河南省郑州市八校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学（含答案）

2025~2026学年上学期期中学业水平测试

高二数学试卷

考生注意:

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。

2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超

●

出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的。

1.在平面直角坐标系父0y中,直线在y轴上的截距为

A.—6B.6C.D

2.在空间直角坐标系0父y义中,点A(1,—2,3)关于0父y平面对称的点的坐标为

A.(—1,2,3)B.(1,2,—3)

C.(1,—2,—3)D.(—1,—2,3)

3.若方程父2十y2—3父十y十t=0表示圆,则实数t的取值范围是

4.若m∈R,则“—4<m<2”是“方程表示椭圆”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2

5.若圆C:(父—2\)2十(y十2\)=r2(r>0)与y轴相切,则这个圆截父轴所得的弦长为

A.4B.2\C.8D.4\

—→—→—→—→

6.在正三棱锥PABC中,PA=AB=2\,点M为空间中的一点,则MP●(MA十MB十MC)的最小

值为

A.—8B.—12C.—14D.—16

【高二期中学业水平测试●数学试卷第1页(共4页)】ZZ

父2

7.已知F1,F2为椭圆C:十=1的两个焦点,P为C上一点,则十的最大值等于

4

A.2B.C.D.

8.在平面直角坐标系父Oy中,点A(4,0),直线l:k父—y十3k—5=0上存在点P满足PO2十PA2=

10,则k的取值范围是

A,B,

C,D,

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部

选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.直线\3父—y十m=0与圆父2十y2—2父—2=0相切,则实数m的值为

A.\3B.—\3C.—3\3D.3\3

2

父2

10.已知F1,F2是椭圆C:十y=1的左、右焦点,P是C上一点,若△PF1F2是直角三角形,则

2

PF1=

\3

A.B.\C.2D.

11.如图,多面体ABCDEFH是各棱长均为1的平行六面体ABCDEFGH截去三棱锥GCFH后

——→

剩下的几何体,若点P是三角形CHF的重心,上EAB=上EAD=上DAB=60。,A=λAP,则下列

说法正确的是

8

A.AP=

3

B.异面直线AP,CD所成角的余弦值为\

2

C.AP丄BD

D.若E,Q,B,D四点共面,则点Q是线段AP的中点

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.已知空间向量a=(2,—1,3),b=(—4,2,—父),且aⅡb,则父=.

13.已知直线l1:m父十2y—4—m=0与直线l2:(m十1)父十3y—1=0平行,则直线l1与直线l2间的距离

为.

父2—

14.已知点A是椭圆C:十=1(a>b>0)的下顶点,F是C的右焦点,延长AF交C于点B,若A=

a2

——→

2FB,则C的离心率为.

【高二期中学业水平测试●数学试卷第2页(共4页)】ZZ

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知A(2,2),B(3,1),C(0,4).

求:(1)过点A且与BC垂直的直线方程;

(2)过点B且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程.

16.(本小题满分15分)

如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB丄AC,AB=AC=a,AA1=b,点E,F满足

(1)当平面AEF丄平面A1EF时,求λ的值;

(2)当时,求直线AE与平面A1EF所成角的大小.

17.(本小题满分15分)

已知椭圆C上任意一点P到两个焦点的距离之和为8,且离心率为\.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点M(2,1)作直线l交椭圆于A,B两点,点M为线段AB的中点,求直线l的方程.

【高二期中学业水平测试●数学试卷第3页(共4页)】ZZ

18.(本小题满分17分)

如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD是矩形,AB=1,AD=AA1=\,点E,F分

别为A1D1,DD1的中点.

(1)求证:EFⅡ平面B1AC;

(2)求点B1到平面EAC的距离;

(3)求二面角EACB1的正弦值.

19.(本小题满分17分)

2222

已知OO:父十Y=1与OO1:父十Y—6父十5=0,过点P(5,—1)作OO1的切线,切点分别为A,B.

(1)求直线PA与PB的方程;

—→—→

(2)求PA●PB;

(3)求OO与OO1的所有公切线的方程.

【高二期中学业水平测试●数学试卷第4页(共4页)】ZZ

2025~2026学年上学期期中学业水平测试●高二数学试卷

参考答案、提示及评分细则

父

1.A令父=0,解得y=—6,即直线—=1在y轴上的截距为—6.故选A.

4

2.C由题意知点A关于O父y对称的点的坐标为(1,—2,—3).故选C.

5

3.D由题意,得(—3)2十12—4t>0,解得t<.故选D.

2

(2m十8>0,

2

4B若方程十=1表示椭圆,则2—m>0,解得—4<m<—2或—2<m<2,所以“—4<m<2”是“方程

.2十8〈

(2m十8≠2—m,

父22

十y=1表示椭圆”的必要不充分条件故选B

..

2m十82—m

222

5.C由圆(父—2\)十(y十2\)=r(r>0),可得圆的圆心坐标为C(2\,—2\3),半径为r,因为圆C与y轴相切,所

以r=2\7,所以截父轴所得弦长为2\/r2—(2\3)2=2\28—12=8.故选C.

6.B记△ABC的重心为O,点D是BC的中点,点G是PO的中点,又在正三棱锥PABC中,PA=AB=2\,所以AO

——→——→——→

=AD=2\,PO丄平面ABC,又AOG平面ABC,所以PO丄AO,所以PO=\=4.又MA十MB十MC=

—M—→A十2—M—→D=—M—→O十—O—→A十2(—M—→O十—O—→D)=3—M—→O,所以—M—→P.(—M—→A十—M—→B十—M—→C)=—M—→P.3—M—→O=3(—M—→G十—G→P).

—→→—→→—→→—→2→2—→2—→2

(—MG十—GO)=3(—MG十—GP).(—MG——GP)=3(—MG——GP)=3(—MG—4),所以当M与G重合时,—MG取最小值0,

—→—→—→—→

此时—MP.(—MA十—MB十—MC)有最小值—12.故选B.

11

7.C由题意知a=3,b=2,半焦距c=\,所以由椭圆定义知PF1十PF2=6,故十=

PF1PF2

2

且PF1.PF2=PF1(6—PF1)=6PF1—PF1=

2

—(PF1—3)十9,又3—\≤PF1≤3十\,所以当PF1=3—\或PF1=3十\时,PF1.PF2取得

最小值,且其最小值为,所以11的最大值为63故选

9—5=4十=.C.

PF1PF242

222

8.A设P(父,y),又PO2十PA2=10,所以(\父2十y2)十(\(父—4)2十y2)=10,整理得(父—2)2十y=1,所

2k十3k—5

以,解得,即k的取值范围是,故选

22≤1≤k≤.A.

\k十(—1)

9.AC由父2十y2—2父—2=0,可得(父—1)2十y2=3,知其圆心为C(1,0),半径为\3,依题意,圆心C(1,0)到直线\3父—y

|m十\|

十m=0的距离为=\,解得m=\或m=—3\.故选AC.

2

\\

10.ABD由题意知F1(—1,0),F2(1,0),若PF1丄F1F2,令父=—1,得y=±,所以PF1=,故A正确;若PF2

2

\\223\

丄F1F2,则PF2=,又F1F2=2,所以PF1=十2=,故D正确;当点P为C的上顶点或下顶

\(2)2

点时,PF1=PF2=\,又F1F2=2,所以PF1丄PF2,故B正确.故选ABD.

——→—→——→—→——→—→—→—→

11.CD因为点P是三角形CHF的重心,所以AP=AC十AF十AH=(—AB十—AD)十(—AB十—AE)十

—→—→—→—→—→—→2—→2—→2—→2—→—→—→—→

(AD—十—AE)=—AB十—AD十AE—,所以—AP=(—AB十AD—十—AE十2—AB.AD—十2—AB.—AE十

2

2—A—→D.—A—→E)=(1十1十1十1十1十1)=,所以AP=\,故A错误;因为ABⅡCD,所以上PAB就是异面直线AP

3

——4

——→—→———→—→———→——→.A3

与CD所成的角,因为AP.AB=AB十AD十AE).AB=,所以cOS上PAB=——==

A26

\×1

3

【高二期中学业水平测试.数学试卷参考答案第1页(共4页)】ZZ

\,故B错误;—A—→P.—B—→D=(—A—→B十—A—→D十—A—→E).(A—→D——A—→B—)=(—A—→D2——A—→B2十—A—→E.—A—→D——A—→E.—A—→B)=0,所以AP丄

3

—→—→—→—→—→—→—→

BD,故C正确;若E,Q,B,D四点共面,则存在有序数对(x,y),使BQ=xBD十yBE,即AQ—AB=x(AD—AB)十

,所以点Q是线段AP的中点,故D正确.故选CD.

2—13

126因为Ⅱ,所以==,(x≠0),解得x=6

.ab—42—x.

4\2

13.因为直线l1:mx十2y—4—m=0与直线l2:(m十1)x十3y—1=0平行,所以3m—2(m十1)=0,解得m=2,所

3

|9—1|4\

以直线l1:3x十3y—9=0,直线l2:3x十3y—1=0,所以直线l1与直线l2间的距离为=

.

\32十323

\————

14.设椭圆C的焦距为2c,设B(m,n),A(0,—b),F(c,0),所以A—→F=(c,b),F→B=(m—c,n),因为A—→F=2F→B,所以

3

,

即即B),因为点B在椭圆C上,所以十=1,所以=,所以C的

c3

离心率为e==\

a3.

4—1

15.解:(1)设过点A且与BC垂直的直线的斜率为K,直线BC的斜率KBC==—1,………………2分

0—3

由KBC.K=—1,得K=1,…………………4分

所以y—2=1×(x—2),即所求直线的方程为x—y=0.………………6分

1—2

(2)直线AB的斜率KAB==—1,设直线AB的倾斜角为α,则tanα=—1,……9分

3—2

又0。≤α<180。,所以α=135。,…………………………10分

。。

135。

由题意知所求直线的倾斜角为=45,故所求直线的斜率为tan45=1,………11分

3

所以y—1=1×(x—3),即x—y—2=0.………………13分

16.解:(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1丄AB,AA1丄AC,又AB丄AC,故以A为坐标原点,直线AB,AC,AA1分别

为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示),则A(0,0,0),

A1(0,0,b),E(a,0,F(0,a,,……………2分

——→——→——→

所以AE=(a,0,,AF=(0,a,,A1E=(a,0,—,

——→

AF1=(0,a,—.…………………3分

—→

(n1.AE=0,

设平面AEF的一个法向量1=(x1,y1,z1),则〈

n—→

!n1.AF=0,

(ax1十z1=0,

即〈令z1=3a,解得x1=—b,y1=—2b,所以n1=(—b,—2b,3a),…………………5分

2b,

!ay1十3z1=0

【高二期中学业水平测试.数学试卷参考答案第2页(共4页)】ZZ

(

—→a父2—z2=0,

(n2.A1E=0,

即〈令z2=3a,解得父2=2b2=b,所

设平面A1EF的一个法向量n2=(父2,y2,z2),则〈,y

—→b

!n2.A1F=0,2

ay—z2=0,

!3

以n2=(2b,b,3a),………………………8分

因为平面AEF丄平面A1EF,所以n1丄n2,

222

所以n1.n2=0,即—2b—2b十9a=0,

a2

所以λ==…………………………10分

b3.

1—→

(2)当=时,b=3a,结合(1),得AE=(a,0,a),n2=(6a,3a,3a),………………12分

λ3

设直线AE与平面A1EF所成角为θ,

——→2

AE.2

—→n9a\

所以sin=cos〈AE,2〉=—→==,………14分

θn—2

AEn2\2a×3\6a

又θ∈[0,所以θ=.……………15分

17.解:(1)由椭圆的定义知,2a=8,:a=4,

\

又“椭圆的离心率e==,:c=2\,……………2分

:b2=a2—c2=16—12=4,

父2

:椭圆C的标准方程为十=1.……………………5分

16

父2

(2)“M(2,1)为椭圆十=1内一点,:直线l与椭圆必交于A,B两点.………6分

16

设A(父1,y1),B(父2,y2),当父1=父2时,不合题意,故父1≠父2,

“M(2,1)为线段AB的中点,………8分

22

父11

(十y=1,

164

又“A,B均在椭圆上,:〈…………………9分

22

父22

十y=1

,

!164

2222

父1—父2y1—y1(父1十父2)(父1—父2)(y1十y2)(y1—y2)

两式相减,得十=0,即=—,……………11分

164164

4(父1—父2)1—2

:=—,:=—,即KAB=—,……………………13分

161—2

1

:直线l的方程为y—1=—(父—2),即父十2y—4=0.……………15分

2

18.(1)证明:以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为父,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),

\\

B1(1,0,\),C(1,\,0),E(0,,\),F(0,\,).

—→—→

设平面B1AC的一个法向量为n=(父,y,z),又AB1=(1,0,\3),AC=(1,\3,0),所以

——→

(n.AB1=父十\z=0,

令父=3,解得y=z=—1,所以平面B1AC的一个法向量为=

〈—→\n

!n.AC=父十\y=0,

(\,—1,—1),…………2分

—→—→\\

又EF=(0,\,—\),所以EF.n=—十=0,…………………4分

又EF丈平面B1AC,所以EFⅡ平面B1AC.……………6分

【高二期中学业水平测试.数学试卷参考答案第3页(共4页)】ZZ

——→—→——→

(2)解:由(1)知AB=1AC=10AE=\

1(,0,\),(,\,),(0,,\).

(—→

m●AC=a十\b=0,

设平面EAC的一个法向量为m=(a,b,c),所以〈令b=—2,解得a=2\,c=1,所以平面

●——→\,

!mAE=b十\c=0

EAC的一个法向量为m=(2\,—2,1),………………8分

所以点B1到平面EAC的距离d

3\

即点B1到平面EAC的距离为…………………12分

17.

(3)解:由(1)知平面B1AC的一个法向量为n=(\,—1,—1),由(2)知平面EAC的一个法向量为m=

(2\,—2,1),设二面角EACB1的大小为θ,

617

又cosθ=cos〈m,n〉===,……15分

\3十1十12十4十15

66

所以sin==,即二面角EACB1的正弦值为.………17分

θ\55

2222

19.解:(1)ΘO1:父十y—6父十5=0可化为(父—3)十y=4,圆心O1(3,0),半径r1=2.……………1分

设过P且与圆O1相切的直线为l,

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为父=5,此时直线l与ΘO1相切,符合题意.……………2分

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y十1=k(父—5),即k父—y—5k—1=0,

3—5k—1'

因为直线l与ΘO1相切,所以=2,解得k=,…………4分

k2十1

315

所以直线l的方程为父—y——1=0,即3父—4y—19=0.............................................................................................5分

44

综上所述,直线PA与PB的方程为父=5或3父—4y—19=0.............................................................................................6分

(2)PA=\=\=1,所以PB=PA=1,…………7分