（复习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义02 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题+随堂检测（解析版）

第页专题02含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题考点预测：1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R【典型例题】例1．若二次不等式对恒成立，求的取值范围.【解析】，抛物线对称轴当即时，函数最小值为，与不合，舍去；当即时，函数最小值为；当时，函数最小值为与矛盾，舍去.综上所述得得取值范围为.例2．（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根，则解得.（2）因为，所以，由题可知，则或，由题意，方程有两个负根，即解得.综上，实数的取值范围是.例3．（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【解析】（1）恒成立，即恒成立.当时，，满足题意；当时，知即解得.综上，实数的取值范围为.（2）若，则原不等式可化为，解得.若，则原不等式可化为，解得.若，则原不等式可化为，当，即时，解得或；当，即时，解得或；当，即时，解得或.综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.例4．对于函数，若存在，使，则称是的一个“伸缩倍点”.已知二次函数.(1)当a＝1时，求函数的“伸缩2倍点”；(2)当函数有唯一一个“伸缩3倍点”时，求二次函数的最大值.【解析】（1）当a＝1时，，设是的“伸缩2倍点”，则，得，解得或，∴函数的“伸缩2倍点”是－1和4.（2）∵函数有唯一一个“伸缩3倍点”，∴方程有唯一解，即有唯一解，由，解得或a＝－3.①当时，二次函数，最大值为.②当时，二次函数，最大值为.【过关测试】一、单选题1．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故时，，即，解得，故，故选：D2．在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，令，此时只需，又，所以，即，解得.故选：A.3．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故选：D.4．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C5．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程对应的二次函数设为：因为方程恰有一根属于，则需要满足：①，，解得：；②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，，解得，当时，方程的根为，不合题意；若，方程的根为，符合题意综上：实数m的取值范围为故选：D6．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.7．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，，即，故问题转化为在上有解，设，则，，对于，当且仅当时取等号，则，故，故选：A二、多选题8．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（

）A．B．C．的解集为D．的解集为或【答案】ABC【解析】不等式的解集为，，故A正确；，令，，即，故B正确；由上所述，易知，，由题意可得为一元二次方程，则，，则，，即为方程的解，则可知不等式的解集为，故C正确，D错误.故选：ABC.9．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（

）A． B． C． D．5【答案】ABD【解析】解不等式，得或解方程，得（1）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，依题意，则，即；（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，则需满足：，即；所以k的取值范围为.故选：ABD.10．已知，关于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】当时，不等式等价于，解得；当时，不等式的解集是；当时，不等式等价于，解得或；当时，不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或．故选:BCD．11．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（

）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【解析】对于A：由知，与同号．若，则，这时，所以，此时与矛盾，所以，．同理可证，故A正确；对于B：根据题意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正确，D正确；对于C：由A知，，，，是整数，所以，．由韦达定理有，所以，故C正确；故选：ACD．三、填空题12．若，是真命题，则实数a的取值范围是_________；【答案】【解析】因为，是真命题，所以，恒成立，即，恒成立，则，所以，故实数a的取值范围是故答案为：13．已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．【答案】【解析】由命题甲：关于的不等式的解集为，当时，不等式恒成立；当时，则满足，解得，综上可得．由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，则满足，整理得，所以，解得．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，可得，即实数的取值范围为．故答案为：．14．若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．【答案】或【解析】，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，①当，即时，当时，函数最大值为3，，解得：（舍去）；②当，即时，当时，函数最大值为3，，解得：．③当，即时，当时，函数最大值为3，，解得（舍去）或，综上所述，或.故答案为：或四、解答题15．已知集合，命题p：“不等式对一切实数x都成立．(1)若命题p是真命题，求实数k的取值范围；(2)当命题p是真命题时，记实数k的取值范围对应集合为集合B，若，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为命题p：“不等式一切实数都成立”是真命题，当时，成立；当时，不成立；当时，，所以综上所述，（2）因为，所以，由（1）可得，因为，当，即时，，满足，当，即时，，若，则，不等式组无解，综上所述，.16．定义一种新的集合运算：，且．若集合，，．(1)求集合M；(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求实数a的取值范围．【解析】（1），，故且或；（2）若是的必要条件，则，①当即时，，则，即，②当即时，，则，即，③当即时，是空集，此时不满足条件，综上，所求实数a的取值范围为或．17．设.(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式.【解析】（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得.所以实数a的取值范围为.（2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.18．已知函数，．(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．【解析】（1）若不等式的解集为，，即1，2是方程的两个根，则，即，则，由得，即得，得或，即不等式的解集为，，．（2）解:不等式恒成立，即在，恒成立，令，，，则，令，解得：，故在，递增，在，递减，故（1）或，而（1），，故．（3）由得，，即，若方程在，有解，等价为有解，设，，，，，即，即，则，即实数的取值范围是，．19．已知二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；(3)设，求的最大值.【解析】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，恒成立，，又，

；（2）当时，恒成立，即恒成立，令，当时，单调递减，.所以；（3），，对称轴为，①当，即时，；②当，即时，，综上所述.恒成立问题随堂检测LISTNUMOutlineDefault\l3对于定义域为R的任意奇函数f(x)都恒成立的是()A.f(x)－f(－x)≥0B.f(x)－f(－x)≤0C.f(x)·f(－x)≤0D.f(x)·f(－x)>0【答案解析】答案为：C；解析：由f(－x)=－f(x)知f(－x)与f(x)互为相反数，∴只有C成立.LISTNUMOutlineDefault\l3不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a-b-1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案解析】答案为：D；解析：①a2＋2-2a=(a-1)2＋1>0，故①正确；②a2＋b2-2(a-b-1)=a2-2a＋b2＋2b＋2=(a-1)2＋(b＋1)2≥0，故②正确；③a2＋b2-ab=a2-ab＋eq\f(1,4)b2＋eq\f(3,4)b2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))2＋eq\f(3,4)b2≥0，故③正确，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3命题“对任意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()A.a≥4B.a≤4C.a≥3D.a≤3【答案解析】答案为：C；解析：即由“对任意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”.因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，x2－a≤0恒成立，即x2≤a，因此a≥4；反之亦然.故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[－2，2]C．(－2，2]D．(－∞，－2)【答案解析】答案为：C；解析：当a=2时，不等式－4<0恒成立，因此a=2满足题意．当a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,4（a－2）2－4（a－2）（－4）<0，))解得－2<a<2.综上所述，a的取值范围是－2<a≤2.故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________.【答案解析】答案为：[0,12)解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.当m=0时，1>0恒成立，所以m=0满足题意；当m>0时，且Δ=m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意；当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立.综上知0≤m<12.LISTNUMOutlineDefault\l3若不等式-x2＋2x-a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案解析】答案为：[1，＋∞)；解析：∵Δ=4-4a≤0，∴a≥1.LISTNUMOutlineDefault\l3已知x2＋ax﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.【答案解析】答案为：﹣4≤a≤0.解析：由题意可得Δ＝a2＋4a≤0，解得﹣4≤a≤0.LISTNUMOutlineDefault\l3已知关于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a最小值为______.【答案解析】答案为：eq\f(3,2).解析：因为x＞a，所以2x＋eq\f(2,x－a)=2(x－a)＋eq\f(2,x－a)＋2a≥2SKIPIF1<0＋2a=2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥eq\f(3,2).即a的最小值为eq\f(3,2).LISTNUM