2.1.1+倾斜角与斜率课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1倾斜角与斜率第二章

直线和圆的方程【课标要求】

(1)了解直线的斜率和倾斜角的概念．(2)理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．(3)了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．【任务清单】

(1)什么是直线的斜率和倾斜角的概念？(2)两点间的斜率公式是什么？（3）如何用直线的倾斜角求直线的斜率？课前检测(2)正切函数的定义Oxy

P(x,y)tana=

0

1

-1

我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.思考：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l（如右图），如何利用坐标系确定它的位置？OxylOxyAB基本事实：两点确定一条直线；

两点确定一条直线⇔一点和一个方向确定一条直线；结论：一点和一个方向确定一条直线.思考：①经过一点

P

有多少条直线？②它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？无数条Oxyα3α2α1l1l2l3l'Pα'规定：在平面直角坐标系中，水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向。区别：各直线相对于x轴的倾斜程度不同；即直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同.探索新知当直线

l与

x轴相交时，我们以

x轴为基准，x轴正向与直线

l向上的方向之间所成的角

α叫做直线

l的倾斜角．Oxyα3α2α1l1l2l3l'Pα'图中直线

l1的倾斜角

α1

为锐角，直线

l'

的倾斜角

α'

为钝角.

你认为直线的倾斜角的取值范围是什么？

探索新知在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等；因此，可用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.思考：直线

l的倾斜角

α与

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)有什么内在联系?探索新知

探索新知

探索新知(3)一般地，如果直线

l经过两点

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么

α与

P1，P2的坐标有什么关系？

探索新知

探索新知思考：当直线

P1P2

与

x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

综上可知，直线

l的倾斜角

α与直线

l上的两点

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1

x2)的坐标有如下关系：

一条直线的倾斜角

α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母

k表示，即

k＝tanα．日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：.当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.

水平宽度铅直高度α探索新知当

x1＝x2时，直线

l倾斜角为

90o，

无意义，直线斜率不存在.

探索新知

k＝tanα数形我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于

x

轴的倾斜角.过两点的斜率公式探索新知思考：(1)已知直线上的两点

A(a1，a2)，B(b1，b2)，运用上述公式计算直线

AB的斜率时，与

A，B两点的顺序有关吗？(2)当直线平行于

y轴，或与

y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？(1)

计算直线

AB的斜率时，与

A，B两点的顺序无关，可以写为(2)当直线平行于

y轴或与

y轴重合时，上述公式不适用，此时，两点的横坐标相等，分母为零无意义.

若直线

l的斜率为

k，它的一个方向向量的坐标为

(x，y)，则

k＝

.

Oxyl

例：1.下图中α能表示直线l的倾斜角的是(

)A．①

B．①②

C．①③

D．②④C

C

C

120°典型例题例

如图，已知

A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线

AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．例.直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________________.斜率k1，k2，k3的大小关系为______________，k1>k2>k3α3>α1>α2练习（作业）（课本P55）

3.求经过下列两点