2025年上学期高一数学变式题训练（一）

2025年上学期高一数学变式题训练（一）一、集合与常用逻辑用语（一）基础题型例1已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若B⊆A，求实数m的值。解析：解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}。当m=0时，B=∅，满足B⊆A；当m≠0时，B={1/m}，由1/m=1或1/m=2得m=1或m=1/2。综上，m=0或1或1/2。（二）变式训练变式1已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，B={x|x²-5x+6=0}，C={x|x²+2x-8=0}，且A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值。解析：B={2,3}，C={-4,2}。由A∩C=∅知2∉A，又A∩B≠∅，则3∈A。将x=3代入A的方程：9-3a+a²-19=0，即a²-3a-10=0，解得a=5或a=-2。当a=5时，A={x|x²-5x+6=0}={2,3}，此时A∩C={2}≠∅，舍去；当a=-2时，A={x|x²+2x-15=0}={3,-5}，满足A∩B={3}≠∅且A∩C=∅。故a=-2。变式2设集合M={x|x=3k+1,k∈Z}，N={x|x=3k+2,k∈Z}，P={x|x=3k,k∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d=a-b+c，判断d与集合P的关系。解析：设a=3k₁+1，b=3k₂+2，c=3k₃（k₁,k₂,k₃∈Z），则d=(3k₁+1)-(3k₂+2)+3k₃=3(k₁-k₂+k₃)-1=3(k₁-k₂+k₃-1)+2，故d∈N，即d∉P。二、函数概念与基本初等函数（一）函数定义域与值域例2求函数f(x)=√(x²-4x+3)+1/√(x-2)的定义域。解析：需满足：x²-4x+3≥0⇒x≤1或x≥3；x-2>0⇒x>2。取交集得x≥3，故定义域为[3,+∞)。（二）变式训练变式3已知函数f(2x-1)的定义域为[0,2]，求函数f(x+1)的定义域。解析：f(2x-1)的定义域为[0,2]，即0≤x≤2，故-1≤2x-1≤3，即f(t)的定义域为[-1,3]。令-1≤x+1≤3，解得-2≤x≤2，故f(x+1)的定义域为[-2,2]。变式4求函数f(x)=x²-2x+3在区间[t,t+1]上的最小值g(t)，并求g(t)的值域。解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴为x=1。当t+1≤1即t≤0时，f(x)在[t,t+1]上递减，g(t)=f(t+1)=t²+2；当t<1<t+1即0<t<1时，g(t)=f(1)=2；当t≥1时，f(x)在[t,t+1]上递增，g(t)=f(t)=t²-2t+3。综上，g(t)=$\begin{cases}t²+2,&t≤0,\2,&0<t<1,\t²-2t+3,&t≥1.\end{cases}$当t≤0时，g(t)=t²+2≥2；当t≥1时，g(t)=(t-1)²+2≥2；当0<t<1时，g(t)=2。故g(t)的值域为[2,+∞)。（三）函数单调性与奇偶性例3判断函数f(x)=x³+sinx的奇偶性，并证明其在R上单调递增。解析：定义域为R，f(-x)=(-x)³+sin(-x)=-x³-sinx=-f(x)，故f(x)为奇函数。任取x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=(x₂³-x₁³)+(sinx₂-sinx₁)=(x₂-x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²)+2cos[(x₁+x₂)/2]sin[(x₂-x₁)/2]。∵x₂-x₁>0，x₂²+x₁x₂+x₁²=(x₁+x₂/2)²+3x₂²/4≥0（等号仅x₁=x₂=0成立），且|sin[(x₂-x₁)/2]|≤(x₂-x₁)/2，∴f(x₂)-f(x₁)≥(x₂-x₁)·0-2·1·(x₂-x₁)/2=-(x₂-x₁)，但无法直接判断符号，需用导数：f’(x)=3x²+cosx≥3x²-1，当|x|≥1时f’(x)≥3-1=2>0；当|x|<1时，3x²≥0，cosx>0，故f’(x)>0恒成立，因此f(x)在R上单调递增。（四）变式训练变式5已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，若f(2m-1)>f(m+2)，求实数m的取值范围。解析：∵f(x)为偶函数，∴f(2m-1)=f(|2m-1|)，f(m+2)=f(|m+2|)。又f(x)在[0,+∞)递减，故|2m-1|<|m+2|，两边平方得(2m-1)²<(m+2)²，即4m²-4m+1<m²+4m+4，整理得3m²-8m-3<0，解得-1/3<m<3。又定义域为R，故m的取值范围是(-1/3,3)。变式6定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0。（1）求f(1)的值；（2）证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；（3）若f(3)=-1，解不等式f(x)+f(x-8)≥-2。解析：（1）令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0。（2）任取x₁>x₂>0，令x₁=x₂·t（t>1），则f(x₁)=f(x₂·t)=f(x₂)+f(t)。∵t>1，f(t)<0，∴f(x₁)-f(x₂)=f(t)<0，即f(x₁)<f(x₂)，故f(x)在(0,+∞)上递减。（3）f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2，原不等式等价于f[x(x-8)]≥f(9)。∵f(x)在(0,+∞)递减，∴$\begin{cases}x>0,\x-8>0,\x(x-8)≤9\end{cases}$⇒$\begin{cases}x>8,\x²-8x-9≤0\end{cases}$⇒$\begin{cases}x>8,\-1≤x≤9\end{cases}$⇒8<x≤9。故解集为(8,9]。三、指数函数与对数函数（一）基础运算例4计算：（1）$2^{\log_25}+\lg25+2\lg2-e^{\ln3}$；（2）已知$\log_23=a$，$\log_37=b$，用a,b表示$\log_{14}56$。解析：（1）原式=5+(lg25+lg4)-3=5+lg100-3=5+2-3=4。（2）$\log_{14}56=\frac{\log_356}{\log_314}=\frac{\log_3(7×8)}{\log_3(2×7)}=\frac{\log_37+3\log_32}{\log_32+\log_37}$。∵$\log_32=1/a$，$\log_37=b$，∴原式=$\frac{b+3/a}{1/a+b}=\frac{ab+3}{ab+1}$。（二）变式训练变式7已知函数f(x)=a^x（a>0,a≠1）在区间[1,2]上的最大值比最小值大a/2，求a的值。解析：当a>1时，f(x)在[1,2]递增，f(2)-f(1)=a²-a=a/2⇒a²-3a/2=0⇒a=3/2（a=0舍）；当0<a<1时，f(x)在[1,2]递减，f(1)-f(2)=a-a²=a/2⇒a²-a/2=0⇒a=1/2（a=0舍）。综上，a=3/2或1/2。变式8已知函数f(x)=log_a(x+1)，g(x)=log_a(1-x)（a>0,a≠1）。（1）求函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域及奇偶性；（2）若f(x)-g(x)>0，求x的取值范围。解析：（1）h(x)=log_a[(x+1)(1-x)]=log_a(1-x²)，定义域需1-x²>0⇒-1<x<1，关于原点对称。h(-x)=log_a(1-x²)=h(x)，故h(x)为偶函数。（2）f(x)-g(x)=log_a[(x+1)/(1-x)]>0。当a>1时，(x+1)/(1-x)>1⇒(x+1)/(1-x)-1>0⇒2x/(1-x)>0⇒0<x<1；当0<a<1时，0<(x+1)/(1-x)<1⇒$\begin{cases}(x+1)/(1-x)>0,\(x+1)/(1-x)<1\end{cases}$⇒$\begin{cases}-1<x<1,\2x/(1-x)<0\end{cases}$⇒-1<x<0。综上，当a>1时，解集为(0,1)；当0<a<1时，解集为(-1,0)。四、函数的应用（一）函数零点问题例5已知函数f(x)=2^x+x-5的零点所在区间为(n,n+1)（n∈Z），求n的值。解析：f(1)=2+1-5=-2<0，f(2)=4+2-5=1>0，f(1)f(2)<0，又f(x)在R上单调递增，故零点在(1,2)，n=1。（二）变式训练变式9已知函数f(x)=|x²-2x|-a有4个零点，求实数a的取值范围。解析：令g(x)=|x²-2x|，则g(x)=|(x-1)²-1|，图像为抛物线y=x²-2x在x轴下方部分翻折到x轴上方。g(x)在(-∞,0)递减，(0,1)递增，(1,2)递减，(2,+∞)递增，最小值为0（x=0或x=2），最大值为1（x=1）。方程g(x)=a有4个解等价于y=g(x)与y=a有4个交点，故0<a<1。变式10某公司为节能减排，决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，初期投入9万元，每年维护费用为第一年2千元，以后每年递增2千元，问该设备平均每年成本最低为多少元？（成本=初期投入+总维护费用）解析：设第n年维护费用为aₙ（单位：千元），则aₙ=2+2(n-1)=2n，总维护费用S=10×(2+20)/2=110千元=11万元。总成本C=90+110=200千元，平均每年成本为200/10=20千元=2万元。（注：此处为等差数列求和，首项2，公差2，项数10，Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=10×(2+20)/2=110）五、三角函数（一）三角函数的定义与诱导公式例6已知角α的终边经过点P(-3,4)，求sinα+cosα+tanα的值。解析：r=√[(-3)²+4²]=5，sinα=4/5，cosα=-3/5，tanα=4/(-3)=-4/3，故原式=4/5-3/5-4/3=1/5-4/3=-17/15。（二）变式训练变式11已知sin(π/6-α)=1/3，求cos(2π/3+2α)的值。解析：令θ=π/6-α，则α=π/6-θ，且sinθ=1/3。2π/3+2α=2π/3+2(π/6-θ)=2π/3+π/3-2θ=π-2θ，故cos(2π/3+2α)=cos(π-2θ)=-cos2θ=-(1-2sin²θ)=-(1-2×1/9)=-7/9。变式12化简：$\frac{\sin(π-α)\cos(2π-α)\tan(-α+π)}{\sin(π+α)\tan(-α-π)}$。解析：原式=$\frac{\sinα·\cosα·(-\tanα)}{(-\sinα)·(-\tanα)}=\frac{-\sinα\cosα\tanα}{\sinα\tanα}=-\cosα$。（三）三角函数的图像与性质例7已知函数f(x)=2sin(2x+π/3)，求：（1）f(x)的最小正周期；（2）f(x)在区间[-π/4,π/4]上的最大值和最小值。解析：（1）T=2π/2=π。（2）x∈[-π/4,π/4]⇒2x+π/3∈[-π/6,5π/6]，sin(2x+π/3)∈[-1/2,1]，故f(x)∈[-1,2]，最大值2，最小值-1。（四）变式训练变式13函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π/2）的部分图像如图所示，求ω和φ的值。（图像特征：过点(0,1/2)，相邻对称轴距离为π/2）解析：相邻对称轴距离为T/2=π/2⇒T=π⇒ω=2π/T=2。f(0)=sinφ=1/2，|φ|<π/2⇒φ=π/6。变式14已知函数f(x)=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x（x∈R）。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的单调递增区间。解析：（1）f(x)=(1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x+2×(1+cos2x)/2=(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x+3/2=sin(2x+π/6)+3/2，故T=π。（2）令-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ（k∈Z），解得-π/3+kπ≤x≤π/6+kπ，故单调递增区间为[-π/3+kπ,π/6+kπ]（k∈Z）。六、三角恒等变换与解三角形（一）三角恒等变换例8化简：sin50°(1+√3tan10°)。解析：原式=sin50°·(cos10°+√3sin10°)/cos10°=sin50°·2sin(10°+30°)/cos10°=2sin50°sin40°/cos10°=2cos40°sin40°/cos10°=sin80°/cos10°=cos10°/cos10°=1。（二）变式训练变式15已知tanα=2，求sin2α+cos²α的值。解析：sin2α+cos²α=(2sinαcosα+cos²α)/(sin²α+cos²α)=(2tanα+1)/(tan²α+1)=(4+1)/(4+1)=1。变式16在△ABC中，已知cosA=4/5，cosB=5/13，求cosC的值。解析：在△ABC中，A+B+C=π，故C=π-(A+B)，cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB。sinA=√(1-16/25)=3/5，sinB=√(1-25/169)=12/13，故cosC=3/5×12/13-4/5×5/13=36/65-20/65=16/65。（三）解三角形例9在△ABC中，a=3，b=4，c=√37，求角C的大小及△ABC的面积。解析：由余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(9+16-37)/(2×3×4)=(-12)/24=-1/2，C=2π/3。面积S=(1/2)absinC=(1/2)×3×4×√3/2=3√3。（四）变式训练变式17在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=2，b=√2，A=π/4，求角B和边c。解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB⇒sinB=bsinA/a=√2×(√2/2)/2=1/2。∵a=2>b=√2，∴A>B，B=π/6。C=π-A-B=7π/12，sinC=sin(7π/12)=sin(π/3+π/4)=sinπ/3cosπ/4+cosπ/3sinπ/4=√6/4+√2/4=(√6+√2)/4。c=asinC/sinA=2×(√6+√2)/4/(√2/2)=(√6+√2)/√2=√3+1。变式18在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bcosA=ccosA+acosC。（1）求角A的大小；（2）若a=√7，b+c=4，求△ABC的面积。解析：（1）由正弦定理得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB（∵A+B+C=π）。∵sinB≠0，∴2cosA=1⇒cosA=1/2⇒A=π/3。（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)²-3bc⇒7=16-3bc⇒bc=3。面积S=(1/2)bcsinA=(1/2)×3×√3/2=3√3/4。七、数列（一）等差数列与等比数列例10已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，S₉=81，求a₇和Sₙ的表达式。解析：设公差为d，a₃=a₁+2d=5，S₉=9a₁+36d=81⇒a₁+4d=9。联立解得a₁=1，d=2，故a₇=a₁+6d=13，Sₙ=na₁+n(n-1)d/2=n²。（二）变式训练变式19已知等比数列{aₙ}的各项均为正数，且a₂=4，a₁a₅=64，求数列{aₙ}的通项公式及前n项和Sₙ。解析：设公比为q>0，a₁a₅=a₃²=64⇒a₃=8（a₃=-8舍），q=a₃/a₂=8/4=2，a₁=a₂/q=2，故aₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ，Sₙ=2(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ⁺¹-2。变式20已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，求数列{aₙ}的通项公式。解析：aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，令bₙ=aₙ+1，则b₁=2，bₙ₊₁=2bₙ，{bₙ}为等比数列，bₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ，故aₙ=2ⁿ-1。（三）数列求和例11求数列{aₙ}：1，3x，5x²，7x³，…，(2n-1)xⁿ⁻¹的前n项和Sₙ。解析：当x=1时，Sₙ=1+3+5+…+(2n-1)=n²。当x≠1时，Sₙ=1+3x+5x²+…+(2n-1)xⁿ⁻¹，xSₙ=x+3x²+…+(2n-3)xⁿ⁻¹+(2n-1)xⁿ，两式相减得(1-x)Sₙ=1+2x+2x²+…+2xⁿ⁻¹-(2n-1)xⁿ=1+2(x(1-xⁿ⁻¹)/(1-x))-(2n-1)xⁿ，故Sₙ=[1-(2n-1)xⁿ]/(1-x)+2x(1-xⁿ⁻¹)/(1-x)²。（四）变式训练变式21求数列{1/(n(n+2))}的前n项和Tₙ。解析：1/(n(n+2))=(1/2)(1/n-1/(n+2))，Tₙ=(1/2)[(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+…+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/n-1/(n+2))]=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]=(3/4)-(2n+3)/(2(n+1)(n+2))。变式22已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ=2ⁿ⁺¹-2，数列{bₙ}满足bₙ=aₙ+log₂aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。解析：a₁=S₁=2²-2=2，n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2ⁿ⁺¹-2-(2ⁿ-2)=2ⁿ，n=1时也成立，故aₙ=2ⁿ。bₙ=2ⁿ+log₂2ⁿ=2ⁿ+n，Tₙ=(2+2²+…+2ⁿ)+(1+2+…+n)=2(2ⁿ-1)/(2-1)+n(n+1)/2=2ⁿ⁺¹-2+n(n+1)/2。八、不等式（一）不等式的解法例12解不等式x²-2|x|-3>0。解析：令t=|x|≥0，不等式化为t²-2t-3>0⇒(t-3)(t+1)>0⇒t>3（t<-1舍），故|x|>3⇒x<-3或x>3，解集为(-∞,-3)∪(3,+∞)。（二）变式训练变式23解关于x的不等式ax²-(a+1)x+1<0（a∈R）。解析：当a=0时，不等式为-x+1<0⇒x>1；当a>0时，(ax-1)(x-1)<0，方程ax²-(a+1)x+1=0的根为x=1/a或x=1。若a=1，不等式为(x-1)²<0，无解；若0<a<1，1/a>1，解集为(1,1/a)；若a>1，1/a<1，解集为(1/a,1)；当a<0时，(ax-1)(x-1)<0⇒(x-1/a)(x-1)>0（不等号变向），1/a<0<1，解集为(-∞,1/a)∪(1,+∞)。综上，当a<0时，解集为(-∞,1/a)∪(1,+∞)；当a=0时，解集为(1,+∞)；当0<a<1时，解集为(1,1/a)；当a=1时，无解；当a>1时，解集为(1/a,1)。（三）基本不等式例13已知x>0，y>0，且x+2y=1，求1/x+1/y的最小值。解析：1/x+1/y=(x+2y)(1/x+1/y)=1+x/y+2y/x+2=3+x/y+2y/x≥3+2√(x/y·2y/x)=3+2√2，当且仅当x/y=2y/x且x+2y=1，即x=√2-1，y=(2-√2)/2时取等号，最小值为3+2√2。（四）变式训练变式24已知a>0，b>0，且a+b=1，求(a+1/a)²+(b+1/b)²的最小值。解析：(a+1/a)²+(b+1/b)²=a²+2+1/a²+b²+2+1/b²=(a²+b²)+(1/a²+1/b²)+4。∵a+b=1，a²+b²=1-2ab，1/a²+1/b²=(a²+b²)/a²b²=(1-2ab)/a²b²。令t=ab≤(a+b)²/4=1/4，t∈(0,1/4]。原式=(1-2t)+(1-2t)/t²+4=5-2t+(1-2t)/t²。设f(t)=5-2t+(1-2t)/t²，t∈(0,1/4]，f(t)在(0,1/4]上递减，当t=1/4时，f(t)=5-1/2+(1-1/2)/(1/16)=9/2+8=25/2，故最小值为25/2。变式25某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为4800m³，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？解析：设水池底面长为xm，宽为ym，容积V=3xy=4800⇒xy=1600，y=1600/x。总造价C=150xy+120×2(3x+3y)=150×1600+720(x+y)=240000+720(x+1600/x)。x+1600/x≥2√(x·1600/x)=80，当且仅当x=1600/x⇒x=40时取等号，此时y=40。最低造价C=240000+720×80=240000+57600=297600元。答：当水池底面为边长40m的正方形时，总造价最低，为297600元。九、立体几何初步（一）空间几何体的表面积与体积例14一个正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，求其表面积和体积。解析：底面正三角形面积S底=(√3/4)×2²=√3。侧面斜高h'=√[侧棱长²-(底面边长/2)²]=√[3-1]=√2，侧面积S侧=3×(1/2)×2×√2=3√2，表面积S=√3+3√2。高h=√[侧棱长²-(底面外接圆半径)²]，底面外接圆半径R=(2/√3)，h=√[3-4/3]=√(5/3)=√15/3，体积V=(1/3)S底h=(1/3)×√3×√15/3=√5/3。（二）变式训练变式26已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形，求该圆柱的体积。解析：侧面展开图边长=底面周长=2πr=2π⇒r=1，高h=2π，体积V=πr²h=π×1²×2π=2π²。变式27一个球的表面积为16π，求其体积，并求与其体积相等的正方体的棱长。解析：S=4πR²=16π⇒R=2，体积V=(4/3)πR³=32π/3。设正方体棱长为a，则a³=32π/3⇒a=³√(32π/3)=2³√(4π/3)。（三）空间点、线、面的位置关系例15已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E,F分别为AB,AD的中点，求证：EF∥平面CB₁D₁。证明：连接BD，在正方体中，BD∥B₁D₁。∵E,F分别为AB,AD中点，∴EF∥BD，故EF∥B₁D₁。又EF⊄平面CB₁D₁，B₁D₁⊂平面CB₁D₁，∴EF∥平面CB₁D₁。（四）变式训练变式28在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E为A₁C的中点，求证：平面BEC₁⊥平面AA₁C₁C。证明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AA₁=A，∴BC⊥平面AA₁C₁C。设AC₁的中点为F，连接EF，则EF为△A₁AC₁的中位线，EF∥A₁A，EF=A₁A/2。∵BB₁∥A₁A且BB₁=A₁A，∴EF∥BB₁且EF=BB₁/2，四边形BEFC₁为平行四边形（此处可能需调整，正确辅助线应为取AC中点O，连接EO,BO，EO∥CC₁，BO⊥AC，由BC⊥平面AA₁C₁C得BO⊥平面AA₁C₁C，BO⊂平面BEC₁，故平面BEC₁⊥平面AA₁C₁C）。十、解析几何初步（一）直线方程与圆的方程例16已知直线l过点P(2,1)，且与直线3x+4y-5=0垂直，求直线l的方程及直线l与两坐标轴围成的三角形面积。解析：直线3x+4y-5=0的斜率为-3/4，故l的斜率为4/3，方程为y-1=4/3(x-2)，即4x-3y-5=0。令x=0，y=-5/3；令y=0，x=5/4。三角形面积S=(1/2)×|5/4|×|-5/3|=25/24。（二）变式训练变式29求过点A(1,2)且与圆x²+y²=5相切的直线方程。解析：点A(1,2)在圆x²+y²=5上（1+4=5），切线方程为1·x+2·y=5，即x+2y-5=0。变式30已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为