专题09 直线中的对称与新定义问题（压轴题6大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

1/10专题09直线中的对称与新定义问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、点关于点对称 1类型二、点关于直线对称 3类型三、直线关于点对称 6类型四、直线关于直线对称 9类型五、入射、反射光线背景下的对称问题 12类型六、直线中的新定义问题 17压轴专练 23类型一、点关于点对称1、思路：该点是两对称点连线段的中点．2、方法：利用中点坐标公式平面内点关于对称点坐标为，平面内点，关于点对称．一、单选题1．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（

）A．5 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案.【详解】由与关于坐标原点对称，则，所以.故选：B2．已知不同的两点与关于点对称，则（

）A． B．14 C． D．5【答案】C【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值.【详解】因为两点与关于点对称，可得，即，解得，所以.故选：C.二、填空题3．点P关于点M对称的点的坐标为．【答案】【分析】根据对称中心的概念以及中点坐标公式即可求解.【详解】解：由题意得：设对称点的坐标为，解得：所以对称点的坐标为故答案为：类型二、点关于直线对称1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为．一、单选题1．（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解.【详解】设关于直线的对称点为，则，解得.故选：A.2．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解；【详解】设关于直线的对称点为，由对称关系可得，解得．则点到直线：的距离为．故选：C．3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设出点坐标，先根据对称得到方程，求出点坐标，数形结合得到，直线垂直于直线时，点到直线的距离最大，根据的斜率求出直线的斜率为，得到直线方程.【详解】设，因为点关于直线的对称点为，所以，解得，即设点到直线的距离为，又直线经过点，所以当垂直于直线时，取得最大值，而，因此直线的斜率为，所以直线的方程为，即.故选：B二、填空题4．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是.【答案】【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故先求出AB中点坐标，又因为折痕与直线AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程.【详解】设，，则线段AB的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线的方程为，即.故答案为：.5．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为【答案】【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值.【详解】如图，设关于直线的对称点为，则，解得，则，于是，结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，即取得最小值为故答案为：类型三、直线关于点对称1、思路：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）．法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）．一、单选题1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上，∴，解得，即一定在直线上.故选：C.2．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为，则，，解得，，代入，得，即所求直线的方程为．故选：D．二、解答题3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程.【答案】【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程.【详解】因为，所以，所以交点是，设直线的方程为，代入，则，所以，因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为，关于的对称点为，且在直线上，所以，即，所以直线的方程为.4．直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称.(1)求直线的方程；(2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，然后由点到直线的距离为，列方程可求出的值，再求出点关于点对称，再在直线上任取一点，求出其关于点的对称点，从而可求出直线的方程；（2）设原点为关于直线的对称点为，则，当三点共线时取等号，然后求出直线的方程，联立直线的方程与直线的方程可求出点的坐标.【详解】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点到直线的距离为，所以，化简得，解得，所以直线的方程为，当时，，则直线与轴交于点，点，关于点的对称轴分别为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，（2）设原点为关于直线的对称点为，则，所以，所以当三点共线时取等号，设，则，解得，即，所以，所以直线的方程为，即，由，解得，即.类型四、直线关于直线对称1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程．2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行．两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．一、单选题1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线.【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上.故选：A2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果.【详解】由题意得，直线，∴两直线与直线间的距离相等，∵方程可化为：，，∴，解得.故选：C.二、填空题3．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为．【答案】【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解；解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程.【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上．设，则，解得即．设与的交点为，则由，得，即．又经过点，所以由两点式得直线的方程为，即．故答案为：．解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为，即，所以直线的方程为．故答案为：．4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为.【答案】【分析】由题意知，直线和关于直线对称，故把l的方程中的x和y交换位置即得直线l的方程．【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称，由于直线上的任意一点关于直线的对称点为，因为已知直线，则的方程是，即，故答案为：.5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为.【答案】或【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可.【详解】

易知与纵轴交于，交横轴于点，联立直线与方程，得两直线交点为，如上图所示网格中构造直角三角形，易知，即，又，所以，即为两直线与夹角的平分线，所以直线符合题意，易知其方程为；当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为.故答案为：或.类型五、入射、反射光线背景下的对称问题一、单选题1．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解.【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点，因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为，即.故选：.2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可.【详解】点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即.故选:C.3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解.【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即，设点关于直线的对称点，则，即，解得，即，于是反射后的光线所在的直线方程为，即，对于A：时，；对于B：时，；对于C：时，；对于D：时，.故选：D4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得．【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得，因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5.故选：C．5．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.【详解】如图，设点关于直线的对称点为，则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．故，故选：B.6．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可．【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，则直线方程为，且的重心为，即，设，关于直线的对称为，则，解得，则，易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，所以直线的方程为，，即，又直线过，所以，解得或（舍去），所以，,,所以.故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．类型六、直线中的新定义问题一、填空题1．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则.【答案】【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得.【详解】直线的方程化为：，显然，所以.故答案为：2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．①若，则；②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为．【答案】23【分析】根据定义直接计算①，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得②.【详解】对于①若则；对于②，设，则，函数图象如下所示：则.故答案为：2；33．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为，的最小值为.【答案】/0.5；4.【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得.【详解】设，则，当时，；当时，；当时，，因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值；设，则，令，于是，显然，当时，；当时，；当时，，因此对任意，，所以当，即时，如点，取得最小值4.故答案为：；4.4．（24-25高二上·上海·阶段练习）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为.【答案】8【分析】结合有向距离定义，化简可得，由在直线l的同侧得，化简得的范围，由直线与直线的变化数形结合可得.【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为，，因为，所以，即，化简得，则.又由不全为零，则，且.当时，可化为；当时，可化为；又因为在直线l的同侧，则.解得或.所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点，其中不能表示两平行直线上的点；直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点，其中不能表示两平行直线上的点；结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形，由，则该正方形的面积.故答案为：.

【点睛】结论点睛：根据有向距离的定义，可得如下结论：在直线同侧的点，有向距离的符号相同；在直线异侧的点，有向距离的符号相反.即点在直线的同侧；点在直线的异侧.二、解答题5．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离.(1)求点到直线与直线的“折线距离”；(2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程.【答案】(1)7(2),证明见解析【分析】（1）先求得坐标，由点到线的距离公式即可求解；（2）求得在上的镜像点，再结合即可求解.【详解】（1）设，由题意可得：解得：所以（2）设在直线的镜像点，由题意可得：解得：，所以又，所以所以，所以动点在定直线上.6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离.(1)求满足的点的轨迹所围成的图形面积；(2)在中，求证：；(3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2(2)证明见解析(3)存在，和【分析】（1）先求得点的轨迹方程，画出图象，从而求得点的轨迹所围成的图形面积.（2）根据绝对值三角不等式以及曼哈顿距离的定义证得不等式成立.（3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程.【详解】（1）设，则，当时，则；当时，则；当时，则；当时，则.如图，点的轨迹是一个边长为的正方形，点的轨迹所围成的图形面积为.

（2）设，则，当且仅当且时等号成立，在中，.（3）点到直线的距离为.设，则，当时，，又此时，满足题意；当时，，又且恒成立，当且仅当时等号成立.综上，满足条件的直线有且只有两条，方程是和【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.一、单选题1．（24-25高二上·广西北海·期中）一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点的路径长为（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】先求出关于轴的对称点,再根据两点间距离公式计算即可.【详解】点关于轴对称的点为，则该光线从点到点的路径长为．故选：B.2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.【详解】由于直线与直线关于点对称，所以两直线平行，故，则，由于点在直线上，关于点的对称点为，故在上，代入可得，故，故选：A3．（23-24高二上·天津·期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设所求直线上一点的坐标，利用对称知识，即可求得答案.【详解】设与直线关于轴对称的直线的上一点为，则在直线上，即得，即，故与直线关于轴对称的直线的方程为，故选：A4．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】作点O关于直线的对称点C，则．点P到y轴的距离为，故可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和．【详解】如图：作点O关于直线的对称点C，则．设，则有解得所以．已知第一象限内的点，则，而，，所以点P到y轴的距离为，所以可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和．过P作轴，显然有，当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值．过点C作轴，则即为最小值，此时P的位置即为CH与直线的交点．因为，所以的最小值为4．故选：B.5．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（

）A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立【答案】C【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确；对于②，定点、，动点，满足，则：，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，.当时，有，得：；当时，有，此时无解；当时，有，；则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确，故选：C.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝.二、多选题6．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解.【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即.设点关于直线的对称点，则有，即，解得，即.于是反射后的光线所在的直线方程为，即.对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误；对于B：时，故B正确；对于C：时，故C正确；对于D：时，故D错误；故选：BC.7．（24-25高二下·山西长治·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在平面直角坐标系中有两点，，其“曼哈顿距离”．下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，且，则C．若点，点Q是直线上的动点，则的最小值为3D．若点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为2【答案】AC【分析】利用“曼哈顿距离”的定义即可判断AB，对于C设，则利用三角不等式即可判断，对于D设，则，由二次函数即可判断.【详解】对于A：，故A正确；对于B：或1，故B错误；对于C：设，所以，故C正确；对于D：设，所以，当时，，所以当时，则的最小值为，故D错误，故选：AC.三、填空题8．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为．【答案】【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求.【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即，因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称，所以反射光线所在的直线方程为.故答案为：9．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为．【答案】【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可.【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称，所以有，解得，即对称点坐标为.故答案为：．10．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程.（用一般式方程表示）.【答案】【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程.【详解】联立，得，则两直线的交点为，在直线上取点，设其关于的对称点为，则，得，则.故直线关于直线的对称直线为，又，所以直线，即.故答案为：.11．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是.【答案】【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案.【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线，中点坐标为，设折痕直线的斜率为，则，得，故折痕直线方程为，即，由题意点与原点关于折痕对称，故得，故.故答案为：12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为.【答案】【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值.【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，此时即为最小值.理由：在轴上任取点，连接，易得，则，故上述点即是使取得最小值的点.故答案为：.

13．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为.【答案】【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则直线方程为，设关于和直线的对称点分别为，则，记，则，解得，因为为的重心，，所以，由光的反射原理可知，三点共线，所以，即，解得（舍去）或.故答案为：14．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是.【答案】【分析】设，将问题转化为求两点到原点距离之和的最小值与最大值的和，结合图形可得答案.【详解】设，.则，表示两点到原点距离之和.如图，建立直角坐标系，其中.注意到点在直线上（其中），过B作y轴垂线，垂足为.则，设原点关于直线对称的点为，又直线斜率为-2.则，即.则由对称性，，当且仅当C，B，D三点共线，即DC垂直于y轴时取最小值；又设DC垂直于y轴时，与直线交点为E.则当点B位于点E上方或下方时，始终有，要使最大，则点B需位于G点或H点，可得最大值为.则最小值与最大值的和是.故答案为：.

【点睛】关键点睛：对于求解含有根式的条件等式范围问题，可利用数形结合思想，将问题转化为距离相关的问题.四、解答题15．（23-24高二下·