典型例题：5道导数在函数中的应用_第1页
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典型例题：5道导数在函数中的应用_第3页
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2/3导数在研究函数中的应用例1．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0,f'(x)>0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。若a<0，∵f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。∴a<0且单调减区间为，单调增区间为。例2．求函数y=2ex+e-x的极值。解析：y'=2ex-e-x，令y'=0,即2e2x=1,列表：xy'-0+y↘极小值↗∴y极小。例3．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。解析：f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0，则x1=-1，x2=1。则f(-1)=-2,f(1)=2，又,∴[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18。例4．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。解析：设点B的坐标为(x,0)且0<x<2,∵f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2,∴点C的坐标为(4-x,0),∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2。∴矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)令y'=0，解得，∵0<x<2,∴取。∵极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。例5．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？解析：如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，∵，由A到C的时间T，则（0≤x≤15）（0≤x≤15）令T'=0，解得x=3，在x=3附近，T'由负到正，因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。

跟踪训练题：1．函数y=4x2(x-2),x∈[-2，2]的最小值是_____。2．一个外直径为10cm的球，球壳厚度为，则球壳体积的近似值为____。3．函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是______，极小值是_____。4．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？参考答案：1.–642.19.63cm33.4；4.设高为h，底边长为a，则所用材料为S=a2+4ah,而a2h=256，a∈(0,+∞),∴,a∈(0,+∞),令S'(a

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