备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题03 函数的性质及应用（原题版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题03函数的性质及应用目录题型一：函数的性质易错点01复合函数定义域的理解不当致错易错点02使用换元法忽略新元的范围易错点03研究单调性、奇偶性时忽略定义域易错点04对分段函数的理解不到位出错题型二函数与方程易错点05忽略函数零点存在定理的条件易错点06二次函数零点分布问题考虑不全题型一：函数的性质易错点01：复合函数定义域理解不当致错典例（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.【详解】由题可知的定义域为，则为使有意义必须且只需，解得，所以的定义域为.故选：D【易错剖析】在求解过程中，根据函数解析式求出的定义域为，然后由=然后错误的由分别求出的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.【避错攻略】1复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.2抽象函数或复合函数的定义域：（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.易错提醒：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）的定义域为（

）A．B．C．D．2．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·山东烟台·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·河南新乡·期中）已知函数，则函数的定义域是（

）A．B．C．D．7．（2024·山东·一模）函数的定义域是（

）A． B．C． D．8．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为9．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.10．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）函数的定义域为易错点02：使用换元法忽略新元的范围典例（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【易错剖析】本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.【避错攻略】1.换元法换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.常见的换元方法（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；（2）整体代换：将所求表达式整体换元；（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数，则（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．3．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（

）A． B．C． D．1．（24-25高三上·全国·随堂练习）函数的值域是（

）A．0,1 B． C． D．0,12．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数，则（

）A． B． C．1 D．25．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（

）A． B．C． D．6．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（

）A．1 B． C． D．27．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为.8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，则的解析式为．9．（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为.10．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则.11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为．易错点03：研究单调性、奇偶性时忽略定义域典例（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，再根据复合函数单调性的判断方法求解出的单调递减区间.【详解】由可得，所以函数的定义域为，令，利用复合函数单调性判断方法来分析的单调性，如下表：单调递增单调递增单调递增单调递减单调递增单调递减由表知，的单调递减区间为．故选：C．【易错剖析】本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为而致错.【避错攻略】函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。1.函数单调性与定义域函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2.函数奇偶性与定义域偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数．奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．(1)奇偶函数定义的等价形式．奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0．(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝eq\r(x)，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．易错提醒：利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·上海·期中）函数的奇偶性为.1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数的单调增区间为（

）A． B．C．和 D．2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（）A． B． C． D．4．（24-25高三上·陕西汉中·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（

）.A． B． C． D．6．已知函数，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．67．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是.8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则不等式的解集为．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝，b＝．易错点04：对分段函数的理解不到位出错典例（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上是增函数，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.【详解】设；.为使在R上递增，则在上递增，在上递增，且，即.故选：B【易错剖析】本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而错选A.【避错攻略】1．分段函数的定义在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．2．分段函数的题型（1）分段函数图象的画法①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.（2）分段函数的求值①确定要求值的自变量属于哪一段区间．②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．（3）求某条件下自变量的值(或范围)先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．（4）根据分段函数的解析式解不等式①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．（5）求分段函数的最值分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值（6）根据单调性求参数从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.易错提醒：(1)求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下：类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件：(1)在上单调増递增；(2)在上单调増递增；(3).类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：(1)在上单调増递减；(2)在上单调増递减；(3).1．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．22．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(

).A． B． C． D．3．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．1．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则（

）A．8 B． C． D．2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的最小值为（

）A． B． C．3 D．53．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（

）A． B．若，则x的值是C．的解集为 D．的值域为9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中对任意的，，且，总满足不等关系，则实数的取值范围是.10．（2024高三·全国·专题练习）若函数在R上是增函数，则实数的取值范围为.11．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．题型二：函数与方程易错点04：忽略函数零点存在定理的条件典例（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（）A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定【答案】D【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论.【详解】因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，若函数在上单调，则；不妨取，则函数在只有唯一的零点，但；取，则函数在只有唯一的零点，但.因此，的符号不能确定.故选：D.【易错剖析】本题【避错攻略】1.函数的零点对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.3.函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断__的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．【解读】零点存在定理的适用条件：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.此判断方法只能判断出零点的存在性，而不能判断出有多少个零点．该判断零点存在与否的方法并不是对所有函数零点的判断都适用．只有当函数图象“穿过”x轴时，这种方法才能奏效．4.求函数y＝f(x)的零点的方法(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象和零点存在定理求出零点．(3)交点法：欲求f(x)－g(x)＝0的零点，可以转化为求方程f(x)＝g(x)的解，可在同一坐标系中画出f(x)，g(x)的图象，其交点的横坐标即为f(x)－g(x)＝0的零点，交点的个数对应零点的个数．易错提醒：对函数零点存在的判断需注意以下三点：(1)函数在上连续；（2）满足；（3）在内存在零点.,上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解.另外需注意的是：若函数的图像在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点.函数的零点不是点，它是函数与x轴交点的横坐标，是方程的根.1．（24-25山东潍坊期中）已知函数在区间上的图象是连续不断的，设：，：在区间中至少有一个零点，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（

）A． B． C． D．3．（2024·江西新余·模拟预测）关于的方程：的实根分布在区间（

）内.A． B． C． D．1．（24-25高三上·辽宁·期中）“”是“函数在区间内存在零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则“”是“函数有零点”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要7．（2024·浙江杭州·一模）设，满足.若函数存在零点，则（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ）A． B．C． D．9．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数在上的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．610．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列函数在区间内存在唯一零点的是（）A． B．C． D．易错点06：二次函数的零点分布问题讨论不全典例3．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）函数的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用零点分布规律求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得.【详解】由函数的两个不同的零点均大于1，得，解得，因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足.故选：C【易错剖析】本题在根据根的分布列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.【避错攻略】一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解，一元二次方程根的分布问题主要有以下类型：1.一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。2.一元二次方程根的k分布分布情况两根都小于即两根都大于即一根小于，一大于即大致图象（a>0）得出的结论大致图象（a<0）得出的结论综合结论（不讨论a）3.一元二次方程根在区间的分布分布情况两根都在内两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象