2026年高考数学复习讲义（新高考）第8节 数列中的融合创新问题（原卷版）

第六章数列第8节数列中的融合创新问题学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点题型一定义新数列★★★☆☆题型二定义数列的新性质★★★☆☆题型三抽象数列的拆分或变换★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式【变式训练】】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【题型分析】数列的融合创新问题往往以压轴题的位置出现于高考题中,以新定义、新性质和新构造的形式出现,有时与函数、不等式、集合等交汇命题,难度较大.题型一定义新数列★★★☆☆【典例】1(2025·温州适应性考试)数列{an},{bn}满足:{bn}是等比数列,b1=2,a2=5,且a1b1+a2b2+…+anbn=2(an-3)bn+8(n∈N*).(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)求集合A={x|(x-ai)(x-bi)=0,i≤2n,i∈N*}中所有元素的和;(3)对数列{cn},若存在互不相等的正整数k1,k2,…,kj(j≥2),使得ck1+ck2+…+ckj也是数列{cn}中的项,则称数列{cn}是“和稳定数列”.试分别判断数列{an},{bn}是不是“和稳定数列”.若是【变式训练】1(2025·东北师大附中模拟)对于数列{an},称{Δan}为数列{an}的一阶差分数列,其中Δan=an+1-an(n∈N*).对正整数k(k≥2),称{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列,其中Δkan=Δ(Δk-1an)=Δk-1an+1-Δk-1an.已知数列{an}的首项a1=1,且{Δan+1-an-2n}为{an}的二阶差分数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=12(n2-n+2),{xn}为数列{bn}的一阶差分数列,∀n∈N*,是否都有n∑i=1xiCni(3)对于(2)中的数列{xn},令yn=txn+t−xn2,其中12<t题型二定义数列的新性质★★★☆☆【典例】2(2025·郑州调研)已知数列{an}为有穷数列,且an∈N*,若数列{an}满足如下两个性质,则称数列{an}为m的k增数列:①a1+a2+a3+…+an=m;②对于1≤i<j≤n,使得ai<aj的正整数对(i,j)有k个.(1)写出所有4的1增数列;(2)当n=5时,若存在m的6增数列,求m的最小值;(3)若存在100的k增数列,求k的最大值.【变式训练】2(2025·济南质检)对于无穷数列{an},“若存在am-ak=t(m,k∈N*,m>k),必有am+1-ak+1=t”,则称数列{an}具有P(t)性质.(1)若数列{an}满足an=2n(n=1,2),2n−5(n(2)对于无穷数列{an},设T={x|x=aj-ai,i<j},求证:若数列{an}具有P(0)性质,则T必为有限集;(3)已知{an}是各项均为正整数的数列,且{an}既具有P(2)性质,又具有P(3)性质,是否存在正整数N,k,使得aN,aN+1,aN+2,…,aN+k,…成等差数列.若存在,请加以证明;若不存在,说明理由.题型三抽象数列的拆分或变换★★★☆☆【典例】3(2024·新高考Ⅰ卷)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列.(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得数列a1,a2,…,a6是(i,j)-可分数列;(2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分数列;(3)从1,2,…,4m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列的概率为Pm,证明:Pm>18【变式训练】3(2025·广州调研)对于每项均是正整数的数列P:a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列P变换成数列T1(P):n,a1-1,a2-1,…,an-1.对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,…,bm,定义S(Q)=2(b1+2b2+…+mbm)+b12+b22+…+bm2,定义变换T2,T2将数列Q各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,(1)若数列P0为2,4,3,7,求S(T1(P0))的值;(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0,令Pk+1=T2(T1(Pk)),k∈N.①探究S(T1(P0))与S(P0)的关系;②证明:S(Pk+1)≤S(Pk).【限时【变式训练】】（限时：30分钟）1.(2025·重庆模拟)已知实数q≠0,定义数列{an}如下:如果n=x0+2x1+22x2+…+2kxk,xi∈{0,1},i=0,1,2,…,k,则an=x0+x1q+x2q2+…+xkqk.(1)求a7和a8(用q表示);(2)令bn=a2n−1,证明:n∑i(3)若1<q<2,证明:对于任意正整数n,存在正整数m,使得an<am≤an+1.2.(2025·武汉质检)定义1进位制:进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十二进一,就是十二进制;满六十进一,就是六十进制;等等.也就是说,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几,一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anan-1…a1a0(k)(an,an-1,…,a1,a0∈N,0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k).k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式.如7342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80.定义2三角形数:形如1+2+3+…+m,即12m·(m+1)(m∈N*(1)若aa…a(9)n个(2)若11111(k)是完全平方数,求k的值;(3)已知cn=11…1(9)n个1,设数列{cn}的前n项和为Sn,证明:当n>3时,S3.(2024·北京海淀区模拟)约数,又称因数.它的定义如下:若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数,即为a1,a2,…,ak-1,ak(a1<a2<…<ak).(1)当k=4时,若正整数a的k个正约数构成等比数列,请写出一个a的值;(2)当k≥4时,若a2-a1,a3-a2,…,ak-ak-1构成等比数列,求正整数a;(3)记A=a1a2+a2a3+…+ak-1ak,求证:A<a2.4.(2024·南通调研)设有穷数列{an}的项数为m(m≥2),若正整数k(2≤k≤m)满足∀n<k,an>ak则称k为数列{an