专题01 空间向量的运算及其应用（压轴题7大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）原卷版

1/10专题01空间向量的运算及其应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、根据空间向量的线性运算求参数 1类型二、向量共线、共面的判定及应用 3类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题 5类型四、空间向量的模及参数、最值问题 6类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题 8类型六、垂直、投影向量及参数问题 9类型七、证明平行、共面、垂直问题 11压轴专练 14类型一、根据空间向量的线性运算求参数一、单选题1．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，，若，，不共面，当时，等于（

）A．3 B．5 C．7 D．92．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（

）

A．1 B．2 C． D．3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）

A．1 B．2C． D．二、填空题4．（23-24高二上·山东威海·月考）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，．

类型二、向量共线、共面的判定及应用共线向量与共面向量1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．3、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使4、拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．一、单选题1．（24-25高二上·山东济南·月考），若则（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．共线 B．共线C．共面 D．不共面3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，04．（24-25高二上·福建福州·月考）已知，，，若，，三向量共面，则（

）A．18 B． C． D．65．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A． B．1 C．2 D．36．（24-25高二上·广东佛山·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．7．（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（

）A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面8．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（

）A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上9．（24-25高二上·广东广州·月考）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．10．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（

）A． B． C． D．11．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（

）A． B． C． D．类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题在几何体中求空间向量数量积的步骤①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.一、单选题1．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则．7．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是.类型四、空间向量的模及参数、最值问题利用向量方法求长度或距离的基本方法（1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.（2）因为a·a=|a|2,所以|a|=a·a,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|=(a（3）若，则，即一、单选题1．（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（

）A． B．1 C．0 D．2．（24-25高二下·江苏南京·月考）在平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（

）A． B． C． D．4．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．二、填空题5．（24-25高二下·上海·月考）已知，设点、在平面上的射影分别为、，则.6．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知向量，则.7．（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则．8．（24-25高二下·湖北·月考）在棱长为的正四面体中，、分别是、的中点，则．9．（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是.10．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为．类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题求两个非零向量夹角的两种途径（1）转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.（2）利用数量积求异面直线夹角的余弦值.（3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,π2],而<AB→,CD→>∈[0,π],故α=<AB→,CD→一、单选题1．（24-25高二上·广东阳江·月考）若，，与的夹角为120°，则的值为（

）A．17 B． C． D．12．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·北京·月考）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·安徽·月考）设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（

）A． B． C． D．类型六、垂直、投影向量及参数问题（1）两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）（2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.（3）在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．一、单选题1．（24-25高二下·江苏常州·月考）向量，，，且，，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（

）A．2 B． C． D．4．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．与t有关5．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为.7．（23-24高二上·广东佛山·月考）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是

.

8．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则．类型七、证明平行、共面、垂直问题(1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.(2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.(3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.一、解答题1．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面．2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面．3．（24-25高二上·陕西汉中·月考）如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明：(1)；(2)，，共面．4．（24-25高二下·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，.用向量方法证明：平面.5．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，.(1)求的长；(2)求证：直线平面.6．（24-25高二上·河南商丘·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，且，，.(1)求直线与直线所成角的余弦值；(2)证明：，，，四点共面.7．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求证：；(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．一、单选题1．（24-25高二上·山东淄博·期末）设，则（

）A．3 B． C． D．2．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（

）

A． B．1 C． D．23．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（

）A． B．1 C．2 D．34．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（

）A．16 B．-13 C．3 D．-35．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．37．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则下列说法错误的是（）A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上9．（24-25高二下·浙江·月考）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且.设，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）A． B． C． D．11．（24-25高二上·河南许昌·月考）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．13．（24-25高二上·广东阳江·月考）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．14．（24-25高二上·广东广州·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．15．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（

）

A．2 B．1 C． D．16．（24-25高二上·福建莆田·月考）在棱长为2的正四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，是的重心，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．在上的投影向量为 D．17．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（24-25高二上·安徽·期末）已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（）A． B． C． D．19．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（

）A． B． C． D．20．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（

）A． B． C． D．21．（24-25高二下·福建厦门·月考）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（

）A． B． C．3 D．4二、多选题22．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，.若，则与的值可以是（

）A． B． C． D．23．（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（

）A．2 B．C．3 D．24．（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．25．（24-25高二下·广东·月考）平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（）A． B．C． D．四面体的体积为26．（24-25高二上·贵州黔东南·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（

）A．，，，四点共面B．在方向上的投影向量为C．D．直线与所成角的余弦值为三、填空题27．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B