高考数学 一轮复习 第4章 §4.4　简单的三角恒等变换

第四章§4.4

简单的三角恒等变换考试要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝

.(2)公式C2α：cos2α＝

＝

＝

.(3)公式T2α：tan2α＝

.2.常用的部分三角公式(1)1－cosα＝

，1＋cosα＝

.(升幂公式)(2)1±sinα＝

.(升幂公式)(3)sin2α＝

，cos2α＝

，tan2α＝

.(降幂公式)2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(

)(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(

)√×√√√√又cos2<0，所以可得选项D正确.√TANJIUHEXINTIXING探究核心题型题型一三角函数式的化简√√教师备选由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，又因为α∈(0，π)，所以sinα>0，－cosθ因为0<θ<π，所以原式＝－cosθ.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.√∴sin2＋cos2>0，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∴cos2<0，√题型二三角函数式的求值√命题点1给角求值(2)cos20°·cos40°·cos100°＝

.cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°命题点2给值求值√√命题点3给值求角因为α为锐角，所以0<2α<π.教师备选√√因为A为钝角，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB所以A＋B∈(π，2π)，由题意可得根据同角三角函数基本关系式，由两角差的正弦公式，可得思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值.√由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.√题型三三角恒等变换的综合应用教师备选由题意得cos2θ＝cos2θ－sin2θ思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝

sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.KESHIJINGLIAN课时精练基础保分练12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α)12345678910111213141516√√√1234567891011121314151612345678910111213141516√√123456789101112131415162sin195°cos195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin15°cos15°＝sin30°＝

，故C正确；12345678910111213141516123456789101112131415168123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516设∠PAB＝α，连接PB.∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°.又AB＝1，∴PA＝cosα，PB＝sinα.∵PC是圆的切线，∴∠BPC＝α.又PC＝1，∴S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516技能提升练√12345678910111213141516因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516由任意角的三角函数的定义得，sinα＝b，cosα＝a.12345678910111213141516∵tanα＝tan[(α－β)＋β]123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓展冲刺练123456789101112131415162因为f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x>－1，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin2x(x>－1)与y＝|ln(x＋1)|(x>－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.1234567891011121314151616.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？1234567891011121314151612345678910111213141516如图，连接OB，设∠AOB＝θ