专题05 函数的性质（竞赛培优专项训练）（原卷版）高一数学竞赛培优系列（全国通.用）

PAGE专题05函数的性质目录概览A考点精研・竞赛考点专项攻坚考点一利用定义证明函数的单调性 7考点二函数单调性的判断 8考点三由函数的单调性求参 8考点四函数单调性的应用 9考点五函数奇偶性的判断与证明 10考点六利用函数的奇偶性求参 12考点七函数奇偶性的应用 12考点八函数奇偶性与单调性的综合 12考点九函数的周期性（拓展） 14考点十函数性质的综合应用 14考点十一函数的新定义题 17B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题20道）【归纳重点知识】知识点01函数的单调性与最值1．函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．2．函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件对于任意，都有；存在，使得对于任意，都有；存在，使得结论为最大值为最小值知识点02函数的奇偶性1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.函数奇偶性的两个重要结论判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．【易错警示】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3.两个函数间奇偶性的关系，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数知识点03函数的对称性(拓展)1．函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.=1\*GB2⑴图象关于直线对称.推论1:的图象关于直线对称.推论2、的图象关于直线对称.推论3、)的图象关于直线对称.=2\*GB2⑵的图象关于点对称.推论1、的图象关于点对称.推论2、的图象关于点对称.推论3、的图象关于点对称.2．两个函数的图象对称性(相互对称)=1\*GB2⑴与图象关于y轴对称.=2\*GB2⑵与图象关于原点对称函数.=3\*GB2⑶函数与图象关于轴对称.=4\*GB2⑷函数与其反函数图象关于直线对称.=5\*GB2⑸函数与图象关于直线对称.推论1:函数与图象关于直线对称.推论2:函数与图象关于直线对称.推论3:函数与图象关于直线对称.知识点04函数的周期性（拓展）1．周期性的定义（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．【熟记重要结论（二级结论）】1．函数单调性的结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0⇔f(x)在D上是增函数；eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，减区间为[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．2．函数最值存在的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．3．函数奇偶性的常用结论（1）如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有．（2）如果函数是偶函数，那么．（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．4.函数周期性的常用结论（拓展）对定义域内任一自变量的值：（1）的一个周期T=.（2）的一个周期T=.（3）的一个周期.（4）（为常数）的一个周期T=.提示：，两式相减可得：（5）（为常数）的一个周期T=.（6）的一个周期T=.提示：，相加，得，则T=.5.函数的对称性常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.6.抽象函数的模型（1）正比例函数模型：，对应：；(2)反比例函数模型：.(3)一次函数模型:模型1：若，则；模型2：若，则为奇函数；模型3：若则；模型4：若则；(4)二次函数模型：，对应：；(5)三次函数模型：，对应：(6)幂函数模型：模型1：,对应：；模型2：，对应：.(7)指数函数模型（供提前了解，详见必修第一册第三章）:模型1：,对应：（其中）；模型2：，对应：（其中）；模型3：，对应：；模型4：，对应：.(8)对数函数模型（供提前了解，详见必修第一册第四章）：模型1：，对应：；模型2：，对应：;模型3：，对应：；模型4：,对应：，则模型5：，对应：.(9)正弦函数模型供提前了解，详见必修第一册第四章）：：，对应：，来源于；（10）余弦函数模型（供提前了解，详见必修第二册第一章）：模型1：,对应：，则模型2：，对应：；模型3：，对应：.（11）正切函数模型（供提前了解，详见必修第二册第一章）：,对应：.考点一利用定义证明函数的单调性1.判断函数的单调性并证明．2．已知．(1)求证：函数在区间上是减函数；(2)求函数在区间上的值域．3．已知函数，且，设．(1)求函数的解析式；(2)用定义法判断的单调性．考点二函数单调性的判断4．已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．，6．函数的单调递减区间是．7.函数的单调递减区间为.8.函数的单调递减区间为．9.求函数的单调区间，并指出其值域考点三由函数的单调性求参10.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．11．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．12．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．13．若函数在上单调递减，则的取值范围为．14．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是．考点四函数单调性的应用15．已知，点都在二次函数的图象上，则（

）A． B．C． D．16.，其中，若，则得取值范围是（）A． B． C． D．17．设函数，若，则实数的取值范围是．18．已知函数，若，则实数的取值范围是．19．已知函数，若且满足.则实数的取值范围为．20．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是．21.已知函数.(1)求函数的定义域；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.22.已知函数.(1)当，时，求函数的值域；(2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；(3)当时，比较与的次小.考点五函数奇偶性的判断与证明23．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性.24．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)，；(3)25.已知函数，(1)判断函数的奇偶性；(2)若且，求函数在区间上的最大值．考点六利用函数的奇偶性求参26.已知函数是偶函数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．427.若函数是定义在区间上的奇函数，则．28.设函数，且为奇函数，则.29.已知函数是奇函数，则实数．考点七函数奇偶性的应用30.已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（

）A． B． C． D．31.(多选)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A． B．是奇函数C． D．当时，32．已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为.33．已知是奇函数，是偶函数，且，则，．考点八函数奇偶性与单调性的综合34．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．35．已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（多选）已知函数的图象过点，则（

）A． B．是奇函数C．在上单调递减 D．当时，函数的最大值为37.已知定义在上的函数图象关于原点对称．(1)求的解析式；(2)判断并用定义证明的单调性；(3)解不等式．38.已知函数是上的偶函数．(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)如果对，都有成立，求的取值范围．考点九函数的周期性（拓展）39．定义在上的函数的周期为4，且满足，则（

）A．0 B．2 C．4 D．840．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则．41．若对常数和实数，等式恒成立，函数的一个周期为.42．对任意都有，的图像关于对称，则．考点十函数性质的综合应用43．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（）A．－1 B．0 C．1 D．244．(多选)已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（

）.A．的图象关于直线对称B．是以4为周期的周期函数C．的图象关于点对称D．45．(多选)已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是奇函数C．关于中心对称 D．46．（多选）已知对任意，且，则（

）A． B．C．的图象关于直线对称 D．47.已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是48.已知函数是定义在上的正值函数，且．，当时，恒有．求证：(1)函数在上单调递增；(2)，恒有成立．49．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明：(1)；(2)对任意的恒有；(3)是增函数．50．已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求的值；(2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．51．已知函数．(1)若，求函数在上的最小值.(2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）．(3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．考点十一函数的新定义题52．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是（）A．函数是奇函数 B．，，C．函数是偶函数 D．，，53．（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（

）A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为54．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”．(1)函数，求的“偏差”；(2)函数，若的“偏差”为2，求的值；(3)函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值．55．定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）．(1)判断是否为“型函数”？并说明理由；(2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围．1．（2023·山东济南高一下竞赛）已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（）A．1 B． C．2 D．02．（2024·厦门大学强基计划），若对任意，恒成立，则ab可能的最值为（

）A． B．4 C． D．13．（第十一届“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知函数的定义域为，对任意的，都有成立，则函数的奇偶性是（

）.A．既奇又偶 B．非奇非偶 C．奇非偶 D．偶非奇4．（2025·山东青岛高二下竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（

）A． B． C． D．5．（第十一届“枫叶新希望杯”高一竞赛）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（

）.A． B．C． D．6．（202·全国“英才杯”竞赛）已知与轴有四个不同的非零交点，且每相邻两个交点之间的距离都相等，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2023·海南“衍林杯”高一竞赛）若函数，则对于满足的任意实数，有（

）A． B．C． D．8．（2024·湖南“同济大学杯”高一联赛）已知函数的定义域为，且，，，则（

）A． B． C．0 D．19．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．10．（多选）（2024·河南灵宝市精