余角和补角课件浙教版数学七年级上册

6.8余角和补角第6章图形的初步知识1.理解互为余角和补角的概念.(重点)2.掌握余角和补角的性质及其简单应用.(重点、难点)学习目标台球比赛中，一次被击打母球的线路如图.若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度(入射角与反射角相等)？情境引入一、互余、互补的概念问题1

一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？提示形成了4个角，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°.∠1与∠2有什么数量关系？∠3与∠4又有什么数量关系？知识梳理1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角

，简称_____.2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角

，简称_____.互为余角互余互为补角互补例1

(2025·嘉兴期中)将一副三角板按如图位置摆放，其中∠1与∠2互余的是√解析A项，如图，由题意得∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∠3=45°，∠4=30°，所以∠2=45°，∠1=60°，所以∠1+∠2=105°，则∠1与∠2不互余，故此选项不符合题意；B项，由题意得∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，故此选项符合题意；C项，由题意得∠1=∠2，不能求出∠1+∠2=90°，则∠1与∠2不一定互余，故此选项不符合题意；D项，由题意得∠1+∠2=180°，则∠1与∠2不互余，故此选项不符合题意.

(1)已知∠A与∠B互补，若∠A=60°，则∠B的度数为A.30° B.60°C.120° D.150°跟踪训练1√解析因为∠A与∠B互补，∠A=60°，所以∠B=180°-60°=120°.(2)下列说法正确的是A.一个角的补角大于这个角B.小于平角的角的补角是钝角C.互余的两个角可以不共顶点D.若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互为余角√解析A项，钝角的补角是锐角，小于这个角，故本选项错误；B项，小于平角的角可以是钝角、直角、锐角，所以小于平角的角的补角可以是钝角、直角、锐角，故本选项错误；C项正确；D项，互为余角是两个角的关系，故本选项错误.(3)(2025·杭州期末)一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是A.30° B.45° C.60° D.75°√解析设这个角是x，则90°-x=2x，解得x=30°.二、余角、补角的性质问题2

(1)如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？提示相等.理由：由题意得∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，因为∠1=∠3，所以∠2=∠4.(2)如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？提示相等.理由：由题意得∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，因为∠1=∠3，所以∠2=∠4.知识梳理余角性质：同角或等角的余角

.补角性质：同角或等角的补角

.相等相等如图所示，点O在直线AB上，且∠AOC=∠BOC=90°，∠EOF=90°，试判断∠AOE，∠COE与∠BOF的关系.例2解由题意知，∠AOE与∠COE互余，∠COF与∠COE互余，根据同角的余角相等可知∠AOE=∠COF，同理可知∠COE=∠BOF，而∠COF与∠BOF互余，所以∠AOE与∠BOF互余.

(1)将一幅三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.可知∠1=∠3，理由是

.

跟踪训练2同角的余角相等解析根据同角的余角相等可知，∠ACD-∠2=∠ECB-∠2，即∠1=∠3.(2)如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，“乙”尺是含45°角的直角三角尺，则如图中α与β一定相等的是

A.①② B.②③

C.②④

D.③④√解析在题图①中，∠α+∠β+90°=180°，则∠α+∠β=90°，故∠α与∠β不一定相等；在题图②中，根据同角的余角相等得∠α=∠β；在题图③中，根据等角的补角相等得∠α=∠β=135°；在题图④中，∠α=45°，∠β=60°，故∠α与∠β不相等，综上所述，α与β一定相等的是②③.(3)已知O是直线AB上一点，在同一平面内直线AB的同侧有∠AOD=∠DOB=∠COE=90°.①请画出题设的图形，并分别写出∠COD的余角，∠AOC的补角；解如图，∠COD的余角为∠AOC，∠DOE；∠AOC的补角为∠BOC.②写出图中相等的锐角，并说明理由.解图中相等的锐角有∠AOC=∠DOE；∠BOE=∠COD.理由如下：因为∠AOD=∠DOB=∠COE=90°，所以∠AOC+∠COD=90°，∠COD+∠DOE=90°，所以∠AOC=∠DOE；因为∠BOE+∠DOE=90°，∠COD+∠DOE=90°，所以∠BOE=∠COD.三、余角、补角性质的应用

例3

30°

(1)(2025·杭州拱墅区期末)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少110°，则这个角的度数为

.

跟踪训练3解析设这个角是x°，3(90-x)=2(180-x)-110，所以x=20.20°(2)如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62°52'的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°12'的方向上，则∠AOB的补角的度数是

.

101°4'解析因为OA是表示北偏东62°52'方向的一条射线，OB是表示南偏东38°12'方向的一条射线，所以∠AOB=180°-62°52'-38°12'=78°56'，所以∠AOB的补角的度数是180°-78°56'=101°4'.1.下列判断正确的有①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③锐角和钝角互补；④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等.A.0个 B.1个

C.2个

D.3个√解析锐角的补角一定是钝角，①正确；钝角的补角小于这个角，②错误；锐角和钝角不一定互补，③错误；如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，④正确，综上，正确的判断有2个.2.若∠α=90°-m，∠β=90°+m，则∠α与∠β的关系是A.互补 B.互余C.和为钝角 D.和为周角√解析因为∠α=90°-m，∠β=90°+m，所以∠α+∠β=90°-m+90°+m=180°，所以∠α与∠β互补.3.一个角的度数是42°46'，则它的余角的度数为A.47°14' B.47°54'C.57°14' D.37°54'√解析根据题意得90°-42°46'=47°14'.4.(2025·杭州西湖区期末)如图，已知∠AOC=∠BOD=90°.

(1)若∠BOC=20°，求∠AOB的度数；解因为∠BOC=20°，∠AOC=90°，所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=110°.(2)∠COD与∠AOB互补吗？请说明理由.解∠COD与∠AOB互补，理由如下：设∠COD=x，因为∠BOD=90°，所以∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-x，因为∠AOC=90°，所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=90°-x+90°=180°-x，所以∠COD+∠AOB=x+180°-x=180°，所以∠COD与∠AOB互补.5.如图，O，D，E三点在同一直线上，∠AOB=90°.(1)图中∠AOD的补角是

，∠AOC的余角是

；

解题图中∠AOD的补角是∠AOE，∠AOC的