青海省金太阳2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题（含答案）

高三数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则AUB的真子集个数为

A.4B.6C.15D.16

2.

A.5B.√5C.10D.2√5

3.若向量a=(2,1),b=(1,x),且a⊥(a+b),则x=

A.-7B.7C.3D.-3

4.已知各项均不为零的数列{a}满足an+m=an·am(n,m∈N*),若a┐=8,则asag=

A.2√2B.16C.4D.64

5.已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是

图1图2

A.y=-f(|x|+1)B.y=f(|x-1|)

C.y=f(1-|x|)D.y=f(|x|-1)

6.设抛物线的焦点为F,点P在抛物线C上，Q(0,7),若|PF|=|QF|,则|PQ|=

A.14B.7√2C.14√2D.28

7.氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.500g氡气经过散发后

的剩余量A(单位：g),与散发时间t(单位：天)的关系为t=logA+k,其中a,k为常数.在

此条件下，已知500g氡气散发后的剩余量从250g降到208.5g时，散发时间增加了1天，

【高三数学第1页(共4页)】

则500g氡气散发后的剩余量从200g降到166.8g时，散发时间增加了

A.0.5天B.1天

C.2天D.5天

A.ln(ab)<0B.In(ab)>0

C.e-b>1D.e-<1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数f(x)=√3sin2x—cos2x,则

A.f(x)的最小正周期为π

B.将曲线y=f(x)向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称

C.f(x)图象的一个对称中心为点(

D.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)

10.已知P为椭圆C:上一动点，C的左、右焦点分别为F₁,F₂,定点M(-1,2),则

下列选项正确的是

A.△PF₁F₂的周长为定值10

B.△PF₁F₂面积的最大值为2√5

C.|PM|+|PF₁|的最大值为6+√13

D.若直线l与椭圆C交于A,B两点，且AB的中点为M,则l的斜率为

11.已知圆O:x²+y²=9,下列说法正确的是

A.若过点P(√2,一√3)的直线与圆O交于A,B两点，则|AB|的取值范围为[4,6]

B.圆O上有4个点到直线l:√3x-y-2=0的距离为1.9

C.若圆O与圆C:(x-5)²+(y-12)²=r²(r>0)没有公切线，则r的取值范围为(0,16)

D.过直线l:x-y+6=0上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C,D,则直线CD必过

定点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若一正方体外接球的体积为9√2π,则该正方体内切球的表面积为▲·

13.展开式的二项式系数之和为1024,则n=▲;常数项为▲

14.设等差数列{an},{b}的前n项和分别为S,Tn,,贝

【高三数学第2页(共4页)】

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频

率分布直方图.数据的分组依次为(40,50),(50,60),(60,70),(70,80),[80,90],[90,100].

(1)求图中a的值，并估计这50名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表).

(2)若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被

评为“消防达人”?

(3)从低于60分的学生中随机抽2名学生，记成绩在[50,60]内的人数为X,求X的分布列

及期望.

频率/组距

0.030

0.024

0.020

a

.0.

0.0064

O405060708090100成绩/分

16.(15分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c

(1)求角A;

(2)若a=√7,△ABC的面积,求b+c.

17.(15分)

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC,AA₁,AC,A₁C₁的中点分别为D,E,F.

(1)证明：平面ACB₁⊥平面BEF.

(2),且BC与平面BEF所成角的正弦值为,求平面BB₁C与平面DB₁C

夹角的余弦值.

【高三数学第3页(共4页)】

18.(17分)

已知双曲线C:的离心率,且焦点到渐近线的距离为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两

点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值.

19.(17分)

已知函数

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

(2)证明：

(3)证明：

【高三数学第4页(共4页)】

高三数学试卷参考答案

1.C因为AUB={1,2,3,4},所以AUB的真子集个数为2⁴-1=15.

2.B

3.A因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a²+a·b=5+(2+x)=0,所以x=-7

4.D因为an+m=a·am(n,m∈N*),所以an+1=an·a₁,所以数列{an}为等比数列.因为a₇

=8,所以asag=(a₇)²=64.

5.C由定义域{x|x≠±1},可以排除A,B;令x=0,得,所以排除D.

6.C由题意可知F(0,—7),则|PF|=|QF|=14.因为抛物线C的通径长为2p=28,所以

PF⊥y轴，所以|PQ|=√14²+14²=14√2.

7.B记500g氡气经过散发后的剩余量为250g,208.5g,200g,166.8g时，散发时间分别为

t₁,t₂,t₃,t4.由.834=1,解得a=

8.A,所以

6-b³-3=()²-()⁻³-3.设f(x)=x²-x⁻³-3,则f(x)为定义在(0,+∞)上的

增函数，所以,所以,0<ab<1,In(ab)<0,A正确，B错误.a,b的大

小关系不确定，C错误，D错误.

9.ACD因,所以,故A正确；将曲线

y=f(x)向左平移个单位长度，得到曲线,图象

不关于原点对称，所以B不正确；因为,所以C正确；令2kπ一

,k∈Z,得,k∈Z,所以D正确.

10.ABC因为a=3,b=√5,所以c=√a²-b²=2,所以△PF₁F₂的周长为定值2a+2c=10,

△PF₁F²面积的最大值,故A,B均正确.因为|PF₁|+|PF₂|=2a

=6,所以|PM|+|PF₁|=|PM|+6-|PF₂|.因为|PM|-|PF₂l≤|MF₂|=√13,所以

|PM|+|PF₁|的最大值为6+√13,故C正确

易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则两式

【高三数学·参考答案第1页(共5页)】

相减得,整理.因为AB的中点为M(-1,2),

所以,故D不正确.

11.AB圆O的圆心为O(0,0),半径R=3.

对于A,因为|OP|=√(√2)²+(一√3)²=√5<3,可知点P在圆O内，可得圆心O到过点

P的直线的距离d∈[0,√5],所以|AB|=2√R²—d²=2√9-d²∈[4,6],故A正确.

对于B,因为圆心O到直线l:√3x-y-2=0的距离且圆O的半径

为3,所以圆O上有4个点到直线l:√3x-y-2=0的距离为1.9,故B正确.

对于C,圆C:(x-5)²+(y-12)²=r²的圆心为C(5,12),半径为r,则|OC|=√5²+12²=

13,若圆O与圆C没有公切线，则两圆内含，所以|OC|<|R-r|,即13<|3-r|,解得r>

16,又r>0,所以r的取值范围为(16,+∞),故C错误.

对于D,设Q(a,6+a),以OQ为直径的圆为x(x-a)+y(y—6-a)=0,整理得x²+y²一

ax—(a+6)y=0,由题意可知，直线CD为圆Q与圆O的公共弦所在的直线，可得一9+ax

+(6+a)y=0,整理得a(x+y)+6y-9=0,令解得所以直线CD

必过定点,故D错误.

12.6π设该正方体外接球的半径为R,由,得.设该正方体内切球的半

径为r,则√3r=R,所以,故该正方体内切球的表面积为4πr²=6π.

13.10;45由2"=1024,得展开式的通项T,+1=Cox⁴-4r(一x⁻¹)r=

C₁₀(一1)x⁴⁰-5r,令40—5r=0,得r=8,所以常数项为C₀(一1)⁸=45.

14.设S=kn(n+1),T„=kn(2n+4),k≠0,则ag=S₉-S₈=90k—72k=18k,b1₀=T₁

一T₉=240k—198k=42k,所

15.解：(1)由10(0.004+0.006+0.020+0.024+0.030+a)=1,得a=0.016.……2分

估计平均成绩为45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=

76.2分.……………………4分

(2)设成绩至少要达到m分才可以被评为“消防达人”.

因为成绩在[90,100]内的频率为0.16,成绩在[80,90]内的频率为0.24,所以m在(80,90)

内.……………………6分

由(90-m)×0.024+0.016×10=0.25,得m=86.25,

【高三数学·参考答案第2页(共5页)】

即成绩至少要达到86.25分才可以被评为“消防达人”.……………8分

(3)由频率分布直方图可知(40,50),(50,60)两组中的学生人数分别为2,3,所以X的取值

可能是0,1,2.………………………9分

因为,……………10分

所以X的分布列为

X012

P

…………………………12分

…………………13分

16.解：(1)因,所以,…………2分

化简得c²+b²-a²=√3bc,所以………………5分

因为A∈(0,π),所以.……………………7分

(2)因为,整理得b²+c²=√3bc+7.……10分

因为△ABC的面积,得bc=10√3.……………12分

由得(b+c)²=b²+c²+2bc=37+20√3=(5+2√3)²,………………14分

故b+c=5+2√3.……………………15分

17.(1)证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E,F分别为矩形ACC₁A₁的边AC,A₁C₁的中点，

则EF⊥AC,……………2分

又AB=BC,所以BE⊥AC.3分

因为BE∩EF=E,BE,EFC平面BEF,所以AC⊥平面BEF.…5分

又ACC平面ACB₁,所以平面ACB₁⊥平面BEF6分

(2)解：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC,由(1)知，EF//

AA₁,则EF⊥平面ABC,BEC平面ABC,有EF⊥BE.又AC⊥平面

BEF,所以∠CBE是BC与平面BEF所成的角，即……………8分

又BE⊥AC,所以设CE=1,则BC=√3,BE=√2.……9分

以E为原点，EB,EC,EF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

B(√2,0,0),C(0,1,0),

【高三数学·参考答案第3页(共5页)】

设平面DB₁C的法向量为m=(x₁,y₁,≈1),则

取y₁=√2,得m=(一3,√2,4).…………12分

设平面BB₁C的法向量为n=(x2,y2,≈2),则

取y₂=√2,得n=(1,√2,0).………14分

因为

所以平面BB₁C与平面DB₁C夹角的余弦值是………………15分

18.(1)解：设右焦点为F(c,0),一条渐近线的方程为bx-ay=0,……1分

所以右焦点到该渐近线的距离…………………2分

因为,c²=a²+b²,所以a=√6,c=√10,………………4分

所以双曲线C的方程…………………5分

(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±√6,

此时|PQ|=4,…………7分

当直线l的斜率存在时，不妨设直线l:y=kx+m,且

由得(2-3k²)x²—6mkx-3m²-12=0,………………9分

由△=36m²k²+4(2-3k²)(3m²+12)=0,得6k²=m²+4.10分

由得.…………………11分

不妨设l与的交点为P,则

同理可得..……13分

因