九年级数学上册高效培优讲义《新定义与跨学科》含答案

初中初中专题05新定义与跨学科（第21-24章）1．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（）A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣42．（2022秋•海口期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※3＝5的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根3．（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为（）A．4 B．8 C．10 D．不存在4．（2025•无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”；②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1；③若1是函数y1＝kx+3与函数y2=1x的“对偶值”，则④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2=1x（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b其中正确的是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④5．（2025•济南模拟）定义平面内任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）与点Q（2，2）之间的曼距dPQ＝|﹣3﹣2|+|﹣2﹣2|＝5+4＝9，若点A在直线y=12x−2上，点B为抛物线y＝x2+2x上一点，则曼距A．23540 B．6940 C．236．（2025•邯郸模拟）定义新运算：a#b=a+b(a≥b)−ba(a＜b)．按此规定可得函数yA． B． C． D．7．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb=a+b(a≥b)b2−a(a＜b)，则抛物线y＝x2+（2Φ3）A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点8．（2025•天元区校级模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论错误的是（）A．a＝2，b＝3 B．若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则y=−3C．若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有2组整数解 D．若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝09．（2025•包头模拟）定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b★bA．0 B．1 C．2 D．与m有关10．（2025•雁峰区校级模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③14a+12b+c＜0；④A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④11．（2025•历下区三模）定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，对于m、n为实数（m＜n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m≤x≤n为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数y＝x2+kx+1的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，若d≤x≤e（d＜e）为函数y＝x2+kx+1的“翻倍取值范围”，则e的值是（）A．378或3+22 B．374C．374或3+22 D．3−212．（2025•蜀山区三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．﹣2＜c＜14 B．﹣4＜c＜94 C．﹣4＜c＜13．（2025•潍坊三模）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”．如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]．若点P（x1，y1），Q（x2，y2）在“图象数”为[m，﹣2m，﹣3m]的二次函数的图象上，且m＞0，y1＝﹣3m，则当y1＜y2时，x2的取值范围为（）A．0＜x2＜2 B．x2＞2 C．x2＜0或x2＞2 D．x2＜014．（2025•东兴区模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2 B．14 C．﹣2或2 15．（2025•萨尔图区校级二模）我们把a，b，c三个数的中间值记作Z{a，b，c}，例如Z{﹣5，4，1}＝1，Z{m+1，m+3，m﹣5}＝m+1；若直线y=kx+13（k＞0）与函数y＝Z{x2﹣1，x+1，﹣x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值范围是16．（2023春•岐山县期末）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为．17．（2024秋•丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：（1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是；（2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，则c的值是；（3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为．18．（2025春•南岗区校级期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝．（2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值．19．（2017秋•句容市校级期中）我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图①，请你在图中画出格点M，使得四边形OAMB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（2）如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，CE．若∠DCB＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？20．（2023秋•工业园区校级月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．21．（2025•金水区校级四模）【了解概念】定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形．【理解运用】（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是（只填序号）；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．【拓展提升】（2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE．①求证：四边形BCGE是强等线四边形；②若AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长．22．（2024秋•濂溪区校级期中）以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（）A．甲醛 B．甲烷 C．水 D．乙酸23．（2024秋•白塔区校级期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（）m．A．13 B．14 C．15 D．1624．（2025•定海区二模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（）A．70° B．65° C．55° D．60°25．（2023秋•集美区校级期中）根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2.根据该规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解释正确的是（）A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s26．（2024秋•川汇区期中）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（）A．160W B．180W C．200W D．220W27．（2024秋•句容市期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过秒落回地面．（结果精确到0.1）28．（2024春•开远市校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了cm．（结果保留π）29．（2024秋•泗阳县期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为．30．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为3cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动120°，则砝码被提起了cm．（结果保留π）31．（2024秋•邕宁区校级期中）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则∠1的度数为°．32．（2023秋•新城区校级期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？（2）小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，2≈1.41，333．（2024秋•旬阳市校级期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球运动中的最大高度是m．34．（2024秋•翔安区期中）【综合与实践】【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：任务一：求出函数表达式（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线y＝﹣0.04x2+bx+c的一部分，场景B的图象是直线y＝ax+c（a≠0）的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；任务二：探究该化学试剂的挥发情况（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？35．（2024秋•肥西县期中）九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场景A和实验场景做对比，研究某种化学试剂的挥发情况．若当实验过程中该试剂挥发时间为x分钟时，在实景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．记录y1，y2与x的几组对应值如下：x（分钟）05101520…y1（克）2523.52014.57…y2（克）252015105…请你协助小林将探究过程补充完整：（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，实验场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1=ax2−0.1x+c；实验场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+25；则a＝；c＝（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥有效作用的时间分别为xA，xB，则xAxB（填“＞”，“＝”或“＜”）．36．（2024春•金州区期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物害人害己严禁高空抛物”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：秒）和高度h（单位：米）近似满足公式h=12gt2，其中g为重力加速度，（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？（2）一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1秒，2≈37．（2023秋•左权县期中）比萨斜塔（图①）是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：如图②，某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时间t（s）之间的函数表达式是d＝7t，在竖直方向物体的下落高度h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2．求小铁球从建筑物上下落到地面时，距离抛出点的水平距离．专题05新定义与跨学科（第21-24章）1．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（）A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4【答案】C【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，∴x★2＝x2﹣3x+2，即：x2﹣3x+2＝6，∴x2﹣3x﹣4＝0，（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0或x+1＝0，∴x1＝4，x2＝﹣1．故选：C．2．（2022秋•海口期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※3＝5的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【答案】C【解答】解：∵a※b＝a2﹣ab+b，∴x※3＝x2﹣3x+3＝5，∴x2﹣3x﹣2＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程x※3＝5有两个不相等的实数根．故选：C．3．（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为（）A．4 B．8 C．10 D．不存在【答案】C【解答】解：根据题中的新定义化简方程x※2＝5得：x2﹣2x+2＝5，整理得：x2﹣2x﹣3＝0，设方程两根分别为m，n，∴m+n＝2，mn＝﹣3，则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4+6＝10．故选：C．4．（2025•无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”；②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1；③若1是函数y1＝kx+3与函数y2=1x的“对偶值”，则④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2=1x（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b其中正确的是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】B【解答】解：①设函数y1＝2x+3上点P坐标轴为（m，2m+3），∵P、Q关于y轴对称，∴Q点坐标为（﹣m，m+1），若点P或点Q的纵坐标称相等，∴2m+3＝m+1，解得：m＝﹣2，则存在这样的点P、Q，使得他们关于y轴对称，∴函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1具有“对偶关系”；故①错误，不符合题意；②当y1＝y2＝﹣1时，则﹣1＝2x+3，解得x＝﹣2；﹣1＝﹣x+1，解得x＝2；横坐标是相反数，故②正确，符合题意；③当y1＝y2＝1时，则1=1解得x＝1；因为是函数y1＝kx+3与函数y2所以函数y1＝kx+3的x＝﹣1，代入得：1＝﹣k+3，解得k＝2，故③正确，符合题意；④设点P坐标为（m，﹣2m+b），则点Q坐标为(−m，−1∵P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等，∴−2m+b=−1整理得b=2m−1∵﹣2≤m≤﹣1，对于函数y=2m−1m，y随当m＝﹣2时，b=2×(−2)−1当m＝﹣1时，b=2×(−1)−1∴−72≤b≤−1故④错误，不符合题意；故选：B．5．（2025•济南模拟）定义平面内任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）与点Q（2，2）之间的曼距dPQ＝|﹣3﹣2|+|﹣2﹣2|＝5+4＝9，若点A在直线y=12x−2上，点B为抛物线y＝x2+2x上一点，则曼距A．23540 B．6940 C．23【答案】C【解答】解：由题意得：设A(a，12a−2)，B（b，b2∴dAB由图象可知，当A、B两点横坐标相等时，dAB取得最小值，∴dAB∴曼距dAB的最小值为2316故选：C．6．（2025•邯郸模拟）定义新运算：a#b=a+b(a≥b)−ba(a＜b)．按此规定可得函数yA． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵定义新运算：a#b=a+b(a≥b)∴y=x+2(x≥2)画图如下：，故选：C．7．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb=a+b(a≥b)b2−a(a＜b)，则抛物线y＝x2+（2Φ3）A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点【答案】B【解答】解：由题意可知，（2Φ3）＝32﹣2＝7，(6Φ4)=6+4∴y＝x2+7x﹣8，令y＝0，则x2+7x﹣8＝0，∵Δ＝72﹣4×（﹣8）＝81＞0，∴抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为有两个交点，故选：B．8．（2025•天元区校级模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论错误的是（）A．a＝2，b＝3 B．若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则y=−3C．若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有2组整数解 D．若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0【答案】B【解答】解：A．由题意，得3a+3b−4=11−3a−b−4=−13解得：a=2b=3，故选项AB．T（kx，y）＝2kxy+3kx﹣4＝kx（2y+3）﹣4，∵若T（kx，y）始终不变，则有2种情况：①2y+3＝0，则y=−3②x＝0，B少一种情况，故选项B错误；C．∵T（m，n）＝0，∴2mn+3m﹣4＝0，∴m=4当m为整数时，2n+3＝±1，±2，±4，当2n+3＝﹣1时，解得：n＝﹣2，∴m=4当2n+3＝1时，解得：n＝﹣1，∴m=4当2n+3＝﹣2时，解得：n=−5当2n+3＝2时，解得：n=−1当2n+3＝﹣4时，解得：n=−7当2n+3＝4时，解得：n=1综上所述，m，n有且仅有2组整数解，故选项C正确；D．当T（kx，y）＝T（ky，x）时，则2kxy+3kx﹣4＝2kxy+3ky﹣4，∴2kxy+3kx﹣4﹣2kxy﹣3ky+4＝0，∴3kx﹣3ky＝0，即3k（x﹣y）＝0，∵T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x，y都成立，∴k＝0，故选项D正确．故选：B．9．（2025•包头模拟）定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b★bA．0 B．1 C．2 D．与m有关【答案】A【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+14m＝0（∴a+b＝1，∴b★b﹣a★a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．故选：A．10．（2025•雁峰区校级模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③14a+12b+c＜0；④A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】C【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得a+b+c=4a−b+c=−4∴b=4a+c=0∴①②正确，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴−b∴−4∴﹣1＜a＜0，④正确，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，c＝﹣a，当x=12时，y＝ax2+bx+c=14a+12b+c=1∵﹣1＜a＜0，∴−34∴14a+12b+c＝2−3综上所述，结论正确的是①②④．故选：C．11．（2025•历下区三模）定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，对于m、n为实数（m＜n），若当m≤x≤n时，函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m≤x≤n为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数y＝x2+kx+1的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，若d≤x≤e（d＜e）为函数y＝x2+kx+1的“翻倍取值范围”，则e的值是（）A．378或3+22 B．374C．374或3+22 D．3−2【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝x2+kx+1的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，∴−k∴k＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴对称轴直线x＝2，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵d≤x≤e（d＜e）为函数y＝x2+kx+1的“翻倍取值范围”，∴当e＜2时，则：d2解得：d=3−22e=3−22或d=3+22e=3+2当d≤2≤e时，则：2d＝﹣3，解得：d=−3当x＝d，y＝2e时，则：2e=(−3∴e=37当x＝e，y＝2e时，则：2e＝e2﹣4e+1，解得：e=3+22或e=3−2当d＞2时，则：d2解得：d=3+22或d=3−22（舍去）；e=3+22∴d=3+22，e＝3+22∵d＜e，故这种情况不符合题意；舍去；综上：e=37故选A．12．（2025•蜀山区三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．﹣2＜c＜14 B．﹣4＜c＜94 C．﹣4＜c＜【答案】B【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x，将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4，将x＝4代入y＝2x得y＝8，设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图，联立方程x2﹣x+c＝2x，当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点，即9﹣4c＞0，解得c＜9此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c，把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，∴6+c＞−412+c＞8解得c＞﹣4，∴﹣4＜c＜9故选：B．13．（2025•潍坊三模）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”．如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]．若点P（x1，y1），Q（x2，y2）在“图象数”为[m，﹣2m，﹣3m]的二次函数的图象上，且m＞0，y1＝﹣3m，则当y1＜y2时，x2的取值范围为（）A．0＜x2＜2 B．x2＞2 C．x2＜0或x2＞2 D．x2＜0【答案】C【解答】解：由条件可知二次函数的解析式为y＝mx2﹣2mx﹣3m，∴对称轴为直线x=−−2m当y1＝﹣3m时，得到mx2﹣2mx﹣3m＝﹣3m，∵m＞0，∴x2﹣2x＝0，解得x1＝0或x1＝2，∵m＞0，∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，当x1＝0时，∵y1＜y2，得|0﹣1|＜|x2﹣1|，解得x2＜0或x2＞2；当x1＝2时，∵y1＜y2，得|2﹣1|＜|x2﹣1|，解得x2＜0或x2＞2；综上所述，x2＜0或x2＞2，故选：C．14．（2025•东兴区模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2 B．14 C．﹣2或2 【答案】C【解答】解：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，根据题意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，解得m1＝﹣2，m2＝2，故选：C．15．（2025•萨尔图区校级二模）我们把a，b，c三个数的中间值记作Z{a，b，c}，例如Z{﹣5，4，1}＝1，Z{m+1，m+3，m﹣5}＝m+1；若直线y=kx+13（k＞0）与函数y＝Z{x2﹣1，x+1，﹣x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值范围是13＜k≤1【答案】13＜k≤1或【解答】解：由题意，函数y=Z{x画出函数图象如图所示，∵直线y=kx+13（当直线y=kx+13（则3=2k+1解得：k=4当直线y=kx+13（解得：k=1此时直线y=kx+13（当k＝1时，y=kx+13平行于y＝与函数的图象也有且仅有两个交点；∴直线y=kx+13（k＞0）与分段函数的图象有且只有2个交点，k的取值为：13故答案为：13＜k≤1或16．（2023春•岐山县期末）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为x1＝﹣1，x2＝﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：由“关联数”定义得一次函数为y＝x+m﹣2，又∵此一次函数为正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，∴关于x的方程为x2+3x+2＝0，因式分解得：（x+1）（x+2）＝0，∴x+1＝0或x+2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝﹣2；故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣2．17．（2024秋•丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：（1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是x2+3x﹣4＝0；（2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值；（3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为2025．【答案】（1）x2+3x﹣4＝0；（2）c＝﹣3；（3）2025．【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0；故答案为：x2+3x﹣4＝0；（2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0，把x＝﹣1代入方程，得c+2+1＝0，∴c＝﹣3；（3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根，∴m2+m﹣6＝0，∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025．故答案为：2025．18．（2025春•南岗区校级期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝5．（2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值．【答案】（1）5；（2）a＝﹣1，b＝18．【解答】解：（1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，∴p﹣2＝3，解得p＝5；故答案为：5；（2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，∴b−8=2(a+6)6=a+7解得a=−1b=1819．（2017秋•句容市校级期中）我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图①，请你在图中画出格点M，使得四边形OAMB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（2）如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，CE．若∠DCB＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①，点M或点M′为所作；（2）连接CE，如图②，∵△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE∴AC＝DE，BC＝BE，∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴EC＝BC，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形．20．（2023秋•工业园区校级月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是矩形，∵AB，AC是⊙O的等垂弦，∴AB＝AC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AE=12AC，AD=∴AE＝AD，∴矩形ADOE是正方形．（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，∵OD⊥OA，OC⊥OB，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，∵∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=1∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝90°，∴AB⊥CD，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴AB，CD是⊙O的等垂弦．21．（2025•金水区校级四模）【了解概念】定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形．【理解运用】（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是②④；（只填序号）；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．【拓展提升】（2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE．①求证：四边形BCGE是强等线四边形；②若AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：一定是等线四边形的是②矩形；④正方形．理由如下：①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；②矩形对角线相等，它一定是等线四边形；③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；④正方形对角线相等，它一定是等线四边形，故答案为：②④；（2）①证明：连接BG、CE，交于点O，设CE交AB于点N，如图：菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝60°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△BAG和△EAC中，AB=AE∠GAB=∠CAE∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝EC，∠ABG＝∠AEC，即∠OBN＝∠AEN，∵∠OBN十∠BNO+∠BOE＝∠AEN+∠ENA+∠BAE＝180°，∠BNO＝∠ENA，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，即BG、CE所夹锐角为60°，∴四边形BCGE是强等线四边形；②解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝30°，∴AC＝AB•cos∠BAC＝4×32=菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG＝23，AE＝AB＝4，∠CAG＝∠BAE＝60°，∴△ACG、△ABE都是等边三角形，∴∠GAE＝∠CAG+∠BAC+∠BAE＝150°，∴CG＝AC＝23，BE＝AB＝4，∠AGC＝∠AEB＝60°，∠AGE+∠AEG＝180°﹣∠GAE＝30°，∴∠CGE+∠BEG＝∠AGC+∠AEB﹣（∠AGE+∠AEG）＝90°，连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM、QM，如图：∵分别是BC，GE的中点，∴PM、QM分别是△BCE、△CGE的中位线，∴PM=12BE＝2，PM∥QM=12CG=3，QM∴∠CMP＝∠CEB，∠MQE＝∠CGE，∵∠CMQ＝∠MQE+∠CEG，∴∠CMQ＝∠CGE+∠CEG，∴∠CMQ+∠CMP＝∠CGE+∠CEG+∠CEB＝90°，在Rt△PQM中，由勾股定理得，PQ=P即PQ的长为7．22．（2024秋•濂溪区校级期中）以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（）A．甲醛 B．甲烷 C．水 D．乙酸【答案】C【解答】解：选项A、B、D的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．23．（2024秋•白塔区校级期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（）m．A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解答】解：由题意得，S＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，∵﹣4＜0，∴当t＝2时，s最大．∴当t＝2时，汽车停下来，滑行了16m．故选：D．24．（2025•定海区二模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（）A．70° B．65° C．55° D．60°【答案】A【解答】解：如图，设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K．由正八边形的性质得∠CHI＝∠HIJ＝∠IJD＝∠BAE＝180°﹣45°＝135°．设∠BCD＝x，∠CDE＝y．由光的反射定律可知∠DCH=12(180°−∠BCD)=90°−12x，∵多边形CHIJD是五边形，∴∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+∠CDJ＝540°，即3×135°+90°−12x+解得x+y＝90°，∴∠CKD＝180°﹣（x+y）＝90°，∴∠BKE＝90°．∵多边形AEKB是四边形，∴∠AED＝360°﹣（∠BKE+∠BAE+∠ABC）＝360°﹣（90°+135°+65°）＝70°．故选：A．25．（2023秋•集美区校级期中）根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2.根据该规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解释正确的是（）A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s【答案】D【解答】解：∵方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88与x2≈1.16，∴小球经过约0.88s和1.16s离地面的高度为5m，故选项A，B不符合题意；小球上升时经过约0.88s离地面的高度为5m，并将继续上升，小球下降时经过约0.16s离地面的高度为5m，并将继续下降，故选项C不符合题意；小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为1.16﹣0.88＝0.28s，故选项D符合题意．故选：D．26．（2024秋•川汇区期中）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（）A．160W B．180W C．200W D．220W【答案】D【解答】解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P＝aI2+bI，把（1，165），（4，0）代入得：a+b=16516a+4b=0解得：a=−55∴抛物线解析式为P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220，∵﹣55＜0，∴当I＝2时，P取最大值220，∴变阻器R消耗的电功率P最大为220W；故选：D．27．（2024秋•句容市期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过2.0秒落回地面．（结果精确到0.1）【答案】2.0．【解答】解：根据物体落回地面，可得10x﹣4.9x2＝0，∴x1＝0（舍），x2故答案为：2.0．28．（2024春•开远市校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了4πcm．（结果保留π）【答案】4π．【解答】解：砝码被提起了：120π×6180=4π（故答案为：4π．29．（2024秋•泗阳县期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为n°，由题意可知，点A转过的弧长为4πcm，∴nπ×12180解得n＝60，∴滑轮上点A转过的度数为60°，故答案为：60°．30．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为3cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动120°，则砝码被提起了2πcm．（结果保留π）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵120π×3180∴砝码被提起了2πcm．故答案为：2π．31．（2024秋•邕宁区校级期中）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则∠1的度数为120°．【答案】120．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝∠AFE=(6−2)×180°∴△BAF≌△AFE（SAS），∴∠ABF＝∠FAE，∴∠1＝∠ABF+∠BAE＝∠FAE+∠BAE＝∠BAF＝120°．故答案为：120．32．（2023秋•新城区校级期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？（2）小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，2≈1.41，3【答案】（1）小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s；（2）小球滚动5m约用了1.2秒．【解答】解：（1）小球的滚动速度平均每秒减少5÷4＝1.25（m/s），答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s．（2）设小球滚动5m约用了x秒，此时速度为5﹣1.25x，由题意得：x⋅5+(5−1.25x)整理得：x2﹣8x+8＝0，解得：x=4−22或x=4+2当x=4+22时，5−1.25x=5−1.25×(4+2∴x=4−22答：小球滚动5m约用了1.2秒．33．（2024秋•旬阳市校级期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球运动中的最大高度是45m．【答案】45．【解答】解：h＝﹣5t2+30t＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t2﹣6t+9﹣9）＝﹣5[（t﹣3）2﹣9]＝﹣5（t﹣3）2+45因为二次项系数﹣5＜0，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，当t＝3时，h取得最大值45，又因为3在0≤t≤6这个取值范围内，所以小球运动中的最大高度是45m．故答案为：45．34．（2024秋•翔安区期中）【综合与实践】【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：任务一：求出函数表达式（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线y＝﹣0.04x2+bx+c的一部分，场景B的图象是直线y＝ax+c（a≠0）的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；任务二：探究该化学试剂的挥发情况（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为