备战2026年高考数学真题分类汇编（全国）专题07 立体几何初步（解析版）

专题07立体几何初步考点一：考点一：简单几何体的表面积和体积1．（2024北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（

）

A．108 B．162 C．180 D．189【答案】C【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为，则.故选：C.2．（2024福建）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】柱体体积的有关计算【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得.【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积.故选：D3．（2022河北）已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】球的表面积的有关计算【分析】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式（其中为面积，为半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离（这里），通过勾股定理求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】已知截面圆的面积为，根据圆的面积公式，可得，解得.设球的半径为，因为是的中点，所以球心到截面的距离.根据勾股定理，将，代入可得：,则，则，则，解得.根据球的表面积公式，将代入可得：故选：C.4．（2022河北）已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】锥体体积的有关计算【分析】根据圆锥的性质求得圆锥的高和底面半径，再由体积公式计算．【详解】设圆锥的高为，底面半径为，又母线长为，而母线与底面所成的角是，则，，所以体积为，故选：A．5．（2022北）若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案.【详解】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为，又因为球心到该截面的距离为1，所以球的半径为，所以球的表面积为.故选：B.6．（2022河北）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】圆锥表面积的有关计算【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即得.【详解】由圆锥的母线与底面所成的角是，得圆锥轴截面等腰三角形且底角为，所以圆锥轴截面等腰三角形是正三角形，因此圆锥母线长为2，所以该圆锥的侧面积是.故选：B7．（2023广西）已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【知识点】柱体体积的有关计算【分析】根据圆柱的体积公式计算可得答案.【详解】因为圆柱的底面积为1，高为2，所以该圆柱的体积为.故选：B.8．（2024浙江）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．【详解】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r，∴球的表面积是4故选：A9．（2023吉林）一个棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题【分析】由已知可得所求球是棱长为的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【详解】若棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则该球是正方体的外接球，球的半径，则球的体积.故选：.10．（2024天津）一个圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与该圆柱的体积之比为（

）．A． B． C． D．【答案】D【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算【分析】设球的半径为，即可求出球、圆柱的体积，从而得解.【详解】设球的半径为，则，依题意圆柱的底面半径为，高为，所以，所以.故选：D11．（2023浙江）上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】台体体积的有关计算【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为、，高为，所以.故选：A12．（2024湖南）已知圆柱的底面半径为3cm，体积为，则该圆柱的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算【分析】利用圆柱体积求得圆柱的高，再利用表面积公式计算即得.【详解】设圆柱的高为，由题意，，解得，则圆柱的表面积为cm2.故选：D.13．（2024安徽）在中，，，，若将绕所在的直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为.【答案】【知识点】锥体体积的有关计算、求旋转体的体积【分析】画出旋转体的图象，根据圆锥体积公式求出几何体的体积.【详解】如图所示，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以，所以旋转体的体积为：.故答案为：14．（2024云南）一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为平方米.【答案】【知识点】球的表面积的有关计算【分析】由球的表面积公式求解．【详解】因为该球的半径为1米，所以该球的表面积为：（平方米），故答案为：15．（2024云南）若一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为．【答案】/【知识点】球的体积的有关计算、台体体积的有关计算【分析】利用球和正四棱台的体积公式直接建立等式计算即可．【详解】解：球的体积为①，设正四棱台的高为，则正四棱台的体积为②，由，解得：．故答案为：．16．（2024浙江）上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为.【答案】7【知识点】台体体积的有关计算【分析】由圆台体积公式即可求解.【详解】由题意知,,，所以.故答案为：.考点二：考点二：空间点、直线、平面的位置关系1．（2024北京）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（

）A．与直线相交 B．与直线平行C．与直线垂直 D．与直线是异面直线【答案】D【知识点】异面直线的判定【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.【详解】易知三棱柱为直三棱柱，由图易判断与异面，AB错误；因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误；由图可判断与直线是异面直线，D正确.故选：D2．（2022河北）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论：①若，则；

②若，则；③若，则.

④若，则.其中正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断【分析】根据空间中线面、面面之间的基本关系，依次判断命题即可.【详解】①：若，则，故①正确；②：若，则或与相交或，故②错误；③：若，则或与相交，故③错误；④：若，则，故④正确.故选：D3．（2024天津）若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面关系有关命题的判断【分析】根据空间中线线、线面的位置关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，是两条不同的直线，是一个平面，，若，则或，故充分性不成立；若，则在平面存在直线，使得，又，，所以，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．（2024北京）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（

）A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线【答案】D【知识点】异面直线的概念及辨析【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，则a与b可能平行，也可能是异面直线，故选：D5．（2023辽宁）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】A【知识点】线面关系有关命题的判断、平行公理、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直【分析】选项A由平行的传递性可得；BCD由长方体中的线面、面面位置关系举反例可知.【详解】选项A，若，，则由平行的传递性可知，，故A正确；选项B，若，，则或都有可能，如图，长方体中（以下同），设直线为，直线为，底面为，满足，，但，与不平行，故B错误；

选项C，若，，则与不一定垂直，如图，设上底面为，下底面为，平面为，满足，，但，与不垂直，故C错误；

选项D，若，，则或或与相交都有可能，如图，设直线为，直线为，设上底面为，满足，，但，与不平行，故D错误．

故选：A.6．（2023黑龙江）如图，在正方体中，与平行的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】异面直线的判定【分析】根据正方体的性质结合空间中线线位置关系分析判断.【详解】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面，故ABD错误，C正确.故选：C.7．（2022浙江温州）已知，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则【答案】D【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系和符号表示，判断选项中的命题是否正确即可．【详解】在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则，故B错误；在C中，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行，故C错误；在D中，，时，过作平面，所以，且，所以，故D正确.故选：D.8．（2023天津）已知空间三条直线，，.若，，则（

）A．与平行 B．与相交C．与异面 D．与平行、相交、异面都有可能【答案】D【知识点】异面直线的判定【分析】根据线线关系举例可得答案.【详解】如图，在长方体中，，，则与平行、相交、异面都有可能.故选：D.9．（2023广东）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】充要条件的证明、面面关系有关命题的判断【分析】根据面面平行的定义判断.【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此是的充要条件．故选：C．10．（2023江苏）已知直线平面，直线平面，则与不可能（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直【答案】B【知识点】线面关系有关命题的判断【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案.【详解】直线平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直，若与相交，，则，，直线平面，故，即与有交点，这与题设矛盾.故选：B考点三：考点三：异面直线所成角1．（2024浙江）在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求异面直线所成的角【分析】连接，或其补角为异面直线和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值.【详解】连接，因为，是的中点，所以，所以或其补角为异面直线和所成角，设正四面体的棱长为2，则，在中由余弦定理得，所以和所成角的正弦值为，故选：B

2．（2022河北）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求异面直线所成的角【分析】设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值.【详解】设为的中点，连接，由正方体的性质可得则四边形为平行四边形，故，而为所在棱的中点，故，故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角，设正方体的棱长为2，则，故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为，故选：C.3．（2024云南）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求异面直线所成的角【分析】连接，分析可知异面直线与所成的角为（或其补角），结合正方体的性质分析求解.【详解】连接，因为∥，，可知为平行四边形，则∥，可知异面直线与所成的角为（或其补角），由正方体可知，即为正三角形，可知，所以异面直线与所成的角等于.故选：C.4．（2024湖南）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求异面直线所成的角、棱柱的结构特征和分类【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线所成的角.【详解】在正方体中，连接，四边形是其对角面，则四边形是矩形，，于是是异面直线与所成的角，而，即为正三角形，，所以异面直线与所成的角为.故选：C5．（2023湖南）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（

）

A． B． C． D．【答案】D【知识点】求异面直线所成的角【分析】由异面直线所成角的概念求解，【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D6．（2023云南）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求异面直线所成的角【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为.【详解】连结、，如下图：在正方体中，且；四边形为平行四边形，则；又在正方体中，为等边三角形，就是异面直线与所成角,，异面直线与所成角的大小为.故选：C.7．（2023安徽）如图，在正方体中，直线与所成的角是（）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求异面直线所成的角【分析】连接，，证明，则即为直线与所成的角或其补角，根据正三角形即可求解.【详解】连接，，在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形，所以，则直线与所成的角是，故选：.8．（2023河北）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为．【答案】【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为.【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示:因为G,F分别是棱,的中点,所以,且,故四边形为平行四边形,所以,所以与BF所成角即为与所成角,因为正方体,E,G是棱AD,的中点,所以,所以,即,因为,所以,所以,故与所成角为,即与BF所成角为.故答案为:考点四：直线与平面所成角考点四：直线与平面所成角1．（2024湖南）如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案.【详解】因为母线底面，则与圆柱底面所成角即为，又因为为圆柱底面直径，则，因为，所以.故选：B.2．（2023江苏）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【知识点】求线面角【分析】连接，平面，故是与平面所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则，.故选：C3．（2023河北）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直【分析】取的中点，连接，根据题意，先得到平面，则所求直线与平面所成的角为，通过几何关系求其正弦值即可【详解】取的中点，连接，易得因为侧棱底面ABC，侧棱侧棱，所以侧棱底面ABC，底面ABC，所以，因为，平面，故平面，所以所求直线与平面所成的角为，由平面，平面可得因为所有的棱长都相等，不妨假设棱长为，则，，则.故选：A4．（2023安徽）如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为．【答案】/【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直【分析】根据线面垂直可得线面角的几何角，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】连接,由于直三棱柱中，平面，平面，故,又,平面，故平面,由于,所以平面,故为与平面所成的角，由于，所以,，由于为锐角，所以，故答案为：5．（2024浙江）已知一个各棱均相等的四面体成，则棱与平面的夹角的余弦值为．【答案】33/【知识点】求线面角【分析】作平面，由即为所求的角，然后利用正棱锥的性质结合条件即得．【详解】在四面体成中，作平面，连接，则即为棱与平面的夹角，令，由四面体的棱长均相等，则为的中心，所以，.故答案为：.6．（2023四川）如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为.【答案】【知识点】求线面角【分析】根据正方体性质及线面角定义求解.【详解】设正方体的棱长为1，在正方体中，平面，故在平面上的射影为，所以为直线与平面所成角，故.故答案为：7．（2023湖南）如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为．

【答案】【知识点】求线面角【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】连接，由于平面，所以是直线与平面所成角，设正方体的边长为，则，所以，所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为.故答案为：

考点考点五：二面角1．（2023河北）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【知识点】面面垂直证线面垂直【分析】由底面得出，进而由，得出平面与平面所成二面角的正切值.【详解】分别取的中点为，连接，设，则.因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，底面，因为四棱锥的体积为，所以，解得.则，，所以，，又因为底面为矩形，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，.故选：B2．（2024浙江）如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥中，，平面平面，，设是棱上一点，三棱锥的体积为.(1)证明：；(2)求；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算【分析】（1）取中点，连结，，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）作于，根据面面垂直的性质证明平面，再根据三棱锥的体积公式即可得解；（3）作交于的延长线于点，连接，证明平面，则，则即为二面角的平面角，再解即可.【详解】（1）取中点，连结，，因为，所以，在菱形中，，则是等边三角形，所以，又平面，故平面，又平面，所以；（2）作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，所以，所以；（3）作交于的延长线于点，连接，由平面，平面，得，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，.3．（2024浙江）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，点M在线段PD上且.

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算【分析】（1）利用面面垂直的性质证明平面，则有，再利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）过作，交于点，利用面面垂直的性质证明平面，再根据棱锥的体积公式即可得解；（3）过作交于点，则即为二面角的平面角，再解即可.【详解】（1）∵，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，，又，由余弦定理得，则，，又平面，平面；（2）过作，交于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则，所以；（3）过作交于点，连接，因为平面，平面，所以，则即为二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的正切值为.

4．（2023浙江）如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面平面；(3)设点在棱上，，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、证明面面垂直【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到平面，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【详解】（1）因为，所以，因为平面,所以三棱锥的体积.（2）因为平面,平面,所以,又平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.（3）过点作于,取的中点,连接因为平面平面所以平面⊥平面,又平面平面平面所以平面∥，因为且是的中点,所以平面,所以是二面角的平面角,因为是的中点，所以是的中点，又//，所以是的中点,在中,，所以即二面角的正弦值为.5．（2023浙江）如图，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的长；(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)2(2)【知识点】求二面角、证明线面垂直【分析】（1）根据题意可得平面，进而分析可知正方形，即可得结果；（2）根据题意利用补形法分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解.【详解】（1）连接，因为平面，平面，则，又因为，平面，所以平面，且平面，可得，因为为平行四边形，且，则为矩形，所以正方形，可得.（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱，取的中点，连接，则三点共线，且//，因为//，可得//，所以平面即为平面，同理平面即为平面，因为//，平面，则平面，且平面，则，所以二面角的平面角为，可得，在中，则，所以二面角的余弦值为.

.6．（2023湖南）如图所示，平面平面，四边形为矩形，，，，．

(1)求多面体的体积；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、求组合体的体积、求二面角【分析】（1）通过割补法，结合锥体体积计算公式求得正确答案.（2）作出二面角的平面角，进而计算出其余弦值.【详解】（1）如图，连接BD，

∵四边形AEFB为矩形，∴，，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面，平面ABEF，平面ABEF，∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∵平面ABCD，∴，又，AB∩AE＝A，平面，∴AD⊥平面AEFB，∴，∵，，∴．∴，∴多面体ABCDEF的体积为．（2）如图，过B作交DC的延长线于点G，连接FG，

∵FB⊥平面ABCD，平面，∴DG⊥FB，又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面，∴DG⊥平面FBG，∵平面，∴DG⊥FG，∴∠FGB为二面角F-CD-A的平面角，由题意得，∵，∴，在Rt△FBG中，，，∴，∴，∴二面角F-CD-A的余弦值为．考点考点六：立体几何解答题1．（2024北京）如图，在三棱锥中，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为是的中点，所以①_________.因为，由（1）知，，所以②_________所以③_________.所以.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.空格序号选项①（A）（B）②（A）（B）平面③（A）平面（B）平面【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证；（2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直.【详解】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）①A，②A，③B.2．（2024福建）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.

(1)若，求四棱锥的体积(2)求证：平面【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直【分析】（1）根据体积公式可求四棱锥的体积.（2）可证，结合可证平面.【详解】（1）因为底面，故四棱锥的高为，而正方形的面积为，故.（2）因为底面，而平面，故，由正方形可得，因平面，故平面.3．（2024湖北）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结.(1)证明：两两垂直；(2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，，和“阳马”的定义得；（2）取的中点，连接，可得底面，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】（1）由底面，底面，则，，又在阳马中，底面为矩形，则，因此可得两两垂直.（2）取的中点，连接，又点是的中点，则，且，又底面，则底面，则四面体的体积，又阳马的体积，则，因此可得.4．（2024安徽）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：(1)直线平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】证明面面垂直、证明线面平行【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面.（2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面.【详解】（1）设，连接，∵底面是菱形，∴为的中点，又∵是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面.（2）∵底面是菱形，∴.又平面，平面，∴.又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.5．（2023广西）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面平行【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明；（2）利用面面垂直的性质定理，即可证明.【详解】（1）连结，因为分别是的中点，所以，且，因为点是的中点，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因为，为AB的中点，所以，由平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面；6．（2024云南）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.

(1)证明：；(2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见详解(2)【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、证明线面垂直【分析】（1）根据题意可证平面，结合线面垂直的性质分析证明；（2）根据体积关系可得，利用等体积法可得到平面的距离为，再根据线面夹角的定义分析求解.【详解】（1）因为，，平面，可得平面，且平面，所以.（2）因为，，则，由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为，则三棱锥的体积，解得，设到平面的距离为，则，因为，则，解得，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.7．（2024新疆）如图，在四棱锥中，，，.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、三角形面积公式及其应用、线面垂直证明线线垂直【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理即可得证；（2）利用三棱锥的体积公式与三角形面积公式即可得解.【详解】（1）因为，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）因为平面，所以是三棱锥的高，又，，所以，所以.8．（2023安徽）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，是的中点，底面．(1)求证：；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直【分析】（1）利用正三角形性质和线面垂直性质得，，最后再利用线面垂直的判定和性质即可证明；（2）利用勾股定理求出，最后利用椎体体积公式即可.【详解】（1）连接，因为△ABC为正三角形，M为BC的中点，所以，因为底面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）因为底面是正三角形，，则，因为底面，底面，所以，所以，所以.9．（2024湖南）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直【分析】（1）首先求出，再利用锥体体积公式即可得到答案；（2）利用线面垂直的性质得，再利用线面垂直的判定即可.【详解】（1）因为平面，平面，则，所以，则.（2）因为平面，平面，则，因为底面为正方形，所以，又因为，平面，所以平面.10．（2023吉林）如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点，，．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行；（2）根据等体积法，转化为求，根据棱锥的体积公式求解即可【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以是中位线，所以，平面，平面，所以平面（2）因为,因为底面，即平面ADC,又，，，所以，又是的中点，所以，又，所以.11．（2024天津）如图，在正方体中，

(1)求证：平面平面；(2)求直线和平面所成角．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明面面平行、求线面角、证明线面垂直【分析】（1）在正方体中，可得，则得平面，同理平面，所以得平面平面；（2）在正方体中，可得AC⊥平面，则得为直线和平面所成角，则在中，，即可的.【详解】（1）在正方体中，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理，平面，又，所以平面平面.（2）

设，连接，因为平面ABCD，所以，又因为AC⊥BD，，平面，所以AC⊥平面，所以为在平面的射影，