2025年江苏省无锡市厚桥中学中考数学模拟试卷

第1页（共1页）2025年江苏省无锡市厚桥中学中考数学模拟试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）﹣24的倒数是（）A． B． C．24 D．﹣242．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣2a）2＝4a2 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2b﹣a2b＝34．（3分）下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）分式方程的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝36．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是07．（3分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，二元一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便（如图1、图2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组的解为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，CE＝2DE，则CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．49．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，M是BC上一点，且BM＝2CM，过M作MF∥AD交AC于F，则FC＝（）A．3 B． C．4 D．10．（3分）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3）（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤at2+bt≤a+b，其中t为任意实数；其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③⑤二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）央视2月8日报道，除夕夜春晚直播期间的观众总规模达10.33亿，10.33亿用科学记数法表示为．12．（3分）因式分解：xy2﹣2xy+x＝．13．（3分）如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，则点B的对应点D的坐标是．14．（3分）农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC上任一点，连结AD，若DE∥AC，则AD的长为．16．（3分）当x＝时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值．17．（3分）（1）如图，已知A（4，4），B（1，2），将线段AB向左平移若干个单位长度后，B恰好同时落在反比例函数的图象上．（2）辅助设问设线段AB向左平移了x个单位长度，则A'（，），B'（，），∴可列方程：．18．（3分）如图，平面直角坐标系中，直线，，点E在线段AB上，点F在A右侧的x轴上，则∠PAF＝°；连接EF，则EF的最小值＝．三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（9分）（1）计算：；（2）化简：．20．（9分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；（2）解不等式组：．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△BEO≌△DFO；（2）若CD＝10，AD＝8，OE＝322．（9分）联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：（1）此次调查的样本容量是，并补全条形统计图；（2）抽取的样本中，测试成绩的众数是分，中位数是分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为；（3）已知该校七、八年级共有学生1040人，若竞赛成绩在85﹣95（含85分和95分）分视为“成绩良好”23．（9分）端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，且每项活动被选择的可能性均相同．（1）该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是；（2）该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法24．（9分）如图，在正方形ABCD中，点F是CD上的一点，连接EF．（1）请用无刻度的直尺及圆规，在AD上找一点G，使∠AGE＝2∠CEF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若CF＝2DF＝8．25．（9分）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？26．（9分）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，直线DB⊥CF于点E．（1）求证：∠ABD＝2∠CAB；（2）若，且，求BF的长．27．（12分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容．如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折．设折痕为MN；如图（2），得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上（1）求证：△PBE∽△QAB．（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似【问题解决】（1）对教材中的第一问写出证明过程．（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似【结论应用】在图（2）的基础上，将纸片ABCD按图（3），恰好点C落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝2．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点（﹣1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积．①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y＝x对称；②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．

2025年江苏省无锡市厚桥中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案B．DADDBBDCD一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）﹣24的倒数是（）A． B． C．24 D．﹣24【解答】解：﹣24的倒数是﹣．故选：B．2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意知，x+2≥0且x+8≠0．解得x≥﹣2．则x的取值范围在数轴上表示为：．故选：D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣2a）2＝4a2 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2b﹣a2b＝3【解答】解：（﹣2a）2＝5a2，则A符合题意，a8÷a4＝a4，则B不符合题意，（a+b）2＝a8+2ab+b2，则C不符合题意，7a2b﹣a2b＝3a2b，则D不符合题意，故选：A．4．（3分）下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形既是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．5．（3分）分式方程的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝3【解答】解：去分母，得：x﹣6＝﹣1﹣2（x﹣2），去括号，得：x﹣6＝﹣8﹣2x+4，移项、合并同类项，解得：x＝5，经检验：x＝3是原方程的解，所以，原方程的解为x＝3，故选：D．6．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0【解答】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，7，8，9，7，9，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，不符合题意；B、这组数据中众数为9，符合题意；C、这组数据平均数为，不符合题意；D、这组数据的平均数为8.375，该选项错误；故选：B．7．（3分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，二元一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便（如图1、图2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组的解为（）A． B． C． D．【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，，把代入得，，由③得，m＝5，把m＝5代入④得，12+5a＝27，∴a＝3，故选：B．8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，CE＝2DE，则CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．4【解答】解：方法一、连接CO，连接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝3DE，设GE＝x，则OE＝2x，∴AG＝6﹣6x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△DGB，∴DG8＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞4，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，方法二、∵∠CDB＝∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴BC2＝CE×CD，设DE＝x，则CE＝5x，∴（6）2＝2x×3x，∵x＞7，∴x＝2，∴CE＝8，故选：D．9．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，M是BC上一点，且BM＝2CM，过M作MF∥AD交AC于F，则FC＝（）A．3 B． C．4 D．【解答】解：如图，延长FM到N，连接BN，∵BM＝2CM，∵∠BMN＝∠CMF，∴△BMN∽△CMF，∴BN＝2CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝6FC，∴FC＝（AB+AC）＝7．故选：C．10．（3分）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3）（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤at2+bt≤a+b，其中t为任意实数；其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③⑤【解答】解：由抛物线对称轴为直线，从而b＝﹣2a，故①正确；抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，c＞4，因而abc＜0；方程ax2+bx+c＝4从函数角度可以看作是与直线y＝4求交点，抛物线顶点为（1，则抛物线与直线有且只有一个交点2+bx+c＝2有两个相等的实数根，故③正确；由二次函数的对称性以及抛物线与x轴的一个交点B（4，0），7）；因为x＝1时，y1有最大值，所以a+b+c≥at2+bt+c，即at2+bt≤a+b（t为任意实数），故⑤正确．综上，正确的有①③⑤．故选：D．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）央视2月8日报道，除夕夜春晚直播期间的观众总规模达10.33亿，10.33亿用科学记数法表示为1.033×109．【解答】解：10.33亿＝1.033×109，故答案为：6.033×109．12．（3分）因式分解：xy2﹣2xy+x＝x（y﹣1）2．【解答】解：xy2﹣2xy+x＝x（y2﹣2y+1）＝x（y﹣3）2，故答案为：x（y﹣1）5．13．（3分）如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，则点B的对应点D的坐标是（6，2）．【解答】解：在y＝﹣2x+4中，当x＝2时，当y＝0时，∴A（2，8），4），∴OA＝2，OB＝4，由旋转的性质可得CD＝OB＝4，AC＝OA＝2，∴D（8+2，2），3），故答案为：（6，2）．14．（3分）农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是68πm2．【解答】解：塑料膜的面积＝2π×32+π×（4÷2）2÷2×6＝64π+4π＝68πm2．故答案为：68πm5．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC上任一点，连结AD，若DE∥AC，则AD的长为．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BF＝CF＝＝7，Rt△ABF中，AF＝，由对称得：∠B＝∠AED，∠BAD＝∠EAD，∵DE∥AC，∴∠AED＝∠CAE，∴∠CAE＝∠B，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CAD＝∠CAE+∠EAD，∴∠ADC＝∠CAD，∴CD＝CA＝5，∵BD＝BC﹣CD，∴BD＝6﹣7＝1，∴DF＝BF﹣BD＝3﹣8＝2，Rt△ADF中，AD＝＝．故答案为：．16．（3分）当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣6x+6有最小值5．故答案为：3、5．17．（3分）（1）如图，已知A（4，4），B（1，2），将线段AB向左平移若干个单位长度后，B恰好同时落在反比例函数的图象上﹣12．（2）辅助设问设线段AB向左平移了x个单位长度，则A'（4﹣x，4），B'（1﹣x，2），∴可列方程：4（4﹣x）＝2（1﹣x）．【解答】解：（1）设线段AB向左平移了x个单位长度，则A′（4﹣x，B′（1﹣x，∵将线段AB向左平移若干个单位长度后，点A的图象上，∴可列方程：k＝4（4﹣x）＝8（1﹣x），解得x＝7，k＝8（4﹣x）＝4×（5﹣7）＝﹣12，故答案为：﹣12；（2）由（1）可知：4﹣x，7，1﹣x，2．故答案为：4﹣x，4，1﹣x，6．18．（3分）如图，平面直角坐标系中，直线，，点E在线段AB上，点F在A右侧的x轴上，则∠PAF＝60°；连接EF，则EF的最小值＝．【解答】解：过点P作PH⊥x轴于点H，连接PB，由条件可知H（3，0），∴，对，令y＝0，则，解得x＝1，∴A（4，0），∴AH＝3﹣6＝2，∴，∴∠PAF＝60°；对，令x＝0，则，∴，∴，∴，∴∠BAO＝60°，∴∠BAP＝180°﹣∠BAO﹣∠PAF＝60°，∴∠BAP＝∠PAF＝60°，∵，∴AB＝AH，∵AP＝AP，∴△ABP≌△AHP（SAS），∴PB＝PH，∠ABP＝∠AHP＝90°，∴∠ABP+∠AHP＝180°，∴∠BAH+∠BPH＝180°，∴∠BPH＝∠BAO＝60°，∴∠BPH＝∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠EPH＝∠HPF+∠EPH＝60°，∴∠BPE＝∠HPF，∴△PBE≌△PHF（ASA），∴PE＝PF，∴△PEF是等边三角形，∴EF＝PF，∵，∴EF的最小值为．故答案为：60；．三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（9分）（1）计算：；（2）化简：．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝a+2．20．（9分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，Δ＝b2﹣3ac＝（﹣4）2﹣7×1×（﹣1）＝20，∴，∴，；（2），解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得x＞﹣2．∴不等式组的解集为﹣8＜x≤1．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△BEO≌△DFO；（2）若CD＝10，AD＝8，OE＝3【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，∴AB∥CD，OB＝OD，∴∠OEB＝∠OFD，在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（AAS）．（2）解：由（1）得△BEO≌△DFO，∴OE＝OF＝3，BE＝DF，∴EF＝2OE＝5，∵CB＝AD＝8，CD＝10，∴BE+CF＝DF+CF＝CD＝10，∴EF+BE+CF+CB＝6+10+6＝24，∴四边形BEFC的周长为24．22．（9分）联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：（1）此次调查的样本容量是80，并补全条形统计图；（2）抽取的样本中，测试成绩的众数是90分，中位数是92.5分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为27°；（3）已知该校七、八年级共有学生1040人，若竞赛成绩在85﹣95（含85分和95分）分视为“成绩良好”【解答】解：（1）24÷30%＝80（人），80﹣8﹣6﹣24﹣16＝26（人），故答案为：80，补全条形统计图如图所示：（2）这80名学生成绩出现次数最多的是90，因此众数是90分，将这80名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是90分和95分，因此中位数是92.3分，α＝°＝27°，故答案为：90，92.5；（3）样本中“竞赛成绩在85﹣95”所占得百分比乘1040可得：1040×＝728（人），答：该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有728人．23．（9分）端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，且每项活动被选择的可能性均相同．（1）该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是；（2）该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法【解答】解：（1）她选择的是包粽子的概率是 ，故答案为：；（2）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中是包粽子和做香包的情况有1种，∴P（包粽子和做香包）＝．24．（9分）如图，在正方形ABCD中，点F是CD上的一点，连接EF．（1）请用无刻度的直尺及圆规，在AD上找一点G，使∠AGE＝2∠CEF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若CF＝2DF＝82.5．【解答】解：（1）点G即为所求；（2）延长EF交AD的延长线于点H，过点G作GM⊥BC于点M，∵CF＝2DF＝8，∴CD＝DF+CF＝2+8＝12，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝12，AD∥BC，∵点E是BC的中点，∴，∴△DHF∽△CEF，∴，∴， 设AG＝x，则DG＝12﹣x，∴GH＝DG+DH＝12﹣x+3＝15﹣x，∵AD∥BC，∴∠GHE＝∠CEF， 由（1）可知，∠GEF＝∠CEF，∴∠GEF＝∠GHE，∴GE＝GH＝15﹣x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∵GM⊥BC，∴∠GMB＝90°，∴∠A＝∠B＝∠GMB＝90°，∴四边形ABMG是矩形，∴GM＝AB＝12，BM＝AG＝x，∴ME＝BE﹣BM＝6﹣x，∴123+（6﹣x）2＝（15﹣x）3，解得x＝2.5，即AG＝6.5．故答案为：2.2．25．（9分）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元．则有解得．答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元．（2）设花费w元，购买B种奖品（60﹣a）个．∵a＞7（60﹣a），∴a＞40．w＝24a+16（60﹣a）＝8a+960．∵8＞3，∴w随a的增大而增大．由题知a为正整数，∴a取最小值41时，w有最小值．60﹣a＝19．答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少．26．（9分）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，直线DB⊥CF于点E．（1）求证：∠ABD＝2∠CAB；（2）若，且，求BF的长．【解答】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠1，∴2∠CAB＝∠6＝∠CAB+∠1，∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C，∴OC⊥CF，∵DB⊥CF，∴OC∥DB，∴∠ABD＝∠2，∴∠ABD＝4∠CAB；（2）∵∠ACD，∠ABD为，∴∠ACD＝∠ABD，∴．连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴，∴，∴，∴OB＝OC＝3，∵，∴设EF＝4x，BE＝2x，∵BE⊥CF，OC⊥CF，∴OC∥BE，∴△BEF～△OCF，∴，∴，7x（3+5x）＝6×5x，9x+15x3＝15x，﹣6x+15x2＝8，∴，∴BF＝6x＝2．27．（12分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容．如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折．设折痕为MN；如图（2），得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上（1）求证：△PBE∽△QAB．（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似【问题解决】（1）对教材中的第一问写出证明过程．（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似【结论应用】在图（2）的基础上，将纸片ABCD按图（3），恰好点C落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝22﹣2．【解答】【问题解决】：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠EBA＝90°，∴∠EBP+∠ABQ＝90°，∵点D、Q、A共线，∴∠AQB＝90°，∴∠ABQ+∠BAQ＝90°，∴∠EBP＝∠BAQ，∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB；（2）解：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图（2）所示，则AB＝2QF＝2BF．由题意得AB＝PQ＝4BQ，∴QF＝BF＝BQ，∴△FBQ为等边三角形，∴∠ABQ＝60°，∵∠BQA＝90°，∴∠BAQ＝30°，由翻折可知．∠EAB＝，∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°，∴∠EBP＝30°