专题8综合与实践(全国趋势)课件2026年中考数学一轮复习（福建省）

专题突破篇专题八综合与实践(全国趋势)1．中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元．类型1跨学科融合类型1类型2类型3类型4类型5类型6附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表国家GDP总量(单位：万亿美元)国家GDP总量(单位：万亿美元)德国4.59巴西2.33印度3.93俄罗斯2.05英国3.49韩国1.76法国3.13瑞士0.93类型1类型2类型3类型4类型5类型6预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？[2025长沙](

)A．法国B．瑞士C．巴西D．英国类型1类型2类型3类型4类型5类型6B2．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为________°.[2025北京]类型1类型2类型3类型4类型5类型6433．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD≈________．(单位：N)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)[2024福建4分]类型1类型2类型3类型4类型5类型6128点拨：如图．∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，类型1类型2类型3类型4类型5类型6∴∠ADQ＝∠PDA－∠PDQ＝70°－30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°.∵AB∥QD，∴∠BAD＝∠ADQ＝40°.在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°，∴F2＝BD＝AD·sin∠BAD＝400×sin40°≈400×0.64＝256.由题意可知，BD⊥DQ，∴∠BDC＋∠1＝90°，∴∠BDC＝90°－∠1＝60°.类型1类型2类型3类型4类型5类型64．工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0，1，2或3)的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下：类型2数学实验类型1类型2类型3类型4类型5类型6T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对(x，y)所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线CT.当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示．x0123456789T＝0时y的值07810121620232526T＝3时y的值0263743m4850515253类型1类型2类型3类型4类型5类型6(1)观察曲线C1，当整数x的值为________时，y的值首次超过35；(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3；x0123456789T＝0时y的值07810121620232526T＝3时y的值0263743m4850515253类型1类型2类型3类型4类型5类型66解：m＝46.在平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3如图所示．(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第________日可获得“优秀学员”证书；②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行________日的模拟练习．[2025北京]类型1类型2类型3类型4类型5类型6715.数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆[2025长春改编]【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆．类型1类型2类型3类型4类型5类型6【探究一】线段的最小覆盖圆线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆．理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B.如图①，以AB为直径作⊙O，再过A，B两点作⊙O′(O′与O不重合)，连接O′A，O′B.在△O′AB中，有O′A＋O′B>AB(▲)．∵O′A＝O′B，∴2O′A>AB，即⊙O′的直径大于⊙O的直径．∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为_________________________________．类型1类型2类型3类型4类型5类型6三角形的任意两边之和大于第三边【探究二】直角三角形的最小覆盖圆要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边(斜边)的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.⊙O是以AB为直径的圆．请你判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由．又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆．类型1类型2类型3类型4类型5类型6类型1类型2类型3类型4类型5类型6点C在⊙O上．理由如下：连接OC.∵∠ACB＝90°，⊙O是以AB为直径的圆，∴OC＝OA＝OB，∴点C在⊙O上．【拓展应用】矩形的最小覆盖圆如图③，在矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm.(1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆：(不写作法，保留作图痕迹)(2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为____________cm；(3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为________cm.类型1类型2类型3类型4类型5类型6(1)如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆．6．综合与探究[2025深圳]【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．类型3实践探究类型1类型2类型3类型4类型5类型6【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC.求：①AD与BC的位置关系为__________；②AC2________AD·BC.(填“>”“<”或“＝”)类型1类型2类型3类型4类型5类型6AD∥BC

＝【方法应用】①如图4，若AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．类型1类型2类型3类型4类型5类型6证明：∵△ADE由△ABC旋转得到，AC＝BC，∴AB＝AD，AE＝AC＝BC＝DE，∠ADE＝∠B.∴∠ADB＝∠B，令∠B＝α，则∠BAD＝180°－2α，∠ADE＝∠B＝α，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝α.∴∠E＝180°－2α.∴∠E＝∠BAD.∴四边形ABDE是双等四边形．②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB＝

，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．类型1类型2类型3类型4类型5类型6类型1类型2类型3类型4类型5类型6类型1类型2类型3类型4类型5类型6类型1类型2类型3类型4类型5类型67.综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．(1)【几何直观】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是_________________，∠AD′C与∠ADB的数量关系是______________________；类型1类型2类型3类型4类型5类型6相等(或CD′＝BD)相等(或∠AD′C＝∠ADB)(2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；类型1类型2类型3类型4类型5类型6证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，BC＝DC.∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′.∴∠DCB＝∠ECE′＝90°，∴∠DCB－∠BCE＝∠ECE′－∠BCE，即∠DCE＝∠BCE′.类型1类型2类型3类型4类型5类型6∴△BCE′≌△DCE.∴∠BE′C＝∠DEC＝90°.∵∠CED＋∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°，∴∠BE′C＝∠ECE′＝∠CEF＝90°.∴四边形CEFE′是矩形．又∵CE＝CE′，∴四边形CEFE′是正方形．(3)【深度探究】如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使

，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝____________；类型1类型2类型3类型4类型5类型6类型1类型2类型3类型4类型5类型68．材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．类型4实践操作类型1类型2类型3类型4类型5类型6【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气－液界线的切线与固－液界线的夹角，图①中的∠PMN就是水滴的一个接触角．类型1类型2类型3类型4类型5类型6(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)类型1类型2类型3类型4类型5类型6解：①在圆弧上取一点C，设交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；②分别作MC，NC的垂直平分线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则∠PMN即为所求，如图①.类型1类型2类型3类型4类型5类型6(2)材料的疏水性随着接触角的变大而________(选填“变强”“不变”“变弱”)．类型1类型2类型3类型4类型5类型6变强【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC)，求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数(如图③)．(3)请探索图③中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示)，并说明理由．类型1类型2类型3类型4类型5类型6解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：如图②，连接OA，则OA＝OB，∴∠ABC＝∠OAB.∵AD为切线，∴OA⊥AD，∴∠OAB＋∠BAD＝90°.∵BC⊥AC，∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∴∠BAD＝∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＋∠BAC＝2∠BAC.类型1类型2类型3类型4类型5类型6【创新思考】(4)材料的疏水性除了用接触角以及图③中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．[2025扬州]类型1类型2类型3类型4类型5类型6类型1类型2类型3类型4类型5类型69．某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图①所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．[2025广州改编]类型5项目式学习类型1类型2类型3类型4类型5类型6发现问题确定目标涉水线设置限高架设置数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图②所示.图③为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成.类型1类型2类型3类型4类型5类型6发现问题确定目标涉水线设置限高架设置信息收集资料整理当隧道内积水的水深为0.27米时(即积水达到涉水线处)，车辆应避免通行.车辆进入隧道，应在行驶车道内通行(禁止压线)，且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米.类型1类型2类型3类型4类型5类型6发现问题确定目标涉水线设置限高架设置实地考察数据采集斜坡的坡角α为10°，并查得：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176.隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线(宽度忽略不计)与墙面的距离为1米.类型1类型2类型3类型4类型5类型6问题解决：(1)如图②，求涉水线离坡底的距离MN(精确到0.01米)；类型1类型2类型3类型4类型5类型6解：如图①，过点M作MP⊥l，则∠MPN＝90°.∵斜坡的坡角α为10°，隧道内积水的水深为0.27米，∴∠MNP＝10°，MP＝0.27米．(2)在图③中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；类型1类型2类型3类型4类型5类型6解：如图②所示，以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系．依题意，可设抛物线ACB的解析式为y＝ax2(a<0)，∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．∴B(5，－2.4)，把(5，－2.4)代入y＝ax2，得－2.4＝25a，∴a＝－

，∴y＝－

x2.(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”(即最大安全限高)，则h的值约为__________米(精确到0.1米)．类型1类型2类型3类型4类型5类型63.5∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”(即最大安全限高)，且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米，∴h＝3.864－0.3＝3.564(米)．∵涉及安全问题，∴h＝3.564≈3.5(米)．类型1类型2类型3类型4类型5类型610．阅读与思考[2025山西]下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.类型6阅读理解类型1类型2类型3类型4类型5类型6双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，如图①②③中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段．类型1类型2类型3类型4类型5类型6类型1类型2类型3类型4类型5类型6【问题解决】问题1：如图④，在矩形ABCD中，AB<AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝__▲__°.类型1类型2类型3类型4类型5类型6问题2：如图⑤，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD，BE.求证：线段AD是线段BE的双关联线段．证明：如图⑤，延长DA交BE于点F.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°.∵∠BAC＋∠BAE＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∴∠BAE＝∠ACD(依据)．∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD，∴BE＝AD，∠E＝∠D.…类型1类型2类型3类型4类型5类型6任务：(1)问题1中的∠ACB＝________°，问题2中的依据是____________________；(2)补全问题2的证明过程；类型1类型2类型3类型4类型5类型630等角的补角相等解：∵∠AFB是△AEF的外角，∴∠AFB＝∠EAF＋∠E.∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD＋∠D.∵∠EAF＝∠CAD，∠E＝∠D，∴∠AFB＝∠ACB＝60°.即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.∵AD＝BE，∴线段AD是线段BE的双关联线段．(3)如图，点C在线段AB上，请在图中作线段AB的双关联线段CD.(要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可)．类型1类型2类型3类型4类型5类型6解：答案不唯一．如图，线段CD即为所求．11.阅读材料，回答问题．[2025福建12分]主题两个正数的积与商的位数探究提出问题小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个(m＋n－1)位的正整数.分析探究问题1小明的猜