（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义01 空间向量及其运算+随堂检测（教师版）

第页1.1空间向量及其运算【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2.利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2.利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【题型归纳目录】【典型例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算【例题1-1】下列命题为真命题的是（

）A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若，则､的长度相等且方向相同C．若向量､满足，且与同向，则D．若两个非零向量与满足，则.【答案】D【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；若，则､的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.故选：D.【例题1-2】如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，.故选：D【变式1-1】如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．(1)已知P是的中点，用、、表示、、；(2)已知P在线段上，且，用、、表示．【答案】(1)，，(2)【解析】(1)因为M、N、P分别是、BC、的中点所以，；；；(2)因为，所以，所以．【技巧总结】在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．题型二：共线向量定理的应用【例题2-1】如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．【分析】设分别表示出,，利用向量共线证明B，G，N三点共线．【详解】设则所以,∴.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．【变式2-1】已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．【分析】求出后可得它们共线，从而可证B，C，D三点共线．【详解】，而，所以，故B，C，D三点共线．【技巧总结】利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．题型三：共面向量及应用【例题3-1】下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.【例题3-2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．【分析】（1）通过证明来证得四点共面.（2）利用空间向量运算证得结论成立.(1).,所以，所以四点共面.(2).【变式3-1】如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.(1)用向量和表示向量；(2)向量是否与向量，共面？【答案】(1)；(2)是.【分析】（1）利用向量的线性运算得出和，进而由，得到向量与向量和的关系；（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.(1)解：∵，，∴.(2)解：由（1）可知，，∴向量与向量，共面.【变式3-2】如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.【答案】为定值4；证明见解析；【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，则.联结DM，点，，，M共面，故存在实数，满足，即，因此，由空间向量基本定理知，，故，为定值.【技巧总结】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．题型四：空间向量的数量积【例题4-1】如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．【答案】(1)在平面上的投影向量为，；(2)在上的投影向量为，.【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.(1)因为平面，所以在平面上的投影向量为，因为平面，面，可得，所以，因为，所以，所以.(2)由（1）知：，，所以在上的投影向量为：，由数量积的几何意义可得：.【变式4-1】已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.【答案】【分析】设，利用向量基本定理知，计算，知向量在向量方向上投影的数量为，进而求得其取值范围.【详解】由已知E为棱上的动点，设因为所以所以向量在向量方向上投影的数量为，又，，所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为【技巧总结】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角【例题5-1】如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基底表达，求解，从而求出；（2）计算出，用向量夹角余弦公式求解.(1)，，故，所以的长为；(2)，由（1）知：，设直线与所成角为∴，∴直线与所成角的余弦值为.【变式5-1】平行六面体，(1)若，，，，，，求长；(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.(1)，，，，∴，；(2)∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，设与所成的角为，则.【技巧总结】本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度【例题6-1】如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先按照空间向量的加减运算表示出，再按照数量积运算求出；（2）先表示出，再按照数量积运算求解.(1)，，，，，即有；(2)．【变式6-1】如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.(1)用向量，，表示；(2)求.【答案】(1).(2).【解析】(1)解：，所以；(2)解：因为.又因为四面体是正四面体，则，，，所以.【技巧总结】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。题型七：利用空间向量的数量积证垂直【例题7-1】如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判断与是否垂直．【答案】(1)，(2)(3)垂直【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.(1)解：根据空间向量的运算法则，可得，.(2)解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，则.(3)解：根据空间向量的运算法则，可得；则，所以与垂直．同步巩固练习一、单选题1．有下列命题：①若与平行，则与所在的直线平行；②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；③若、、两两共面，则、、一定也共面；④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．其中正确命题的个数为（

）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；【详解】解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确；②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确；③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面，可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确；④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误．故选：A2．已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面，则，对于选项A：，不满足题意；对于选项B：，不满足题意；对于选项C：，不满足题意；对于选项D：，满足题意.故选：D.3．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（

）A．1B．C．D．【答案】D【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由题意得，故.故选：D.4．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得，，因为,所以，所以，故选：C5．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【详解】因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个，故选C.6．已知空间四边形中，，则______．【答案】0【分析】根据向量的加法的几何意义，将化为，结合数量积的运算法则和向量的线性运算，即可求得答案.【详解】在空间四边形中,,则,故答案为：07．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．【答案】【分析】根据题意得到面，，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合，由向量的运算公式，即可求得的值.【详解】解：因为，，可得平面，，当最短时，面，且，所以为的中心，为的中点，如图所示，又因为正四面体的棱长为，，所以，因为平面，所以，因为，所以.故答案为：.8.已知､､是不共面的向量，且，，，.(1)判断P､A､B､C四点是否共面；(2)能否用､､表示？并说明理由.【答案】(1)不共面；(2)能，理由见解析【分析】（1）利用反证法判断出四点不共面.（2）结合平面向量的线性运算，用､､表示出.(1)假设P､A､B､C四点共面，则存在实数x､y､z，使，且，即.比较对应的系数，得到关于x､y､z的方程组，解得，这与矛盾，故P､A､B､C四点不共面；(2)能用､､表示，理由如下：若､､共面，则存在实数m､n，使，同（1）可证，､､不共面，即是向量､与的线性组合，令，，，由，得，所以.9.已知平行六面体的各棱长均为1，且．(1)求证：；(2)求对角线的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）因为，所以利用空间向量数量积的定义及运算性质，从而即可证明；（2）因为，所以利用空间向量数量积的定义及运算性质即可求解.(1)证明：由题意，平行六面体的各棱长均为1，，因为，所以，所以；(2)解：因为，所以.所以.10.已知在平行六面体中，，，，且.（1）求的长；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.【详解】（1）由题可知，，那么，因此，的长为；（2）由题知，，则，，所以，.1.1空间向量及其运算随堂检测1.下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】D【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：D.2.化简所得的结果是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】依据向量加减法运算规则去求化简即可,【详解】故选：D3.正六棱柱中，设，，，那么等于（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.【详解】正六棱柱中，故