直角三角形求出，根据含角直角三角形求出即可；（3）根据折叠和已知求出，根据平行线的判定推出，求出，，推出，求出，根据切线长定理可得，，进而结论得证．【小问1详解】直线为的切线，理由如下：如图1，连接，∵是的直径，，，∵，，，∴，即，∵是的半径，直线为的切线；【小问2详解】为切线，，，，在中，，，∴，，∵，∴；【小问3详解】如图2，连接，由题意得：，，∵，∴，，∴，∴，∴，，为切线，，，四边形为平行四边形，∵、为切线，∴，四边形为菱形．19.某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一个物体在灯光下，它的影子的长度与电灯到物体的距离有一定的关系，利用物体影子的长度可以计算电灯到物体的距离，利用电灯到物体的距离也可以计算物体影子的长度．下面是他们的试验内容，请解答：（1）如图①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一个小射灯，在小射灯的照射下，正方形框架在地面上的影子为、，若正方形框架的边长为，，则________；小射灯离地面的距离为_______．（2）如图②，不改变（1）中的条件，将另一个同样大小的小正方形框架紧贴在原小正方形框架的左边并排摆放，即正方形．求小射灯下的影长的长度．（3）如图③，小射灯到地面的距离为，一共有个边长为的小正方形框架（无重叠）并排如图摆放，影长与的和为__________________（用、、表示）．【答案】（1）；80（2）（3）【解析】【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、相似三角形的性质在实际问题中的应用等知识与方法，（1）设于点，交于点，由正方形的性质得，，，，则，所以，再证明，得，则，所以，求得，于是得