（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义04 空间向量的应用+随堂检测（教师版）

第页1.4空间向量的应用【知识点梳理】知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.知识点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．2.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3.点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【题型归纳目录】题型一：求平面的法向量题型二：利用向量研究平行问题题型三：利用向量研究垂直问题题型四：异面直线所成的角题型五：线面角题型六：二面角题型七：距离问题【典型例题】题型一：求平面的法向量【例题1-1】如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．【答案】(1)(2)(3)【分析】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，（1）由于平面，所以为平面的一个法向量，（2）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量，（3）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量(1)以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，因为平面，所以为平面的一个法向量，所以平面的一个法向量为，(2)设平面的法向量为，因为，所以，令，则，所以平面的一个法向量为，(3)设平面的法向量为，因为，所以，令，则所以平面的一个法向量为【方法技巧与总结】求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出．题型二：利用向量研究平行问题【例题2-1】在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．(1)判断PQ与BD的位置关系；(2)求的最小值．【答案】(1)PQ与BD的位置关系是平行(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ与BD的位置关系；（2）用含参数的表达式求出，进而求出最小值.(1)以D为原点，以射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，，，．因为P、Q均在平面上，所以设，，则，，．因为，，所以解得:所以，，即，，所以PQ与BD的位置关系是平行．(2)由（1）可知：，，所以．当时，有最小值，最小值为．【变式2-1】在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面；（2）利用向量法证得平面；（3）利用向量法证得平面平面．(1)设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，，，，所以，由于，所以平面.(2)设平面的法向量为，则，故可设.，，平面，所以平面.(3)，设平面的法向量为，则，故可设.，显然，平面与平面不重合，所以平面平面.【方法技巧与总结】（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．题型三：利用向量研究垂直问题【例题3-1】如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，由于，所以平面.【变式3-1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点.【分析】以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.（1）计算即可证明；（2）求出面A1BD与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴，，，.∴,取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.【方法技巧与总结】（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．题型四：异面直线所成的角【例题4-1】如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线与所成角．【答案】(1)(2)【分析】（1）由圆锥侧面积公式可求得母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果；（2）解法一：取边上中点，由线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质得，由此可得结果；解法二：取圆弧中点，连结，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量运算可得，知，由此可得结果.(1)设圆锥母线长为，，，即，圆锥的高，.(2)解法一：取边上中点，连结，，，是的中位线，；垂直于底面，垂直于底面，；，为中点，，即；，平面，平面，又平面，，即异面直线与所成角为.解法二：取圆弧中点，连结，则；以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，即，异面直线与所成角为.【变式4-1】已知正方体的棱长为1，O为中点．(1)证明：平面；(2)求异面直线与OD所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，继而求得平面的一个法向量，计算，即可证明结论；（2）求得直线与OD的一个方向向量为，，根据向量的夹角公式，结合异面直线所成交的范围，求得答案.(1)如图，以D为原点，射线DA、DC、分别为x、y、z轴的正向，建立空间直角坐标系，则有，，,故，．设平面的一个法向量为，由得，令，则，，所以．又，从而，即．∵不在平面内，所以平面．(2)直线与OD的一个方向向量为，，得，又设异面直线与OD所成角为，则，故，所以异面直线与OD所成角的大小为．【方法技巧与总结】已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．题型五：线面角【例题5-1】平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)﹒【分析】(1)证明AC⊥AB，从而得AC⊥平面ABEF即可；(2)以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，则点到平面的距离为在方向投影的绝对值；(3)根据E、H、F三点共线，表示出H点坐标，根据可求出H坐标，求出平面法向量，利用向量即可求出直线与平面成角的大小﹒(1)中，，由余弦定理得，，，，平面平面，平面平面＝，平面，平面，.(2)以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，则，，设平面的法向量为，则，即，取，∴点到平面的距离；(3)，，，，设点坐标，，∵E、H、F三点共线，∴，，∴，∴，解得，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面成的角为，，∴直线与平面成的角为.【变式5-1】如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．(1)求证：平面平面PAD；(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；或【分析】（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.(1)证明：连接，因为底面为菱形，，所以是正三角形，是的中点，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．(2)由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，．设平面的法向量，则即令，得平面的一个法向量．设与平面所成的角为，则，解得或，即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．【方法技巧与总结】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．题型六：二面角【例题6-1】如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．(1)证明：∥平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）延长交于点P，延长交于O点，连接,证明即可.（2）证明两两垂直，以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.(1)延长交于点P，延长交于O点，连接．因为点M，N分别为和的重心，所以点P，O分别为和的中点，所以，又平面，平面，所以平面．(2)当三棱锥的体积最大时，点D到底面的距离最大，即平面平面，连接，因为和均为正三角形，于是，又平面平面，所以平面，所以两两垂直，以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，所以，又二面角即二面角，设平面的一个法向量为，则可得，取，则，同理设平面的一个法向量为，则,即，取，则，所以，由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．【方法技巧与总结】如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，题型七：距离问题【例题7-1】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据勾股定理可得，再根据线面垂直的判定可得平面，进而根据正三角形与线面垂直的性质与判定可得平面；（2）取中点为中点为，可得两两垂直，再建立空间直角坐标系根据线面角与点面距离的方法求解即可(1)证明：由题知，因为，所以，又，所以，又，所以平面，又平面，所以，在正三角形中，为中点，于是，又，所以平面(2)取中点为中点为，则，由（1）知平面，且平面，所以，又，所以，所以平面，于是两两垂直如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为，则，即令，则于是设，则由于直线与平面所成角的正弦值为于是，即，整理得，由于，所以于是设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离为.【变式7-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（1）求异面直线与间的距离；（2）在侧面PAB内找一点N，使平面，并求出N到AB和AP的距离.【答案】（1）；（2）到的距离为，到的距离为.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离.（2）设，利用平面列方程，求得，由此求得点的坐标，从而求得到和的距离.【详解】（1）由题意得AB⊥AD，PA⊥AD，PA⊥AB.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，B(，0，0)，∴=(，1，0)，=(，0，-2)，=(0，0，2)，设异面直线AC、PB的公垂线的方向向量为，则，，∴令x=1，则y=-，z=，即.设异面直线AC、PB之间的距离为d，则d===.（2）设在侧面PAB内存在一点N(a，0，c)，使NE⊥平面PAC，由（1）知E，∴=，∴,解得,∴，∴N到AB的距离为，N到AP的距离为.【方法技巧与总结】1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【同步练习】一、单选题1．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用坐标法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，∴，∴，即异面直线EF与所成角的余弦值为.故选：A.2．已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用表示向量，然后由数量积的运算求得向量的夹角的余弦，得异面直线所成角的余弦．【详解】设直三棱柱的棱长为1，则，点D，E分别是棱，的中点，，，，所以．所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为故选：A．3．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理可得平面，进而可判断A；利用勾股定理和反证法即可判断B；建立如图空间直角坐标系，利用向量法和反证法即可判断C；根据等体积法即可判断D.【详解】A：由题意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以与不相交，故A错误；B：连接，如图，当点为的中点时，，又，所以，若点在平面的射影为，则平面，垂足为，所以，设正方体的棱长为2，则，在中，，所以，即不成立，故B错误；C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，所以异面直线与所成角为直线与所成角，设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，则，所以，所以，又，得，解得，不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；D：如图，由等体积法可知，又，为定值，所以为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：D.4．已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】由题意写出，，由向量夹角公式计算可得然后由不等式可得最值.【详解】正方体的棱长为,可得，,点，则，由动点满足直线与所成夹角为可得，整理得由，可得，当时取等号，即最大值为2，故选：D二、填空题5．若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．【答案】垂直或【分析】由题意可得与共线，从而可得答案【详解】因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，所以与共线，，所以直线l与平面的位置关系为垂直，故答案为：垂直或6．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角大小为________.【答案】【分析】依题意可得平面法向量为，直线方向向量，根据空间向量法求出线面角的大小；【详解】解：由平面的方程为得平面法向量为，经过直线的方程为得直线方向向量，设直线与平面所成角是，则，又，所以，所以；故答案为：三、解答题7.如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求出点A在平面上的投影M的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）以D点为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用向量的夹角公式求解即可，（2）设，则，表示出，然后由，，列方程组可求出结果(1)因为平面，平面，所以，因为，所以，，两两垂直，所以以D点为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，所以异面直线与所成的角的余弦值为．(2)设，则．又，由，，得，解得．所以．8．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，，．(1)求证：；(2)求直线CA与平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据题意利用勾股定理可证，结合面面垂直的性质定理理解证明；（2）利用空间向量，根据处理运算．(1)如图所示，设AC与BD的交点为O．因为四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，所以．在中，，即．又因为，所以，．同理可得，．因为，所以．又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD．所以平面PBD，又因为平面PBD，所以．(2)取OB，AB的中点E，F，连接PE，EF．由（1）知平面PBD，又平面PBD，所以，所以．因为，所以，平面平面ABD，平面平面，平面PBD，所以平面ADB，．又因为E，F为OB，AB的中点，所以．以E为坐标原点，EF，EB，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：所以，，，，，所以，，．设平面PBC的一个法向量为，则，取，所以．设直线CA与平面PBC所成的角为θ，则．所以直线CA与平面PBC所成角的正弦值是．9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.(1)求证：为中点；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求直线到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）由线面平行的性质得线线平行，再根据中点可证明结论.（2）判断出点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.（3）利用向量法求得直线到平面的距离.(1)连接，交于点，则平面平面，又因为平面，平面，则，由于底面为正方形，所以点为的中点，因此可得为中点.(2)由（1）知是的中点.由于平面，所以，故两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，，设平面的法向量为，所以，故可设，平面的法向量为，平面与平面夹角为，则.(3)由于平面，则到平面的距离，即到平面的距离.,到平面的距离为.即直线到平面的距离为.1.4空间向量的应用随堂检测1.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；【详解】解：因为，，所以，因为平面的一个法向量为，所以，则，解得，故选：C.2.已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（

）A． B． C．4 D．10【答案】C【分析】由向量的坐标运算得，再由平面的距离即可求解.【详解】由题意，得，又知平面的一个法向量，则到平面的距离，故选：C.3.已知