角的平分线课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3角的平分线的性质第十四章全等三角形第1课时角平分线的性质如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在∠A的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？ABCDE你从中受到哪些启发？如何用尺规作一个角的平分线？解：在△ABC和△ADC中AB=ADBC=DCAC=AC（公共边）∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠CAB=∠CAD（全等三角形的对应角相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）作法：如图，已知∠AOB.(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.ABO(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB的内部相交于点C.MNC(3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线.知识点1

角的平分线的作法ABOMN为什么以大于

MN的长为半径作弧：以小于

MN的长为半径，两弧无交点；以等于

MN的长为半径，不易操作.知识点1

角的平分线的作法角平分线是一条：射线点到直线的距离：直线外一点到直线垂线段的长度命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等证明：∵OC是∠AOB的角平分线∴∠AOC=∠BOC∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中∠AOC=∠BOC∠PDO=∠PEOOP=OP∴△OPD≌△OPE（AAS)∴PD=PE.

已知：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，OABDEPCPE⊥OBPD⊥OA求证：PD=PE角平分线上的点到角两边的距离相等OABDEP∵OP是∠AOB的角平分线PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE几何语言角平分线的性质推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.角分双垂得相等例1:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.4典例精析BACPMED温馨提示：存在两条垂线段———直接应用对应练.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.3ABCD变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交

BC于点P，若PC＝4，AB=14.（1）求△APB的面积.（2）求△PDB的周长.·AB·PD由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，典例精析ABCPD例2.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。ABCNMPDEF证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC,垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.例3：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.证明：∵AD是∠BAC的角平分线，

DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL)∴

EB=FC典例精析

ABCDEF随堂演练如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分别在OA，O

B上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG.CABOGFDEP在

△DPF和

△EPG中，证明：∵OC

是∠AOB

的平分线，点

P

在

OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）.∴PF=PG.随堂演练教材P50练习第2题CABOGFDEP∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长.对应练：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，

DE＝2，AB＝4，则AC的长是(

)A．6B．5C．4D．3D课堂练习ABCDEF方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．选择：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．若BD＝3，CD＝2，则S△ABD：S△ACD为（