山西省太原市六十六中2026届数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

山西省太原市六十六中2026届数学高二上期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，如果输入a=102，b=238，则输出的a的值为（）A.17 B.34C.36 D.682．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1443．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.1284．设双曲线的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.6．已知空间向量，，，则（）A.4 B.-4C.0 D.27．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（）A.1 B.C.1或 D.28．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）.A.1 B.C. D.9．设实数x，y满足，则目标函数的最大值是（）A. B.C.16 D.3210．已知数列为等比数列，则“为常数列”是“成等差数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．若倾斜角为的直线过两点，则实数（）A. B.C. D.12．直线关于直线对称的直线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则_________．X1491625Y2a369314214．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.15．已知双曲线的渐近线上两点A，B的中点坐标为（2，2），则直线AB的斜率是_________.16．数列的前项和为，若，则=____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，分别过曲线上的两点，做曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点（1）求曲线的方程；（2）求面积的最小值.18．（12分）已知函数，若函数处取得极值（1）求，的值；（2）求函数在上的最大值和最小值19．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程20．（12分）已知数列为等差数列，，数列满足，且（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证：21．（12分）如图，在正方体中，E为的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值22．（10分）已知数列的前n项和，满足，.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据程序框图所示代入运行即可.【详解】初始输入：；第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；结束，输出34.故选：B.2、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A.3、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C4、C【解析】由已知可求出，即可得出渐近线方程.【详解】因为，所以，所以的渐近线方程为.故选：C.5、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B6、A【解析】根据空间向量平行求出x,y，进而求得答案.【详解】因为，所以存在实数，使得，则.故选：A.7、A【解析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以椭圆焦点在轴上，依题意得解得.故选：A8、D【解析】利用向量的数量积为0可求的值.【详解】因与互相垂直，故，故即，故.故选：D.9、C【解析】求的最大值即求的最大值，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，将目标与直线的截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得的最大值，最后求出的最大值.【详解】要求的最大值即求的最大值.根据实数，满足的条件作出可行域，如图.将目标函数化为.则表示直线在轴上的截距的相反数.要求的最大值，即求直线在轴上的截距最小值.如图当直线过点时，在轴上的截距最小值.由，解得所以的最大值为，则的最大值为16.故选：C.10、C【解析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.【详解】解：如果为常数列，则成等差数列，所以“为常数列”是“成等差数列”的充分条件；等差数列，所以，所以数列为，所以数列是常数列，所以“为常数列”是“成等差数列”的必要条件.所以“为常数列”是“成等差数列”的充要条件.故选：C11、A【解析】解方程即得解.【详解】解：由题得.故选：A12、C【解析】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.【详解】解：联立方程得，即直线与直线的交点为设直线的点关于直线对称点的坐标为，所以，解得所以直线关于直线对称的直线过点，所以所求直线方程的斜率为，所以所求直线的方程为，即故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、17【解析】根据回归直线必过样本点中心即可解出【详解】因为，，所以，解得故答案为：1714、##【解析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.若数列为“追梦数列”，则.故答案为：.15、##【解析】设出直线的方程，通过联立直线的方程和渐近线的方程，结合中点的坐标来求得直线的斜率.【详解】双曲线，，渐近线方程为，设直线的方程为，，由，由，所以，所以直线的斜率是.故答案为：16、【解析】利用裂项相消法求和即可.【详解】解：因为，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意可得化简可得答案；（2）求出、方程并得到、点坐标，再联立，方程求出交点和、点到的距离，可得，设，与抛物线方程联立利用韦达定理得到，设，记，利用导数可得答案..【小问1详解】由题意可知：，即：化简得：；【小问2详解】由题意可知：，，，过点的切线斜率为，方程为：①，令，，则，同理：方程为：②，，联立①②得：，的交点，，点到的距离，所以③，设：，则，整理得，所以，由韦达定理得：，，代入③式得：，设，记，则，令得（舍负），时，单调递减：时，单调递增，所以，当且仅当时的最小值为.18、（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）求出导函数，由即可解得；（2）求出函数的单调区间，进而可以求出函数的最值.【详解】解：（1）由题意，可得，得.（2），令，得或（舍去）当变化时，与变化如下递增递减所以函数在上的最大值为，最小值为.19、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圆心坐标是C(3，2)又r＝|AC|＝＝2.所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）求出的值，可求得等差数列的公差，进而可求得数列的通项公式，再由前项和与通项的关系可求得的表达式，可求得，然后对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，利用不等式的性质和数列的单调性可证得所证不等式成立.【小问1详解】解：因为，，所以，因为，，所以，设数列公差为，则，所以，当时，由，可得，所以，所以，因为满足，所以，对任意的，【小问2详解】证明：因为，所以，因为，所以，因为，所以，故数列单调递增，当时，，所以21、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角设正方体的棱长为2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直线与平面所成角的正弦值为[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前