专题04 函数的概念及其表示（竞赛培优专项训练）（原卷版）高一数学竞赛培优系列（全国通.用）

PAGE专题04函数的概念及其表示目录概览A考点精研・竞赛考点专项攻坚考点一相等函数的判断 5考点二求函数的定义域 6考点三求函数的值域 6考点四由函数定义域求参 7考点五由函数值域求参 7考点六求函数的解析式 8考点七分段函数问题 9考点八函数的求值问题 10考点九函数的图象问题 11考点十函数的新定义问题 13B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题16道）【归纳重点知识】知识点01函数的概念1.函数的定义设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，称为从集合到集合的一个函数2．函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．（2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．知识点02函数的表示法1.三种表示方法（1）详解法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用详解式可求任意函数值．缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有详解式．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：能形象直观地表示函数的变化情况；缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大．2.函数图象的变换（1）函数图象的平移变换左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数;上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数（2）函数图象的对称变换=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（3）函数图象的翻折变换=1\*GB3①=2\*GB3②知识点03分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．（1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．（2）如果函数用表格给出，则表格中的集合即为定义域．（3）如果函数用图象给出，则图象在轴上的投影所覆盖的的集合即为定义域．0值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．（3）各段函数的定义域不可以相交．知识点03函数的对称性(拓展)1．函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.=1\*GB2⑴图象关于直线对称.推论1:的图象关于直线对称.推论2、的图象关于直线对称.推论3、)的图象关于直线对称.=2\*GB2⑵的图象关于点对称.推论1、的图象关于点对称.推论2、的图象关于点对称.推论3、的图象关于点对称.2．两个函数的图象对称性(相互对称)=1\*GB2⑴与图象关于y轴对称.=2\*GB2⑵与图象关于原点对称函数.=3\*GB2⑶函数与图象关于轴对称.=4\*GB2⑷函数与其反函数图象关于直线对称.=5\*GB2⑸函数与图象关于直线对称.推论1:函数与图象关于直线对称.推论2:函数与图象关于直线对称.推论3:函数与图象关于直线对称.3.函数的对称性常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.知识点04函数的周期性（拓展）1．周期性的定义一般地，对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期2．函数周期性的判定（1）的一个周期T=.（2）的一个周期T=.（3）的一个周期.（4）（为常数）的一个周期T=.提示：，两式相减可得：（5）（为常数）的一个周期T=.（6）的一个周期T=.提示：，相加，得，则T=.【熟记重要结论】1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；当a＜0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))．(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.3.求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．4．与二次函数有关的恒成立问题设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＜0))；(2)f(x)＜0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0,Δ＜0))；(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＞0,f（n）＞0))；(4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＜0,f（n）＜0)).考点一相等函数的判断1．下列函数中，与函数是同一个函数的是（

）A． B．C． D．2．下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，3．下列函数中与是同一函数的为（

）A．， B．，C．， D．，考点二求函数的定义域4．函数的定义域是（

）A． B．C．且 D．且5．函数的定义域为（

）A． B． C． D．6．已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．8．函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B．C． D．考点三求函数的值域9．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．函数的值域为（

）A． B．C． D．11．下列函数中，值域是的是（

）．A． B．（）C．（） D．12．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和13．若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．14．(多选)已知函数的定义域为，且，则（

）A． B．的值域为C．的定义域为 D．的值域为考点四由函数定义域求参15．若的定义域为，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．516．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）．A． B． C． D．17．“函数的定义域为R”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件18．“”是“函数的定义域为R”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点五由函数值域求参19．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．20．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．21．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．22．已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（

）A．2 B．1 C． D．23．已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为24．若函数的定义域与值域都是，则实数．考点六求函数的解析式25．已知，则（

）A． B． C． D．26.函数满足，则（

）A． B．C． D．27.已知是二次函数，且，若，则的解析式为.28.已知函数满足，则.29.已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为.30．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数．31．函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为或．32.（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式.考点七分段函数问题33.设函数，使得的a的取值范围是（

）A． B． C． D．34．已知函数则的最小值是（

）A． B． C．0 D．135．已知函数，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．836．设函数，使得的a的取值范围是（

）A． B． C． D．37．(多选)设若实数且满足，则（

）A． B．C． D．的取值范围是38.(多选)已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（

）A． B．若，则的值是或C．的值域为 D．的解集为39．已知函数，若，则实数的值为．40．已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是．考点八函数的求值问题41．已知函数满足，则（

）．A．3 B．4 C．5 D．642．若函数，满足，且，则（）A．5 B．6 C．7 D．843．已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（

）A． B． C． D．44．已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（

）附注：．A．－21 B．－22 C．－23 D．－24，45．函数的定义域为，若，则（

）A．－2 B．－4 C．2 D．446．已知函数（为实常数的图象经过三点，，，则的值等于（

）A．0 B．1 C． D．2547．设函数的定义域为，若，则．48．已知函数，且，则49．已知对于任意实数，，函数满足，且，则．50．已知定义在R上的函数满足且，则．51．已知函数的定义域为R，，，则，．考点九函数的图象问题52．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（

）A． B．C． D．53．下列可以作为方程的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

54．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（

）A． B．C． D．55．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（

）A． B．C． D．56．某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（

）.A． B．C． D．57.（多选）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（

）A． B．与有相同的值域C．的最小正周期是6 D．考点十函数的新定义问题58．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．59．设已知函数，则（

）A． B．0 C．6 D．960．任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．61．定义域为的函数同时满足条件：①常数满足，区间，②使在上的值域为，那么我们把叫做上的“级矩形”函数．函数是上的“级矩形”函数，则满足条件的常数对共有（

）A．对 B．对 C．对 D．对62．已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数“H点”的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．663．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（

）A．区间，上的值域为，B．区间，上的值域为，C．区间，上的值域为，D．区间，上的值域为64.（多选）Riemann函数是近代分析学中重要的研究对象，在微积分中有着广泛的应用，已知Riemann函数的定义为则（

）A．存在无数个使 B．最大值与最小值之和为C． D．65．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如．(1)若，求的值；(2)已知，求函数的值域．66．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件．(1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由；(2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围．67．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.(1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由；(2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明.1.（2024·湖南邵阳高一数学竞赛）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．(2023·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)若函数的图象如图所示，则（）A． B．C． D．3．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）若三次函数满足，则（

）A．38 B．171 C．460 D．9654．(2024·“枫叶