专升本理工科专业2025年离散数学冲刺试卷（含答案）

专升本理工科专业2025年离散数学冲刺试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则(A∩B)∪C=?(A){1,2,3,4}(B){3,4}(C){1,3,4,5}(D){2,3,4,5}2.下列哪个语句是命题？(A)今天天气真好！(B)x+y=5(C)请你安静一点。(D)2是偶数且3是奇数。3.设命题p:今天下雨，q:我去图书馆。则命题“如果今天不下雨，那么我去图书馆”的逻辑表达式是？(A)p→q(B)q→p(C)¬p→q(D)¬q→¬p4.设集合A和B都是无限集，且A与B之间存在一一对应关系，以下说法正确的是？(A)集合A一定比集合B小。(B)集合B一定比集合A小。(C)集合A和B的基数（势）相等。(D)集合A和B的基数不可能相等。5.一个有向图G中，如果存在一条经过所有顶点的有向路径，则称该图是？(A)欧拉图(B)哈密顿图(C)强连通图(D)树二、填空题（每小题3分，共15分。请将答案填在题后的横线上）1.如果一个命题公式在任何赋值下都为真，则称该公式是________。2.设集合A有5个元素，集合B有3个元素，则从A到B的函数共有________个。3.无向图G有10个顶点，每个顶点的度数都是3，则G的边数E=________。4.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数记作________，其计算公式为________。5.一个递推关系a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}，且初始条件a_0=1,a_1=2，则a_3=________。三、判断题（每小题2分，共10分。请将“正确”或“错误”填在题后的括号内）1.对任意集合A，有A⊆A∪A。()2.命题“p且q”为真，当且仅当p和q都为真。()3.任何两个有理数之间都存在另一个有理数。()4.如果一个无向图是欧拉图，那么它一定有偶数个顶点。()5.设A是一个集合，则A的幂集P(A)的基数是2^|A|。()四、计算题（每小题6分，共18分）1.写出命题公式p∧(q∨¬r)的所有真值指派，并指出该公式为真的真值指派对应的集合。2.计算组合数C(10,3)和C(10,7)，并说明C(10,3)与C(10,7)之间的关系。3.求解递推关系a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}，其中a_0=4,a_1=10。五、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)⊆(A∩C)。2.设G是一个无向图，如果对于G中的任意两个顶点，都存在连接它们之间的路径，则证明G是连通图。（提示：可使用反证法）---试卷答案一、选择题1.(C)2.(D)3.(C)4.(C)5.(C)二、填空题1.重言式2.3^53.154.C(n,k);n!/(k!*(n-k)!)5.7三、判断题1.正确2.正确3.正确4.错误5.正确四、计算题1.真值指派及其对应真值：(p,q,r|T/F)|p∧(q∨¬r)|真值集合-----------------------------------------(T,T,T)|F|{1,2,3}(T,T,F)|T|{2}(T,F,T)|F|{1,2,3}(T,F,F)|T|{2}(F,T,T)|F|{1,2,3}(F,T,F)|F|{1,2,3}(F,F,T)|F|{1,2,3}(F,F,F)|F|{1,2,3}该公式为真的真值指派对应的集合为{2}。2.C(10,3)=10!/(3!*7!)=(10*9*8)/(3*2*1)=120。C(10,7)=C(10,10-7)=C(10,3)=120。关系：C(n,k)=C(n,n-k)。3.a_2=5a_1-6a_0=5*10-6*4=50-24=26。a_3=5a_2-6a_1=5*26-6*10=130-60=70。五、证明题1.证明：(A∩B)⊆(A∩C)任取x∈(A∩B)。根据交集定义，有x∈A且x∈B。因为x∈A且x∈B，且B⊆C（由x∈B可知），所以x∈C。因此，x∈A且x∈C，即x∈(A∩C)。由x的任意性，得(A∩B)⊆(A∩C)。2.证明：G是连通图。假设G不是连通图。根据连通图定义，存在至少两个顶点u和v，它们不在G中有任何路径连接（即u和v属于G的不同连通分支）。作一个新图G'=G+{u,v}（将顶点u和v加