中考数学几何模型10胡不归最值模型

中考数学几何模型10:胡不归最值模型

名师点睛---------------------------------------------------拔开云雾开门见山

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA^PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如

“以+AP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题：（2）阿氏圆.

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,

虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小

伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同"何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家?

砂石地

驿道

AC

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI,在直线MN上运动的速度为V2,且0VV2,4、B为定点、,

点C在直线MN上，确定点C的位置使华+器的值最小.

丫2乂

【问题分析】

—+—=lfBC+-^AcL记出=乜，即求8C+MC的最小值.

%VV2J匕

【问题解决】

构造射线4。使得sin/DANY,即——=k,CH=kAC.

AC

CH=kAC

将问题转化为求BC+C"最小值，过B点作交MN于点C,交AD于H点、,此时BC+C”取到最小

值，即8C+MC最小.

【模型总结】

在求形如“附+APB”的式子的最值问题中，关键是构造与相等的线段，将型问题转化为“必+PC

型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到桃B的等线段.

典题探究启迪思维探究重点

例题1.如图，ZkABC中，AB=AC=}Q,tan/l=2,BELAC于点E,。是缱段BE上

A

的一个动点，则6+当即的最小值是./\

ZA

变式练习>>

1.如图，平行四边形ABCO中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CO上的一

动点，则P8+名物的最小值等于_______.

2

例题2.如图，4C是圆。的直径，AC=4f

个动点，那么如科的最小值为（

A当B飞C.D.1+V3

变式练习〉）

2.如图，△A3C中，NA4C=30。且A8=AC,P是底边上的高4”上一点.若

AP+BP+CP的最小值为2b，则BC=

例题3.等边三角形A8C的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，

其中8C边在x轴上，8C边的高0A在丫轴上.一只电子虫从A出发，先沿y

轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在丫轴上运动的速度是在GC

上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为.

变式练习＞»

3.如图，△A8C在直角坐标系中，AB=AC,A（0,2^2），C（1,0）,。为

射线AO上一点，一动点尸从A出发，运动路径为A—3—C,点P在上

的运动速度是在C。上的3倍，要使整个运动时间最少，则点。的坐标应为

返）D.（0,返）

34

-4m+3交于A,8两点（其中点A在

点8的左侧），与抛物线的对称轴交于点C,抛物线的顶点为。（点。在点

。的下方），设点3的横坐标为r

（1）求点C的坐标及线段CO的长（用含机的式子表示）；

（2）直接用含，的式子表示〃，与，之间的关系式（不需写出f的取值范围）；

（3）若CD=CB.①求点B的坐标;②在抛物线的对称轴上找一点产，使BF+^CF

5

的值最小，则满足条件的点尸的坐标是.

备用图

变式练习＞»

4.如图1,在平面直角坐标系中将），=2x+l向下平移3个单位长度得到直线

直线/1与x轴交于点C；直线，2：y=x+2与入•轴、y轴交于4、8两点，且与

直线/i交于点D.

（1）填空：点A的坐标为一，点B的坐标为；

（2）直线。的表达式为；

（3）在直线上是否存在点E,使SOOE=2S^BO?若存在，则求出点E的坐

标；若不存在，说明理由.

（4）如图2,点P为线段AO上一点（不含端点），连接。尸，一动点”从C

出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒加个

单位的速度运动到点。后停止，求点”在整个运动过程中所用时间最少时点P

的坐标.

图1图2

例题5.已知抛物线y=。（x+3）（x-1）（存0）,与x轴从左至右依次相交于

A、3两点，与y轴相交于点C,经过点A的直线y=-J或+/?与抛物线的另一个

交点为D.

（1）若点。的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;

（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点尸，使得ZACP是以AC为直角边

的直角三角形，求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段4。上的一点（不含端点），连接5E.一

动点。从点8出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点£,再沿线段

ED以每秒竽个单位的速度运动到点。后停止，问当点E的坐标是多少时，

点。在整个运动过程中所用时间最少?

备用图备用图

式练习＞»

5.如图，已知抛物线产-/+云+c交工轴于点A（2,0）、3（-8,0）,交

），轴于点C,过点A、B、C三点的。"与y轴的另一个交点为D.

（1）求此抛物线的表达式及圆心用的坐标；

（2）设夕为弧3C上任意一点（不与点3,C重合）,连接A尸交y轴于点M

请问：AP・AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；

（3）延长线段8。交抛物线于点E,设点产是线段8E上的任意一点（不含端

点），连接动点。从点A出发，沿线段A尸以每秒1个单位的速度运动

到点R再沿线段所以每秒泥个单位的速度运动到点5后停止，问当点尸的

坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

备用图

达标检测领悟提升强化落实

1.如图，在平面直角坐标系中，点《3,6),点P为X轴上的一个动点，当4P+gop

2.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=60°,点M为对角线BD(不含

点B)上的一动点，则的最小值为

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)=，£+云+。的图象经过点A(-1,0),

B(0,-“)，C(2,0),其对称轴与“轴交于点。.

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点M使得以A,B,

M,N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；

(3)若尸为y轴上的一个动点，连接尸Q,求铲台+P。的最小值.

留用图

4.【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路3。距离为43的长度，C为公

路3。上的酒店，从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点。，船速为小再乘汽车，

车速为船速的〃倍，点。选在何处时，所用时间最短？

【特例分析】若〃=2,则时间，=必黑，当。为定值时，问题转化为：在8c

a2a

上确定一点。，使得幽•皿的值最小.如图②，过点C做射线CM,使得

a2a

=30。.

（1）过点。作O-CM,垂足为E,试说明：。七=空；（2）请在图②中画出

2

所用时间最短的登陆点

【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题.（写

出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）

【综合运用】（4）如图③，抛物线），=-争，/+3与x轴分别交于4B两点，

与y轴交于点C,E为OB中点，设b为线段上一点（不含端点），连接石E一

动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC

以每秒立个单位的速度运动到。后停止.若点P在整个运动过程中用时最少，请

3

求出最少时间和此时点尸的坐标.

5.如图，△ABC是等边三角形.

(1)如图1,。于“，点尸从A点出发，沿高线A”向下移动，以CP

为边在CP的下方作等边三角形CPQ,连接BQ.求NC8Q的度数；

(2)如图2,若点。为△A5c内任意一点，连接D4,DB,0c证明：以

DA,DB,DC为边一定能组成一个三角形；

(3)在(1)的条件下，在P点的移动过程中，设工=42+2尸。，点。的运动

路径长度为y,当x取最小值时，写出羽y的关系，并说明理由.

图1图2

6.如图，已知抛物线y=K（x+2）（x-4）（%为常数，且心＞0）与x轴从左至

8

右依次交于43两点，与y轴交于点C,经过点B的直线），=-除什〃与抛

物线的另一交点为。.

（1）若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以4,B,尸为顶点的三角形与

△A3C相似，求左的值；

（3）在（1）的条件下，设尸为线段30上一点（不含端点），连接AF一

动点M从点A出发，沿线段A尸以每秒1个单位的速度运动到扛再沿线段

尸。以每秒2个单位的速度运动到。后停止，当点尸的坐标是多少时，点M在

整个运动过程中用时最少？

7.已如二次函数），=-W+2x+3的图象和x轴交于点A、8（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C,

（1