2015年考研数一真题答案解析

2015年考研数一练习题答案解析一、选择题1.设函数$f(x)$在$(\infty,+\infty)$内连续，其中二阶导数$f''(x)$的图形如图所示，则曲线$y=f(x)$的拐点个数为（）选项：A.0；B.1；C.2；D.3答案：C解析：拐点是函数二阶导数变号的点。由二阶导数\(y=f''(x)\)的图像可知，\(f''(x)=0\)有两个点，设为\(x_1,x_2\)。在\(x_1\)两侧，\(f''(x)\)的符号发生改变，在\(x_2\)两侧，\(f''(x)\)的符号也发生改变。因为函数\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)内连续，根据拐点的定义，若函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处连续，且在\(x_0\)的某去心邻域内二阶可导，在\(x_0\)两侧\(f''(x)\)异号，则\((x_0,f(x_0))\)为曲线\(y=f(x)\)的拐点，所以曲线\(y=f(x)\)有两个拐点，答案选C。2.设\(y=\frac{1}{2}e^{2x}+(x\frac{1}{3})e^{x}\)是二阶常系数非齐次线性微分方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)的一个特解，则（）选项：A.\(a=3,b=2,c=1\)；B.\(a=3,b=2,c=1\)；C.\(a=3,b=2,c=1\)；D.\(a=3,b=2,c=1\)答案：A解析：已知\(y=\frac{1}{2}e^{2x}+(x\frac{1}{3})e^{x}=\frac{1}{2}e^{2x}+xe^{x}\frac{1}{3}e^{x}\)是二阶常系数非齐次线性微分方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)的一个特解。对于二阶常系数非齐次线性微分方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)，其对应的齐次方程为\(y''+ay'+by=0\)。因为\(y=\frac{1}{2}e^{2x}+xe^{x}\frac{1}{3}e^{x}\)，\(e^{2x}\)是齐次方程的解，将\(y=e^{2x}\)代入齐次方程\(y''+ay'+by=0\)，\(y'=2e^{2x}\)，\(y''=4e^{2x}\)，可得\(4e^{2x}+2ae^{2x}+be^{2x}=0\)，即\(4+2a+b=0\)。又因为\(xe^{x}\)是非齐次方程的特解形式，说明\(r=1\)是特征方程\(r^{2}+ar+b=0\)的单根，将\(r=1\)代入特征方程得\(1+a+b=0\)。联立方程组\(\begin{cases}4+2a+b=0\\1+a+b=0\end{cases}\)，用第一个方程减去第二个方程可得：\((4+2a+b)(1+a+b)=0\)，即\(3+a=0\)，解得\(a=3\)，将\(a=3\)代入\(1+a+b=0\)，得\(13+b=0\)，解得\(b=2\)。把\(y=xe^{x}\)代入非齐次方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)，\(y'=(x+1)e^{x}\)，\(y''=(x+2)e^{x}\)，则\((x+2)e^{x}3(x+1)e^{x}+2xe^{x}=ce^{x}\)，\((x+23x3+2x)e^{x}=ce^{x}\)，即\(e^{x}=ce^{x}\)，所以\(c=1\)。答案选A。3.若级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)条件收敛，则\(x=\sqrt{3}\)与\(x=3\)依次为幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的（）选项：A.收敛点，收敛点；B.收敛点，发散点；C.发散点，收敛点；D.发散点，发散点答案：B解析：已知级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)条件收敛，则幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)在\(x=2\)处条件收敛（令\((x1)=1\)），根据幂级数的性质，幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)的收敛半径\(R=1\)。对于幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)，设\(u_{n}=na_{n}(x1)^{n}\)，由幂级数的性质可知，幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)与幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)有相同的收敛区间。因为幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)的收敛区间为\((0,2)\)，其收敛半径\(R=1\)，那么幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的收敛半径也为\(R=1\)。当\(x=\sqrt{3}\)时，\(\vert\sqrt{3}1\vert\approx1.7321=0.732\lt1\)，所以\(x=\sqrt{3}\)是幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的收敛点。当\(x=3\)时，\(\vert31\vert=2\gt1\)，所以\(x=3\)是幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的发散点。答案选B。4.设\(D\)是第一象限中由曲线\(2xy=1\)，\(4xy=1\)与直线\(y=x\)，\(y=\sqrt{3}x\)围成的平面区域，函数\(f(x,y)\)在\(D\)上连续，则\(\iint_{D}f(x,y)dxdy=\)（）选项：A.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{2\sin2\theta}}^{\frac{1}{\sin2\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)；B.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)；C.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{2\sin2\theta}}^{\frac{1}{\sin2\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)dr\)；D.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)dr\)答案：B解析：利用极坐标变换\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，\(dxdy=rdrd\theta\)。由\(2xy=1\)，可得\(2r^{2}\cos\theta\sin\theta=1\)，即\(r^{2}=\frac{1}{\sin2\theta}\)，\(r=\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}\)；由\(4xy=1\)，可得\(4r^{2}\cos\theta\sin\theta=1\)，即\(r^{2}=\frac{1}{2\sin2\theta}\)，\(r=\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}\)。直线\(y=x\)，则\(\tan\theta=1\)，\(\theta=\frac{\pi}{4}\)；直线\(y=\sqrt{3}x\)，则\(\tan\theta=\sqrt{3}\)，\(\theta=\frac{\pi}{3}\)。所以\(\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)。答案选B。5.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^{2}\end{pmatrix}\)，\(b=\begin{pmatrix}1\\d\\d^{2}\end{pmatrix}\)，若集合\(\Omega=\{1,2\}\)，则线性方程组\(Ax=b\)有无穷多解的充分必要条件为（）选项：A.\(a\notin\Omega\)，\(d\notin\Omega\)；B.\(a\notin\Omega\)，\(d\in\Omega\)；C.\(a\in\Omega\)，\(d\notin\Omega\)；D.\(a\in\Omega\)，\(d\in\Omega\)答案：D解析：对增广矩阵\((A\vertb)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&a&d\\1&4&a^{2}&d^{2}\end{pmatrix}\)进行初等行变换，\(r_2r_1\)，\(r_3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a1&d1\\0&3&a^{2}1&d^{2}1\end{pmatrix}\)，再\(r_33r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a1&d1\\0&0&a^{2}3a+2&d^{2}3d+2\end{pmatrix}\)。其中\(a^{2}3a+2=(a1)(a2)\)，\(d^{2}3d+2=(d1)(d2)\)。线性方程组\(Ax=b\)有无穷多解的充要条件是\(r(A)=r(A\vertb)\lt3\)，即\(a^{2}3a+2=0\)且\(d^{2}3d+2=0\)，也就是\(a\in\Omega=\{1,2\}\)且\(d\in\Omega=\{1,2\}\)。答案选D。6.设二次型\(f(x_{1},x_{2},x_{3})\)在正交变换\(x=Qy\)下的标准形为\(2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\)，其中\(Q=(e_{1},e_{2},e_{3})\)，若\(P=(e_{1},e_{3},e_{2})\)，则\(f(x_{1},x_{2},x_{3})\)在正交变换\(x=Py\)下的标准形为（）选项：A.\(2y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\)；B.\(2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\)；C.\(2y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}\)；D.\(2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\)答案：A解析：已知\(f(x)=x^{T}Ax\)，在正交变换\(x=Qy\)下\(f(x)=y^{T}(Q^{T}AQ)y=2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}=\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}\)，即\(Q^{T}AQ=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)。又\(P=(e_{1},e_{3},e_{2})=Q\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，记\(C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，则\(P=QC\)。那么\(P^{T}AP=(QC)^{T}A(QC)=C^{T}(Q^{T}AQ)C\)。\(C^{T}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，\(C^{T}(Q^{T}AQ)C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}