函数模型的应用-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

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章4.5函数的应用（二）人教A版2019必修第一册4.5.3函数模型的应用学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题（重点）．2.能根据实际需要构建指数型函数模型解决实际问题（难点）．3.经历分析问题->建立函数模型->解决问题的过程培养数据分析、数学建模核心素养目录01.已知函数模型解决实际问题03.课堂习题训练02.建立适当的函数模型解决实际问题04.小结及课后作业01已知函数模型解决实际问题4.5.3函数模型的应用面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？导入新知面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？学习新知例3人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示

t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万。根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950-1959年期间的具体人口增长模型；思考：确定哪些量才能确定人口增长模型？确定其中的初始量y0和年平均增长率r自然状态学习新知马尔萨斯人口增长模型应用新知表4.5-4是1951~1958年各年末我国的实际人口总数：t12345678年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661465628286456365994

（2）利用（1）中的模型计算1951-1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951-1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.应用新知由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合．应用新知

（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1991年），我国的人口就已达到13亿应用新知思考事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．学习新知尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．课后上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？学习新知例42010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？碳14年检测法学习新知利用已知函数模型求解实际问题步骤阅读文本，理解实际问题理解模型，明确条件要素数学运算，求解函数模型回归现实，验证应用模型02建立适当的函数模型解决实际问题4.5.3函数模型的应用学习新知

例5假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？

探究：合作讨论三种投资方案对应的函数模型学习新知解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；

y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.4×2x-1(x∈N*)如何选择一个标准比较它们的差异，为选择投资方案提供依据？学习新知x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4学习新知根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?方案一每天的增长量是0;方案二每天的增长量为10,方案三每天的增长量不断变大，时间越靠后，增长量越大。除了表格还可以通过图象直观反映函数的增长情况学习新知20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1问题：根据以上的分析，是否应作这样的选择:投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？学习新知根据以上分析,你认为该作出何种选择?除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?累计回报表

天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8投资1-6天,应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。学习新知常数函数一次函数指数型函数函数的增长情况：保持不变

直线上升匀速增长急剧增长指数爆炸没有增长学习新知解决实际问题的步骤：实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解03课堂习题训练4.5.3函数模型的应用能力提升能力提升能力提升04小结及课后作业4.5.3函数模型的应用课堂总结小结：函数建模实际情境提出问题数学模型数学结果检验