（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义09 直线与圆、圆与圆的位置关系+随堂检测（原卷版）

第页2．5直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．知识点二：圆的切线方程的求法1．点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是．知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点四：圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2．圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．3．两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【题型归纳目录】题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【典型例题】题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系【例题1-1】直线和圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切【变式1-1】圆与直线的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标【例题2-1】已知直线平分圆：，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式2-1】若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式2-2】若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2-3】若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．或题型三：切线与切线长问题【例题3-1】已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________．【变式3-1】由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．题型四：弦长问题【例题4-1】在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为______．【变式4-1】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________．【变式4-2】已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．题型五：判断圆与圆的位置关系【例5-1】已知圆和，则两圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【变式5-2】已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（

）A．内含 B．相交 C．内切 D．相离题型六：由圆的位置关系确定参数【例6-1】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式6-1】已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4题型七：公共弦与切点弦问题【例题7-1】已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为____．【变式7-1】已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______【变式7-2】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式7-3】已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（

）A． B．C． D．题型八：公切线问题【例题8-1】已知圆．若圆与圆有三条公切线，则的值为___________．【变式8-1】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（

）A． B． C． D．【变式8-2】已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（

）A． B．17 C． D．15题型九：圆中范围与最值问题【例题9-1】已知直线与圆交于不同的两点，，点，则的最大值为______．【变式9-1】直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________．【变式9-2】若点M为圆上任意一点，直线过定点P，则的最大值为______．【变式9-3】当圆的圆心到直线的距离最大时，（

）A． B． C． D．【变式9-4】已知圆．（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．同步巩固练习一、单选题1．设圆，圆，则圆，的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（

）A． B．C． D．3．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．154．若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．5．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在二、填空题6．直线与半圆有两个交点，则的值是____．三、解答题7．已知圆，平面上一动点P满足：且，.(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点N的直线l（斜率为正）交圆G于A､C两点，交P的轨迹于B､D两点（A､B在第一象限），若，求直线l的方程.8．已知直线过定点，且与圆交于、两点．(1)求直线的斜率的取值范围．(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．5直线与圆、圆与圆的位置关系随堂检测1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能2.过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B． C． D．或3.已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切4.若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1C．b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b5.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．6.已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（

）A． B． C． D．7.过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B． C． D．8.在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（

）A．4条 B．3条 C．2条 D．