备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题04 指数函数、对数函数和幂函数（原题版）

专题04指数函数、对数函数及幂函数

目录

题型一：指数运算及指数函数

易错点01对根式性质理解不到位出错

易错点02忽略底数对指数函数性质的影响

题型二对数运算及对数函数

易错点03忽视对数式成立的条件而出错

易错点04判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

易错点05利用换元法求值域遗忘范围

题型三幂函数

易错点06错判幂函数的性质

题型一：指数运算及指数函数

易错点01：对根式性质理解不到位出错

典例（24-25高三·全国·专题）下列说法正确的个数是（）

31

32

①49的平方根为7；②aa；③a2a；④6333．

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.

【详解】49的平方根是7，故①错误；

13

3

3aa3a，故②正确；

a2a，故③错误；

1

2

6333，故④错误．

故选:A．

【易错剖析】

1

22

本题容易混淆根式的性质和分数指数幂的运算律而认为aa，6333成立而误选C.

【避错攻略】

1.根式的概念

一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且nN*.

（1）当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号na

表示.

（2）当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,记为na,负数没有偶次方根.

（3）0的任何次方根都是0,记作n00.

*

式子a叫做根式,其中nn1,且nN叫做根指数,a叫做被开方数.

2.根式的性质

根据n次方根的意义,可以得到:

nna,a0,

（1）(na)na.（2）当n是奇数时,nana;当n是偶数时,a|a|

a,a0

3．分数指数幂的意义

m

正分数指数幂规定annama0,m,nN*,且n1

m

1

分数指数幂n*且

负分数指数幂规定ama0,m,nN,n1

an

0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

易错提醒：(1)处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值

范围不同，如(na)n中当n为奇数时,aR;n为偶数时,a0，另外根式的化简结果也不同；

mn

(2)分数指数幂an中的不能随便约分，要注意底数取值范围的改变．

m

1．（2024·河南·三模）若a0,bR，则化简2log23(a)2b2的结果是（）

A．3abB．3ab

C．2abD．2ab

2．（2025高一·全国·课后作业）n(3π)n(nN,n2)（）

A．3πB．π3

C．3πD．当n为奇数时，3π；当n为偶数时，π3

3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）

11

．．623

Ax(x)2Byy(y0)

1

1

C．x3(x0)D．

3x

1．（23-24高一上·北京延庆·期末）4(2)4的值为（）

A．2B．4C．2D．4

1

2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）将写成分数指数幂的形式为（）

7a4

4477

．．．．

Aa7Ba7Ca4Da4

3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列运算结果中正确的是（）

3

A．a3a4a12B．a2a6

5

C．8a8aD．5ππ

a2

4．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设a0，将表示成指数幂的形式，其结果是（）

3aa3

．1．5．7．3

Aa2Ba6Ca6Da2

5．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）（多选）下列选项中正确的有（）

20

A．nanaB．若aR，则aa11

4

C．3x4y3x3yD．35652

6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）下列运算正确的是（）

236

A．4a2aB．aa

C．log432log23D．lg5lg2log25

7．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）（多选）若代数式x12x有意义，则

x22x14(x2)4．

74

8．（2023高三·全国·专题练习）（多选）7243的值为．

易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响

8

典例（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数fxaxbaxa0,a1在1,1上的最大值为，则

3

a（）

11

A．或3B．或2C．3D．2

32

【答案】A

【分析】根据奇偶性求得b，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．

【详解】因为fx是奇函数，所以fxfx，所以fxfx0．

xx

即axbaxaxbax0，则b1aa0，解得b1，

经检验b1符合题意，所以fxaxax，

1

当a1时，01，

a

x

xx1

则函数ya在1,1上单调递增，ya在1,1上单调递减，

a

所以fxaxax在1,1上单调递增，

8

所以，f(x)f(1)aa1，整理得3a28a30，

max3

1

解得a3或a(舍去)，所以a3；

3

1

当0a1时，1，

a

x

xx1

则函数ya在1,1上单调递减，ya在1,1上单调递增，

a

所以fxaxax在1,1上单调递减，

8

所以，f(x)f(1)a1a，整理得3a28a30，

max3

11

解得a或a3(舍去)，所以a，

33

1

综上，a或3．

3

故选：A．

【易错剖析】

本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解.

【避错攻略】

1指数函数的概念

一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等

于1的常量，定义域是R.

【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点

（1）定义域为：R

（2）规定a0,且a1是因为：

①若a1，则yax1（恒等于1）没有研究价值；

②若a0，则x0时，yax0（恒等于0），而当x0时，ax无意义；

nn

③若，则中m为偶数，n为奇数时，无意义.

a0amam

④只有当0a1或a1时，即a0,且a1，x可以是任意实数.

2底数对指数函数图像与性质的影响

（1）底数a与1的大小关系决定了指数函数yax(a0且a1)图象的“升”与“降”.

①当a1时，指数函数的图象是“上升”的，且当x0时，底数a的值越大，函数的图象越“陡”，

说明其函数值增长的越快.

②当0a1时，指数函数的图象是“下降”的，且当x0时，底数a的值越小，函数的图象越

“陡”，说明其函数值减小的越快.

（2）底数a的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a1还是0a1，底数越大，在第一象

限内的函数图象越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数a的大小决定了图象相对位置的高低；

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；

在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；

易错提醒：当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系.

1．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数fxax(a0且a1)在[0,1]上的最小值与最大值的和为3，则

函数y2ax1在[0,1]上的最大值是.

2．已知函数fxa1ax（a0且a1）在区间2,3上单调递增，则a的取值范围为（）

1

A．0,B．1,

2

111

C．0,D．,

332

3．函数y3axa2x在区间1,2上的最小值是3，则a的值是.

1．函数（且）的值域是，则实数（）

�5

�=�−2�>0�≠1,−1≤�≤1−3,1�=

A．3B．C．3或D．或

1123

3332

ax,x1

2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知a0且a1，函数fx，若函数fx在区间

xa,x1

5

0,2上的最大值比最小值大，则a的值为（）

2

12717

A．或2B．或2C．2或D．或

23222

(a2)x4a1,x2

3．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数f(x)x1(a0且a1)，若f(x)存在

2a,x2

最小值，则实数a的取值范围为()

13

A．0,B．0,

24

133

C．0,,1D．0,(1,2)

244

5．（23-24高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知指数函数fxax在1,1上的最大值与最小值之差为2，则

实数a的值为（）

322223

A．B．21C．D．21

22

6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)ax（a0且a1）在区间2,4上的最大值是16，求实数

a的值；

7．（2024高三下·全国·专题练习）函数fxa2xax1（，且a1）在1,1上的最大值为13，求实

数a的值.�>0

ax1

8．（21-22高一上·河北·阶段练习）已知函数fx(a0且a1).

ax1

1

(1)若f2，求f2的值；

2

1

(2)若fx在1,1上的最大值为，求a的值.

2

9．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数fxa2xa2xmaxax(a0且a1).

(1)若m2，求函数fx的最小值；

(2)若fx1恒成立，求实数m的取值范围.

题型二对数运算及对数函数

易错点03：忽略对数式成立的条件而出错

典例（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数fxlogax（a0，a1）的图象经过点2,1，则不

等式fxf2x1的解集为.

1

【答案】,1

2

【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.

11

【详解】由题意可得f2loga21，则a2，解得a，

2

由函数fxlog1x在0,上单调递减，

2

x2x1

1

则fxf2x1，可得x0，解得x1，

2

2x10

1

故答案为：,1.

2

【易错剖析】

x0,

本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉这一隐含条件而出错.

2x10

【避错攻略】

1．对数的定义

一般地，如果x，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫

aN(a0a1)xaNxlogaNa

做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数

通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e2.71828为

底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.

3．指数与对数的互化

当时，x.

a0，a1aNxlogaN

4．对数的性质

（1）loga10；（2）logaa1；（3）零和负数没有对数．

5．对数运算性质

如果a0，且a1,M0,N0，那么：

（1）＋；

loga(MN)logaMlogaN

M

（2）loglogM-logN；

aNaa

（3）n．

logaMnlogaM(nR)

【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．

易错提醒：基于对数式，其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数且≠真数，

logaNa>0a1,N>0

在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.

2

1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）已知logx2x7x130，求x的值；

2．（24-25高三上·北京·阶段练习）若log2x10，则实数x的取值范围是．

1

3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若p：loga1，q：a22a30，则p是q的（）

42

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2

1．（2025·广东·模拟预测）若log2mlog4n2，则mn（）

A．3B．4C．9D．16

2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知集合Axlog2x1，Bx0x4，则AB（）

A．xx2B．xx4

C．x0x4D．x0x2

3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知a，bR，lgalg2b1，则4ab的最小值为（）

A．22B．42C．25D．45

4．（2024·广东广州·模拟预测）若x，yR，则“2x2y0”是“lnxy0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3

5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设函数f(x)xx，则不等式f2log3xf3log3x0的解集是

（）

11

A．,27B．0,C．0,27D．27,

2727

．（高三上湖北期中）若关于的函数2的定义域为，则实数a的取值

624-25··xfxlglogaxax2R

范围为（）

A．0,1U1,2B．0,11,22C．1,2D．1,22

2

7．（24-25高三上·上海闵行·期中）设0a1，若logax1loga3x5，则实数x的取值范围

是．

8．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程lg(2x)lg(3x)lg12的解是.

a

9．（24-25高三上·河南·期中）已知函数fxlog21为奇函数.

2x

(1)求a的值；

(2)求满足fxlog2x2log2x的x的取值范围.

易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

2

典例（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数fxlog3x4的单调递增区间为（）

A．0,B．,0C．2,D．,2

【答案】C

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.

22

【详解】函数fxlog3x4，令x40，即x2x20，解得x2或x2，

所以fx的定义域为,22,，

2

又ylog3x在定义域上单调递增，yx4在2,上单调递增，在,2上单调递减，

所以fx的单调递增区间为2,.

故选：C

【易错剖析】

本题求解时容易错解中忽视了函数f(x)的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函

数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.

【避错攻略】

1.复合型函数单调性规律

若函数yfu在A内单调，ugx在B内单调，且集合u/ugx,xBA.

(1)若yfu是增函数，ugx是增(减)函数，则yfgx是增(减)函数

(2)若yfu是减函数，ugx是增(减)函数，则yfgx是减(增)函数

2.复合型函数单调性判断步骤

第一步：求函数的定义域

第二步：令内函数为ugx，画出其图像，从而确定其函数的单调性

第三步：画出外函数yfu的图象并确定其单调性

第四步：利用结论同增异减判断.

易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调

性的影响；（2）树立定义域优先的思想.

1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数f(x)lnxln(2x)的单调递增区间是（）

A．0,1B．1,2C．,1D．1,

2

2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于x的函数ylog1xaxa1在3,2上单调递增，则实数

2

a的取值范围是（）

A．a4B．a4

C．a3D．a3

3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数fxlnx28x12的单调递增区间为．

1x

1．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数fxln，下列说法错．误．的是（）

1x

A．fx的定义域为1,1B．fx的图象关于y轴对称

C．fx的图象关于原点对称D．fx在0,1上单调递增

2

2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数f(x)log2x2ax,aR，则“a1”是“函数f(x)在(1,)

上单调递增”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

f(x)log(4x)logx

3．（2024·广东佛山·模拟预测）函数11的单调增区间为（）

22

A．(2,4)B．(0,2)C．(2,)D．(,2)

4．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数fxloga2ax（a0，且a1）.x1,2，使得fx1

成立，则实数a的取值范围是（）

22

A．,1B．,11,2

33

2

C．1,2D．,2

3

x2

5．（2024·海南·模拟预测）已知a0且a1，若函数fxa与gxlog2x4ax7在1,上的单

调性相同，则a的取值范围是（）

11

A．0,B．,1C．(1,2)D．1,

22

6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）（多选）关于函数fxlnexex2，以下说法正确的是（）

A．fx为奇函数

B．fx为偶函数

C．fx在区间0,单调递增

D．fx在区间0,单调递减

21

7．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fxlog2xax15在,4上单调递增，则实数a

4

的取值范围为.

8．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数fxlnsinxcosx32.

(1)证明：fx是周期函数；

(2)求fx的单调递增区间.

9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数fxloga2xlogax4(a0，且a1).

(1)若a1，求函数fx的单调递增区间；

1

(2)若函数fx的最小值为，求a的值.

2

易错点05：求解指对复合函数值域忽略新元范围

22

fxfx1

典例（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数fx1lgx，则函数Fx2x,100的

10

值域为（）

1

A．[,16]B．1,8C．2,16D．1,16

2

【答案】D

【分析】根据对数的单调性可得f(x)[0,3]，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.

1

【详解】函数f(x)1lgx在[,100]上单调递增，

10

11

又f1lg=1-1=0，f1001lg100123，故f(x)[0,3]，

1010

令t[f(x)]2f(x2)[f(x)]212lgx[f(x)]22f(x)1[f(x)1]2[0,4]，

而函数y2t在[0,4]上单调递增，则12t16，

22

所以函数F(x)2[f(x)]f(x)的值域为1,16.

故选：D.

【易错剖析】

本题在换元后容易因忽略新元的取值范围而出错.

【避错攻略】

1.指数型复合函数值域的求法

（1）形如yf(ax)（a0，且a1）的函数求值域

借助换元法：令axt，将求原函数的值域转化为求f(t)的值域，但要注意“新元t”的范围

fx

（2）形如ya（a0，且a1）的函数求值域

借助换元法：令fx，先求出fx的值域，再利用ya的单调性求出yafx的值域。

2.对数型复合函数值域的求法

（）形如（，且）的函数求值域

1yf(logax)a0a1

借助换元法：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出

logaxtlogaxtMyftM

yft的值域。

（）形如（，且）的函数的值域

2ylogafxa0a1

借助换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出

fxfxylogaylogafx

的值域。

易错提醒：再用换元法求指数、对数型复合函数的值域、最值问题时，一定要注意新元的范围，以免因范

围变大而出错.

x24x3

1

1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数y，则下列说法正确的是（）

2

A．定义域为R

B．值域为0,2

C．在2,上单调递增

D．在2,上单调递减

2．（2024·上海·模拟预测）函数fxlog22xlog88x的最小值为.

1

x

．（高一下青海西宁开学考试）若函数x的值域为，则的取值范围

322-23··fx1a3920,a

是.

2ð

1．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数ylnx3x2的定义域为集合A，值域为集合B，则BA（）

A．,12,B．,12,C．1,2D．1,2

tanx

ππ1

2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知x,，则函数fx的值域是（）

243

11

A．0,B．0,3C．,D．3,

33

2x

3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数fx，则下列说法正确的是（）

2x11

A．函数fx单调递增

B．函数fx值域为0,2

C．函数fx的图象关于0,1对称

D．函数fx的图象关于1,1对称

4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx2log2xlog2x1，fx的最小值是.

2

．（高一上广东茂名期中）函数xx的值域是．

523-24··ylg214lg216

x22x3

1

6．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数y的值域为．

2

2

2ex1

7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数fx，x0,，则函数fx的值域是．

4ex

8．（23-24高三上·黑龙江绥化·阶段练习）当x1时，函数fx4x2x12的值域为.

2

9．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数fx满足f2xlog14x8xm．

2

(1)求fx的解析式；

(2)若m8，求fx的值域；

(3)讨论fx的定义域．

题型三幂函数

易错点06：错判幂函数的性质

n

*

典例（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数f(x)xm（m，nN，m，n互质），下列关于f(x)

的结论正确的是（）

A．m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数

B．m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数

C．m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)是偶函数

n

D．01时，幂函数f(x)在(0,)上是增函数

m

【答案】ABD

【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接

判断即可.

【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则fxmxn，

n

此时f(x)的定义域为，且fxmxmxnfx，

所以幂函数f(x)是奇函�数，故A正确；

对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则fxmxn，

n

此时f(x)的定义域为，且fxmxmxnfx，

所以幂函数f(x)是偶函�数，故B正确；

对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则fxmxn，

此时f(x)的定义域为0,，不关与原点对称，

所以幂函数f(x)不具有奇偶性，故C错误；

n

对于选项D：01时，由幂函数性质可知：f(x)在(0,)上是增函数，故D正确；

m

故选：ABD.

【易错剖析】

n

对于幂函数f(x)xm，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，

这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视..

【避错攻略】

1.幂函数的概念、解析式、定义域、值域

幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．

p

解析式：y＝xa＝xq

【注意】定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为

偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：

1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．

2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．

而只有a为正数，0才进入函数的值域．

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．

2.幂函数的性质

所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．

（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、图象都通过点（1，1）（0，0）；

b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；

d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．

（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、图象都通过点（1，1）；

b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；

c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，

当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．

易错提醒：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另

外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言.

2

1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数fx过点2,，若fa1f(32a)，则实数a的

2

取值范围是.

2．（2024·北京延庆·一模）已知函数f(x)x(01)在区间(1,0)上单调递减，则的一个取值为．

m

*

3．（2025高三上·全国·专题练习）如图所示是函数yxn（m、nN且互质）的图象，则（）