高考数学二轮复习专题五概率与统计第4讲概率与统计的创新题型含答案及解析

I专题突破

专题五概率与统计

第4讲概率与统计的创新题型（新高考专用）

【考点一】概率和数列的综合问题...........................................................2

【考点二】概率和函数的综合问题...........................................................4

【C题精练】…….6

考情分析:

概率与统计问题在近几年的高考由背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅

读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、

各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.

■真题自测

一、解答题

1.（2023•全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若

末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率；

⑵求第/次投篮的人是甲的概率；

⑶已知：若随机变量七服从两点分布，且户口=1）=1—P（X,=0）=分i=l,2,则=记

11-1）/-I

前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为y,求臼丫）.

2.（2021•全国•高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第。代，

经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代......，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相

同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X=/）=pj（/=0,l,2,3）.

（1）已知％=04Pi=。3〃2=。2〃3=0.1,求E（X）；

（2）设〃表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于大的方程：PO+/MTP2/+P/3=*的

一个最小正实根，求证：当七（X）K1时，p=l,当E（X）>1时，p<\.

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

■考点突破

【考点一•】概率和数列的综合问题

一、单选题

1.（2024・山东聊城•三模）设正项数列也｝的前〃项和S”满足25,t=4：+表示从〃个不同元素中任取加

10

个元素的组合数，则（）

k=\

A.512B.1024C.5120D.10240

2.（2024・四川成都•模拟预测）已知数列｛q｝共有9项，4=1,《+%=2%,且满足：

+%-2可和-3可+3%+2=0（2+/IK9,则符合条件的数列｛4｝共有（）个.

A.16B.40C.70D.80

二、多选题

3.（2024・河南信阳•模拟预测）甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一

个球交换放入另一口袋，重复进行，次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X”，恰有1个黑球的概

率为2,下列说法正确的是（）

B-P（X=2）=\

A.6=—

19

C.数列是等比数列D.X”的数学期望E（X〃）=1

4.（2024•福建泉州•模拟预测）已知随机变量X的分布列如下:

X123・・・〃

PP24・・・2

若数列优｝是等差数列，则（）

A.若〃为奇数，则/B.巴二上必

I2；nn

C.若数列｛舄单调递增，则叫<1D.E（X）=（〃+.（4-明）

6

三、填空题

5.（2024•江西•一模）斐波那契数列（Fibonaccisequence）,又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契

（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列〃，指的是这样一个数列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：

«（）=I,=1,an=aft_t+an_2（n>2,??cN*）,/I=｛«,,A且3*0中，则3中所有元素之和为奇数

的概率为—.

四、解答题

6.（2025・广东广州•模拟预测）已知有穷数列｛6｝的通项公式为%=〃（〃cN'）,将数列｛%｝中各项重新排列

构成新数列仇｝,则称数列也｝是｛叫的"重排数列";若数列也｝各项均满足数工％,则称数列也｝是｛4｝

的“完全重排数列〃，记项数为〃的数列｛〃"｝的”完全重排数列”的个数为2.

⑴计算2，。3,2；

⑵写出。向和2，。小（〃之2）之间的递推关系，并证明：数列｛&-3-｝（〃之2）是等比数列；

⑶若从数列｛4｝及其所有“重排数列〃中随机选取一个数列｛5｝,记数列｛qj是几｝的"完全重排数歹旷的概率

为匕，证明：当〃无穷大时，2趋近于l.（参考公式：er=l+.r+—+—+•••+—+……）

e2!3!nl

规律方法：

榻率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：

（I）求通项公式：关键是找出概率P”或均值七（X〃）的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出

通项公式.

（2）求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、整项相消法求和.

（3）利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.

【考点二】概率和函数的综合问题

一、单选题

1.（2024・浙江•三模）定义函数集

A=｛〃（x）|〃（x）=/（r）位〃（x）,14/iy4//eN+,且iwj,其中③为加、减、乘、除四种运算｝.已知函数

工（"=以6"）=：，力卜）=扬1f4（x）=42\nx.若函数则在g（x）为奇函数的条件下，g（x）

存在单调递减区间的概率为（）

23…31

A.-B.-C.—D.—

38166

2.（2024•河南•三模）有以下6个函数：①小）=&-4+A/^7；②/（x）=L③/'（x）=siM；④

X

/（X）=COS2A-；⑤/（同=手；⑥/（x）=2x+3.记事件M：从中任取1个函数是奇函数；事件N：从中

任取1个函数是偶函数，事件MW的对立事件分别为后,N,则（）

A.P（M）=P（M+N）-P（N）

B.P（MN）=P（M）P（N）

C.P（M+N）=P（X?）+P俨）

D.P（M\N）=P（M\N）

二、填空题

3.（23-24高三上•河北邢台,开学考试）欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到

欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数。（〃）的函数值等于所有不超过正整数〃，且与〃互素（两个数只有

公约数1）的正整数的个数.例如:夕⑴=1,妫4）=2.现从。⑴，仍⑵,仪3）,…，*00）中任选两个数,则这

两个数相同的概率是.

4.（23-24高二上•福建泉州•阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子〃

的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数y=b］（xeR）称为高斯函

2024"+202软

数，其中卜］表示不超过、的最大整数.设s-Z,贝Ijs除以2023的余数是

(-1/-2023

三、解答题

5.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02,现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，

筛查出该种疾病携带者.

⑴若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为

0.05.

①求检测结果显示患有该疾病的概率；

②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）

⑵若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按女人一组分组，然后将2个人的血样混合再化验，

如果混合血样呈阴性，说明这攵人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化给一次（每一

小组都要按要求独立完成），攵取何值时，总化验次数最少？

说明：函数/*）=』-0.98,3>0）先减后增.

X

0.9860.9870.988OH

0.88580.86810.85080.8337

6.（2024・广东•一模）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒"，焊接是否成功直接导

致产品"合格〃与“不合格〃，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有

明显差异，得到如下的“不合格〃产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

个频率/组距木频率/组距

嬲

OOM卜1~111t

O8090100110120指标O60708090100指标

不合格产品合格产品

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值火，将该指标大三攵的产品判定为“不合格”，小于或等于k的

产品判定为“合格〃.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为/伏）；错检率

是将“合格”产品判定为"不合格〃产品的概率，记为g（A）.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作

为相应事件发生的概率.

⑴当漏检率/0）=2.8%时，求临界值2和错检率g（A）；

（2）设函数〃㈤=/（A）+g⑻,当问80,100］时,求力㈤的解析式,并求人⑻在区间［80,100］的最小值.

规律方法：

构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.

专题精练

一、单选题

1.（2024•福建三明•三模）随机变量g~N（小，），函数/（x）=V-4x+J没有零点的概率是;，则〃的值为

（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2024・湖南常德•一模）将三个分别标注有elx,J的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.

Inx

无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为/（x）,g（x）.若M"=f（x）g（x）,则

/?⑴在X£（0,l）上单调递减的概率为（）

1212

A.-B.—C•一D.一

6933

3.（2024・四川成都•模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算

速度和准确度.已知M={1,3},N={1,3,5,7},若从集合M,N中各任取一个数斯户则log,（移）为整数的

概率为（）

I214

A.—B.-C.—D.一

4525

4.（2024•安徽•模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，

以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量〃进制随机数据中，以〃开头的数出现的概

率为％（〃）=log〃四，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律

来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若£&（〃）=粤"（ZeN'，k>4）,则k的值为

/I=4In2+In5

（）

A.11B.15C.19D.21

5.12024•河南•二模）单调递增数列｛qr｝满足：吗=1.在q=8的条件下，生+4=2%的概率为（）

1321

A.-B.—C.-D.-

51052

6.（23-24高三下•云南•阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流

行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，

甚至对心理健康产生了不可忽视的影响."预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实

问题."某款网络游戏的规则如下：参与者每•局需投•枚游戏币，每局通关的概率为50%,若该局通关，参

与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：•种是手中没有游戏币；•种是手中游戏币到预

期的N个.设当参与者手中有〃个（0W〃WN）游戏巾时，最终手中没有游戏币的概率为尸（〃），下列说法

错误的是（）

A.P（0）=I,P（N）=0

B.记乂=参与者通关的局数，在前13局中，E（X）=6.5,D（X）=3.25

C.*〃+1）="（〃）+）（〃-1）

4

D.若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为《

7.（24-25高三上•福建•开学考试）某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，

没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为卡，第

二个月为《，第三个月为：，则平均每个人摇上需要的时间为（）个月.

9o

A.7B.8C.9D.10

8.（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）己知A细胞有0.4的概率会变异成8细胞，0.6的概率死亡；8细胞

有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次.下列结论成立的是（）

A.一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75

B.一个细胞为A细胞，其死亡前是8细胞的概率为0.2

C.一个细胞为8细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35

D.一个细胞为U细胞，其死亡前是〃细胞的概率为0.7

二、多选题

9.（2024・广西来宾•一模）甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将

球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过〃次传球后，球在甲手中的概率为匕（几=1,2,…），则下列结

论正确的是（）

A.经过一次传球后，球在丙中概率为:

4

2

B.经过两次传球后，球在乙手中概率为可

7

C.经过三次传球后，球在丙手中概率为万

D.经过〃次传球后，匕=;

10.（2024•全国•模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人

中的任何一人是等可能的.假设第1次由甲将球传出，第女次传球后，球回到甲处的概率为生（ZeN*）,

则（）

1,1

A.p=~B.p>pC./入+2o/K=1D.p>-

24y415J

11.（22・23高二下・贵州贵阳•阶段练习）甲、乙、丙、丁4人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机

传问另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假

设传出的球都能接住.记第〃次传球之前球在甲手中的概率为片，易知6=1.6=。.下列选项正确的是（）

A.

6

B.1e一；｝为等比数列

C.设笫〃次传球之前球在乙手中的概率为"”，匕<凡2

D.第4次传球后，球落在乙手中的传球方式有20种

三、填空题

12.（2024•北京海淀•一模）一维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款

由个黑白方块构成的〃x〃二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒

能随机生成*个不重复的二维码，为确保一个〃X〃二维码在1分钟内被破译的概率不高于，，则〃的最小

值为.

13.（2024•江苏连云港•模拟预测）已知某公司加工一种芯片的不合格率为p,其中。若加工后的30

颗这种芯片中恰有6颗不合格的概率为了（〃），且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当/（〃）取最大值

时，p=.

14.（22-23高二下•北京丰台•期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次

投掷结果是正面的概率为〃（（）<P<1）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的

概率为了（P），则/（〃）=;函数/（P）取最大值时，P=.

四、解答题

15.（2024•浙江•三模）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校

进行军训打靶竞赛.规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、己知甲选手第一枪击

2

中靶心的概率为5，且满足：如果第〃次射击击中靶心概率为p,那么当第〃次击中靶心时，第〃+1次击中

靶心的概率也为p,否则第〃十1次击中靶心的概率为.

⑴求甲选手得分X的分布列及其数学期望；

⑵芍如下定义：设X是一个随机变量，工是任意实数，函数尸（x）=WX4x）,xeR称为X的分布函数，

对于任意实数4，4于气），有尸（N<XWx2）=P（XW』）-P（XWxJ=—X2）-尸（%）.因此,若已知X

的分布函数，我们就知道X落在任一区间（8,$]上的概率.

（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；

（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选

手肘击都能中靶，以y表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量丫的分布函数.

16.（2024•福建龙岩•三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个

层级，分别对应如下五组质量指标值：145,55）,[55,65）,[65,75）05,85）,[85,95].根据长期检测结果，得到芯片

的质量指标值X服从正态分布并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其它产品称为A等

品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

⑴根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差$的近似值为口，用样本平均数工作为〃的近似值，用

样本标准差S作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面

两位有效数字)：

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若陵机变量4服从正态分布NJ,"),则

P卬一(7<&<〃+b)uO.6827,P(〃-2bv£v//+2(T)«0.9545,尸(〃一3b<歹v〃+3(T)=0.9973.)

(2)(i)从样本的质量指标值在［45.55)和［85,95］的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在［85,95］的芯

片件数为"，求〃的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一性A等品芯片

的利润是〃?(1V〃?<24)元，一件8等品芯片的利润是ln(25-m)元，根据⑴的计算结果，试求用的值，使得

每箱产品的利润最大.

17.(2024・贵州遵义•二模)商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参

加抽奖活动.规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球

的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持

有分数变为。分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束.

⑴求顾客3次取球后持有分数丫的数学期望石(丫)；

(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为〃分最终获得一等奖的概率为2(〃=0，1,45)；

①证明：｛勺｝是等差数列；

②求顾客获得•等奖的概率.

18.(2024•四川南充,一模)今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，

主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在

太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内

游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和3两个套餐服务，顾客可自由选择A和4两个套餐之一；该游

泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.

星期/123456

销售量y(张)21822423023223690

经计算可得：y=1Sz=205,f0;=4004,Xr=9i.

bf=li=li-l

⑴因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔

除周六数据，求,关丁/的经验回归方程；

12

⑵若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为g，选择B套餐的概率为:，并且A套餐包含两张优惠券，8

JJ

套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为〃张的概率为匕，求匕；

⑶请依据下列定义，解决下列问题：

定义：如果对于任意给定的正数£,总存在正整数N。，使得当〃〉N）时，|&-4<£（〃是一个确定的实数）,

则称数列/收敛于a

运用：记（2）中所得概率巴的值构成数列｛号（〃eN）求4的最值，并证明数列｛用收敛.

‘ZG-可（M-反）

b=亘

xJ2

Z（r-）fx”位2A

参考公式：心a=y-bx

I专题突破

专题五概率与统计

第4讲概率与统计的创新题型（新高考专用）

【考点一】概率和数列的综合问题...........................................................5

【考点二】概率和函数的综合问题...........................................................12

【C题精练】…….18

考情分析:

概率与统计问题在近几年的高考由背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅

读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、

各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.

■真题自测

一、解答题

1.（2023•全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若

末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率；

⑵求第/次投篮的人是甲的概率；

⑶已知：若随机变量七服从两点分布，且户口=1）=1—P（X,=0）=分i=l,2,则E性%]=之％.记

前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为y,求臼7）.

2.（2021•全国•高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第。代,

经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代......，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相

同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下〜代的个数，P（X=/）=pj（/=0,l,2,3）.

（1）已知〃o=0・4,Pi=。♦3,〃2=。2〃3=0.1,求E（X）；

（2）设〃表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于大的方程：PO+/MTP2/+P/3=r的

一个最小正实根，求证：当七（X）K1时，〃=1,当E（X）>1时，p<\.

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

参考答案:

1.(1)0.6

【分析】（1）根据全概率公式即可求出;

（2）设P（A）=必，由题意可得化〜-0.4〃产0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出;

（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【详解】（1）记“第i次投篮的人是甲〃为事件4,“第，・次投篮的人是乙〃为事件为，

所以,尸（修=P（A员）+P（4员）=2（4）网鸟14）+尸（4）2（即4）

=0.5x（l-0.6）+0.5x0.8=0.6.

（2）设尸（4）一化，依题可知，户（耳）-1一丹，则

HA+J=P（A4+J+Q（8M+J=HA）P（A+JA）+P（4）P（4"BJ，

即pm=0.6pt+（I-0.8）x（1-p.）=0.4R+0.2,

构造等比数列｛〃,+4，

设晶+2=]（p,+2），解得人t，则如—；=即〃厂9，

JJJJ\J/

II1

所

以

又1]2

------4化）是首项为:，公比为:的等比数列,

P1236

3J65

1

即+-.

3

(3)因为pj=\x1|)+g,Z=L2,

J®.

所以当l〃eN♦时,E(y)=〃]+P2+,+P”=\x---+^=得+[，

1-5

故E⑺力5I七f2)Yn

+3,

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数

列的基本知识求解.

2.（1）1：（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）利用公式计算可得E（X）.

（2）利用导数讨论函数的单调性，结合/。）=0及极值点的范围可得/（X）的最小正零点.

（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】(1)£(X)=0x().4+lx0.3+2x0.2+3x0.|=l.

(2)设“力=分“「2炉+(〃|T)x+〃o,

因为“3+P2+P\+“0=】，故/(x)=P3d+P，一(〃2+%+凸)X+Po，

若E(X)W1,则〃I+2〃2+3“3工1，故“2+2〃3工外.

f(X)-3凸1+2p2x-(p2+Po+"J，

因为/'(0)=-(〃2+〃0+P.J<°，/'(I)=〃2+2〃3-〃OW0,

故r(x)有两个不同零点王/2，H.X,<0<1<x2,

且“£(-3)5孙+00)时，r(x)>0；xe(N，w)时，r(x)v0；

故f(x)在(七,X°)上为增函数，在(内,工2)上为减函数，

若莅=1,因为f(x)在(和+QO)为增函数且f(1)=0,

而当xw(0，w)时，因为/(x)在(片,占)上为减函数，故/(">/(七)=/(1)=。，

3

故1为Po+〃]X+PH，+p3x=x的一个最小正实根,

若访>1，因为/⑴=0且在(。,々)上为减函数，故1为Po+PR+P?/+P3r=%的一个最小正实根，

综上，若E(X)«l,则p=l.

若E(X)>1,则〃|+2〃2+3〃3>1,故P2+2〃3>PO.

此时/(0)=一(〃2+〃0+〃3)<0,>/"(1)=〃2+2〃3-%>0,

故f(X)有两个不同零点卬与，且

且J(巧,”)时，/r(x)>0；N£(.q,.0)时，((x)V0：

故f(x)在(-00,%),上为增函数,在(七,七)上为减函数，

而"1)=0,故〃玉)<0,

乂"。)=为>0,故/(X)在(。，％)存在一个零点P，且〃<1.

23

所以〃为Po+P1X+P2X+PyX=X的一个最小正实根,此时P<\,

故当E（X）>1时，p<\.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过

1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

考点突破

【考点】概率和数列的综合问题

—•、单选题

1.（2024・山东聊城•三模）设正项数列｛〃“｝的前〃项和S“满足2S.=d+%,C；表示从〃个不同元素中任取加

10

个元素的组合数，则Z&C：o=（）

k=\

A.512B.1024C.5120D.10240

2.（2024・四川成都•模拟预测）已知数列｛〃”｝共有9项，4=1,4+%=2%，且满足：

a；++3«„_,+2=0（2</?<9,neN"）,则符合条件的数列｛4｝共有（）个.

A.16B.40C.70D.80

二、多选题

3.（2024・河南信阳•模拟预测）甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一

个球交换放入另一口袋，重复进行〃（〃eN'）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X“，恰有1个黑球的概

率为乙，下列说法正确的是（•

A.P,=—

'9

3]

C.数列2-三是等比数列D.X”的数学期望E（X”）=1

4.（2024•福建泉州•模拟预测）已知随机变量X的分布列如下:

X123・・・11

PP26・・・

若数列仍｝是等差数列，则（）

A.若〃为奇数，则"二用二：B.T

C.若数列｛勺｝单调递增，则叫<1D.E（X）=（〃+D[4-明）

三、填空题

5.（2024•江西•一模）斐波那契数列（Fibonaccisequence）,又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契

（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列〃，指的是这样一个数列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：

%=l,q=l,q,=qi+a“_2（〃22,〃£N'）,A=｛4M2，A且0中，则8中所有元素之和为奇数

的概率为.

四、解答题

6.（2025♦广东广州•模拟预测）已知有穷数列｛6｝的通项公式为4=〃（〃£N）,将数列｛%｝中各项重新排列

构成新数列也｝,则称数列出｝是｛4｝的"重排数列"；若数列也｝各项均满足〃工则称数列出｝是应｝

的“完全重排数列〃，记项数为〃的数列｛q｝的“完全重排数歹『'的个数为

⑴计算2，2，Q；

⑵写出。向和2，。"〃之2）之间的递推关系，并证明：数列｛2-〃2/（〃22）是等比数列；

⑶若从数列｛q｝及其所有“重排数列〃中随机选取一个数列｛cn｝,记数列｛cn｝是｛%｝的〃完全重排数歹旷的概率

为2,证明：当〃无穷大时，2趋近于l.（参考公式：er=l+x+—+—+-••+—+……）

e2!3!加

参考答案：

题号1234

答案CCACDACD

1.C

【分析】根据25“=片+《,，利用数列通项和前〃项和的关系求解得q=〃，结合组合数性质〃?£：=〃£：：及

二项式系数和性质即可求解.

【详解】由2s“=4：+《,，当〃=1时，2S]=a；+4，解得q=l,

当心2时,2sl=。"凡一[,则加“=（〃；+%）-（吮+%），

整理（%+a,-）（〃“-，*-1）=。,

又数列｛5｝为正项数列，则。“+4,1＞。，所以q-4一1一1=。，即可一。1=1,

所以数列｛an｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a“=l+（"l）xl=〃.

加小(〃-1)!(〃一1)!

因为="---------------=m=n

m!(〃_〃?)!m■(in-1)!♦(n-in)!-------(/«-1)!•

1010

所以£为小=工小：。=2?℃："=10乂（仁+3+€：；++q）=10x29=5120.

故选:c

2.C

【分析】对于a：+乙-2〃“%-3凡+3%+2=0用分组分解解出凡一j=1或％—%=2,根据数列的

项的规律结合等差数列性质求解即可.

【详解】因为4+%一2%%-34+3%+2=0,即（〃二4.了_3（4-4“）+2=0,

所以凡一=1或4,—%=2,

1?

ata2a3a4a5a6a7a8

①4=5时,｛q,%&｝与｛&«,%｝的取法均只有1种：

②生=6时，卜4必，/｝与｛牝，%，%｝的取法有（C）种：

③见=7时，他,a3M4｝与｛《9'％｝的取法有（C：丫种：

④％=8时，｛q,a3MJ与｛区,％，4｝的取法有（C：7种；

⑤6=9时，｛%％4｝与｛49，％｝的取法有1种.

所以满足条件的数列｛册｝共有1+©『+©）2+©/+1=70个.

故选：C.

3.ACD

14(4)

32（1Y

【分析】先求出X“=0,X“=l,X”=2各自的概率可也，。为--,然后利用数学期望的定义证

5~5[~9)

明E（X.）=l,再逐一验证选项即可.

【详解】凡只可能取0,1,2,记4，B〃，C分别表示事件冗=。、“=1,簿=2,它们发生的概率分别为可也,。“,

这里〃是非负整数.（事实上，2="）

则%=q=°,%=i,且

i9

=/4川)=川4川区”(4)+尸(仆/与)。(功)+夕5用心)26)=铲“+§如

752

%=0(纥“)=。(以||4)0(4)+夕(纥/纥)*纥)+。(%||6)。(6)=44+/〃+4。.；

J7J

2।

G=P(%)=P(%|4)P(4)”(CM纥)尸(纥)+P(CMC)P(G)=§2+£.

1225221

故a”+i=Q%+5b“,”+|=大4+G'4+1=弓”〃+Qc»•

,,-12.2.1lz、

山I"”+1一%+[=5勺+§"一§。"一§%=,(a“一qj,

而4—q=()-0=0,故勺一5=(),即q=c”.

25.22分,.5,1,2

而=4%+6包+=Q(1-〃)+-b„=--^+-,

所以%_3=」包+“基」/,_21

59"359"15910之

332?1

而瓦一]=「1=(工。，故2—，即b-阜.

JJJDDH55I9J

Iz13">(]\I1<1

又因为4=如，q+2+%=1，故凡=%=不(1一")=51---^---=------

所以P(X.=2)=q_L__LI_2

5-5\9;

从而有尸,=2=[+(居),而(=%故矶X〃)=Oq+"+2c”=q+2+%=1.

综上，我们得到了如下结论:

(]丫

①4+|<-9;

②P(X.=2)

③矶X“)=l.

回到原题.

32f1Y32255

对于A,由①知4=故A正确;

55V545459

由②知P(X1=2)=L

对于B,故B错误;

519)55996

3］

对于C,故1工-是等比数列，故C正确:

对于D,由③知E（X.）=l,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数列｛九｝的求解，需要灵活运用等比数列工具.

4.ACD

2

【分析】根据分布列的性质可得4+4+・・・+匕=1,结合等差数列的前〃项和公式，可得《+〃=―.结合等差

n

2

数列的性质，可判断A的真假；由＜+，,=*可判断B的真假：结合数列的单调性，可判断C的真假；结合

n

数列求和，可判断D的真假.

【详解】由数列2是等差数列且《+6+-+号=1,得〃仍+』）=1,所以＜+?=2,

2n

对于A,